第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《等腰等邊三角形“三線合一”》專項檢測卷附答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．慶慶家附近有一條東西走向的公路，一天一輛宣傳車從這條路上經過．如圖，從監測中心A處測得這輛宣傳車從B點開始沿所在直線由東向西運動，已知點C為慶慶家的位置，點C與監測中心A的距離為，與這輛宣傳車的起始位置B的距離為，且，過點C作于點D，以這輛宣傳車為圓心，半徑為的圓形區域內會聽到宣傳車的聲音．(1)求監測點A與宣傳車的起始位置B之間的距離；(2)若這輛宣傳車的行駛速度為，則慶慶家能聽到多長時間的宣傳車聲音？2．如圖，在中，，為邊上的中線．以點為圓心，長為半徑畫弧，與交于點，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數．3．如圖，在中，，是邊上的中點，．(1)求的大小；(2)若，，求的周長．4．如圖，在中，，點在上，且點在的垂直平分線上，連接．(1)若，求的周長；(2)分別過點作于、于，若，，求的長．5．在平面直角坐標系中，點A，B在坐標軸上，，．點C為的中點，D為上一點．(1)如圖（1），將線段繞點A逆時針旋轉，得到線段．①求證：．②P為x軸上一點，且在點D左側，點D關于點P對稱的點為Q，連接，．是否存在這樣的點P，使得對于任意的點D，總有成立？若存在，請寫出P的坐標，并證明；若不存在，請說明理由．(2)如圖（2），過點C作的垂線，交y軸于點F．連接，．若，請寫出，，的數量關系，并證明．6．如圖，中，，點M、N分別從點A、點B同時出發，沿三角形的邊順時針運動，點M的速度為，點N的速度為，當點M，點N第一次相遇時，點M，點N同時停止運動，設點M，點N的運動時間為t（）秒．(1)當時，；當時，．(2)當點N在上時，；當點N在上時，（分別用含t的代數式表示）．(3)點N在上時，請問t為何值時，是直角三角形，并說明理由．(4)連結，請問t為何值時，線段的垂直平分線經過的某一頂點，并說明理由．7．如圖，在中，，，，垂足分別為點，點．，交的延長線于點．(1)求證：；(2)求證：．8．“臘月二十五，推磨做豆腐”．嵊州市某新農村至今還保留著過除夕前磨豆腐的傳統習俗．如圖1是磨豆腐用的傳統工具老石磨，主要部件為一條磨凳，上下兩個磨盤，一根推拉桿以及用拉繩穩定的推拉用的扶手等．圖2是老石磨靜止時的示意圖，推拉桿及扶手平行于水平面，E是天花板頂部的拉鉤，兩根拉繩與扶手恰好組成等腰三角形，此時拉鉤E與扶手的中心點B所在的直線垂直于水平面．現測得推拉桿距地面的高度為，天花板頂部E距地面，若，求兩根拉繩的總長度至少為多少m．（結果精確到．參考數據：，，）9．【問題探究】（1）如圖1，為四邊形的對角線，，若，，，，試求四邊形的面積；【問題解決】（2）如圖2，四邊形是某縣一座全民健身中心的平面示意圖，為三條走廊（點E和點F分別在邊和上），米，米，米，米，．隨著民眾健康意識的不斷增強，對科學健身也有了更多的需求，為滿足民眾不斷增長的健身需求，該縣計劃對這座全民健身中心進行重新規劃，在上取點H，并將區域修建為功能訓練區，根據設計要求，應為等腰三角形，請你幫助設計人員計算出所有符合條件的的長．10．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點E，交的延長線于點D．(1)求的正弦值；(2)求點C到直線的距離．11．如圖，在中，，，，動點從點出發，按的路徑運動，到點停止運動，且點運動速度為，設出發時間為．(1)______cm；(2)當點運動到平分時，求出動點運動時間的值；(3)點運動過程中，使得，直接寫出的值為______；(4)若動點在射線上運動，當為直角三角形時，則的值為______．12．如圖，在等邊中，點在邊上，點在延長線上，且．(1)求證：；(2)若等邊的邊長為6，求的長；(3)求證：；(4)如圖，當點在的延長線上，點在延長線上時，其它條件不變，（3）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．13．如圖，，點D在邊上，，和相交于點O．(1)試說明的理由；(2)若，過點E作，垂足為F，試判斷和的數量關系，并說明理由．14．如圖，是等邊三角形，D是邊上一點（不與點重合），將繞點A逆時針旋轉得到，連接．(1)求證：；(2)過點D作，垂足為G．求證：．15．在平面直角坐標系中，點為x軸正半軸上一點，點A，C關于y軸對稱，點B為y軸正半軸上一點．(1)如圖1，若為等腰直角三角形，，直接寫出點B的坐標是（用t表示）；(2)如圖2，在（1）的條件下，點D，F為直線上兩點，于H交于E，延長交于G，求證：．(3)如圖3，點在點C左側，以為底邊在x軸下方作等腰直角，點H坐標為連接，猜想的度數，并證明．參考答案1．(1)監測點與宣傳車的起始位置之間的距離為500(2)慶慶家能聽到8min的宣傳車聲音【分析】本題考查勾股定理的應用，等腰三角形的性質，掌握勾股定理是解題的關鍵．（1）根據勾股定理求解即可；（2）根據的面積求得，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，，則當時，正好能聽到宣傳車的聲音．根據勾股定理求得的長，進而得到的長，即可求出聽到宣傳車聲音的時間．【詳解】（1）解：，，，．答：監測點與宣傳車的起始位置之間的距離為．（2）解：，，，，．如圖，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，，則當時，正好能聽到宣傳車的聲音．在中，，．宣傳車的行駛速度為，．答：慶慶家能聽到的宣傳車聲音．2．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和等知識點，熟練掌握全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．（1）根據中點的性質得到，根據全等三角形的判定定理得到結論；（2）根據等腰三角形的性質和三角形的內角和得到，得到，求得，進而即可得解．【詳解】（1）證明：為邊上的中線，在與中，，；（2）解：，，，為邊上的中線，，，．3．(1)(2)【分析】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解此題的關鍵．（1）由等邊對等角可得，由等腰三角形的性質可得，從而得出，即可得解；（2）由等腰三角形的性質可得，，再由三角形的周長公式計算即可得解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，點D是的中點，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∴的周長為．4．(1)(2)【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，等腰三角形三線合一，垂直平分線的性質．（1）根據垂直平分線的性質得到，由的周長為即可解答；（2）先證明，推出，求出，再根據等腰三角形三線合一求出，由即可解答．【詳解】（1）解：點在的垂直平分線上，∴，∴的周長為，∵，∴的周長為；（2）解：∵、，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．5．(1)①見解析；②存在，(2)，證明見解析【分析】（1）①證出．，則可得出結論；②作點D關于點O的對稱點K，連接，證明，得出．則可得出結論；（2）連接，取點D關于y軸的對稱點M，連接．證明，得出．，，從而得到為等腰直角三角形．再證明，則可得出結論．【詳解】（1）解：①∵，∴為等腰直角三角形，．∵，∴．又∵，∴，∴．②存在．證明：如圖，作點D關于點O的對稱點K，連接，∴，，∴，∴．∵點D關于點P的對稱點為Q，∴，∴．∴，∴，∴，．∵∴∵點P在x負半軸上，∴，∴存在這樣的點，使得對于任意的點D，總有成立．（2）解：證明連接，取點D關于y軸的對稱點M，連接．由C為的中點，∴，，∴和都為等腰直角三角形．又，∴，，∴，∴．，，∴為等腰直角三角形．∴．∵．∴．由點D與點M關于y軸對稱，∴，，，∴；∵，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，坐標與圖形的性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質等知識點，熟練掌握相關知識點，添加輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．6．(1)；(2)；(3)t為4.5或5時，是直角三角形；理由見解析(4)或或或【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，線段的垂直平分線的性質等知識．（1）根據等邊三角形的性質和路程解答即可；（2）根據速度和時間得出路程，進而解答即可；（3）由題意當時，點N落在上，此時點M也在上．當點M或點N是的中點時，是直角三角形．由此構建方程求解即可；（4）分四種情形，分別畫出圖形，構建方程求解．【詳解】（1）解：當，，，當時，點M經過的路程為，，故答案為：；；（2）解：當點N在上時，；當點N在上時，；故答案為：；；（3）解：t為4.5或5時，是直角三角形；理由如下：由題意當時，點N落在上，此時點M也在上．當點M或點N是的中點時，是直角三角形．∴或，綜上所述，t為4.5或5時，是直角三角形；（4）解：t為或或或時，線段的垂直平分線經過的某一頂點；理由如下：如圖1中，當線段的垂直平分線經過點A時，，解得；如圖2中，當線段的垂直平分線經過點B時，，解得；如圖3中，當線段的垂直平分線經過點C時，，解得；如圖4中，當線段的垂直平分線經過點A時，，解得．綜上所述，滿足條件的t的值為或或或．7．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．（1）根據題意證明，即可求解；（2）設與交于點，可證，得到，再證，得到，則有，由，代入計算即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，，，，，，，，；（2）證明：設與交于點，，，，，，，∴，，，又，，，，，，，即，，．8．【分析】本題主要考查解直角三角形的應用，等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角函數定義，先根據題意得出，再解直角三角形得出，最后求出結果即可．【詳解】解：由題意，可得，∵，B為的中點，∴，∴，在中，∵，，∴，∴答：兩根拉繩的總長度至少為．9．（1）；（2）18米或25米或30米【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質：（1）利用勾股定理求出，進而利用勾股定理的逆定理證明，再根據列式求解即可；（2）利用勾股定理求出，進而利用勾股定理的逆定理證明，再利用勾股定理求出的，最后分，，三種情況討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴；（2）∵，∴，∴，∵米，米，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴米，當米時，則米，當時，則，∵，∴，∴，∴米；當時，過點E作于M，則，∵，∴米，∴米，∴米；綜上所述，的長為18米或25米或30米．10．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，銳角三角函數的定義．（1）過點作于點．由等腰三角形三線合一的性質得出．在中，根據正弦函數的定義得出，根據三角形內角和定理求出，則；（2）過點作于點．解直角，求出，則．再解直角，求出，即點到的距離為．【詳解】（1）解：過點作于點．，，．在中，，，，是的垂直平分線，，，，又，，，即的正弦值為；（2）解：過點作于點．在中，，，，，．在中，，，，即點到的距離為．11．(1)(2)(3)或(4)4或【分析】本題考查三角形上動點問題，勾股定理，等腰三角形，全等三角形等知識，解題的關鍵是掌握動點的運動軌跡，根據題意構造三角形，利用三角形的性質，計算．（1）根據勾股定理，可以求出的長；當點運動到，根據三角形面積，求出，根據勾股定理，求出，即可求出；（2）過點作于點，根據平分，得，推出，得，根據，求出的值，即可得出根據點運動速度為，即可求出；（3）當運動到邊時，，過點作，根據三角形面積，得，根據勾股定理，求出，根據等腰三角形三線合一，求出，得，得點的運動距離為：，即可求出．（4）若動點在射線上運動，當為直角三角形時，可得，設，列方程即可求解.【詳解】（1）∵，，，∴∴的長度為：cm．（2）過點作于點∴∵平分∴∵在和中∴∴∵∴∴∴，∴∴．（3）①∵當運動到邊時，，∴點運動的路程為：，∴．②∵當運動到邊時，，如圖，過點作∴，∵∴∴在中，∴∴∴∴∴點的運動距離為：∴．綜上所述：點運動過程中，使得，的值為或；（4）若動點在射線上運動，當為直角三角形時，如圖：①當點與點重合時，，,②當時，設，∵，，∴，∴，解得：，∴．綜上所述：的值為或．12．(1)見解析(2)(3)見解析(4)（3）中的結論仍然成立，證明見解析【分析】（1）根據等邊三角形的性質，等邊對等角，結合三角形的外角，即可得出結論；（2）過作于，利用等邊三角形的性質，含度角的直角三角形的性質，以及三線合一，進行求解即可；（3）過作交于點，易得是等邊三角形，得到，證明，得到，等量代換即可得出結論；（4）過作交的延長線于，證明是等邊三角形，得到，證明，得到，等量代換即可得出結論．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，；（2）如圖，過作于，，．等邊的邊長為6，，，，，，．．；（3）證明：如圖2，過作交于點．，又，是等邊三角形．，，，又，，．由（1）得，，又．．．，；（4）（3）中的結論仍然成立．證明如下：如圖，過作交的延長線于，則，，是等邊三角形．，．，，，∴，，∴，．又，，，．．．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，等邊對等角，三線合一，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點，添加輔助線，構造全等三角形和等邊三角形，是解題的關鍵．13．(1)見解析(2)，見解析【分析】本題考查三角形內角和定理，三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質．熟練掌握三角形全等的判定定理和性質定理是解題關鍵．（1）由三角形內角和定理結合題意可證，從而可證，即可證；（2）由全等三角形的性質可推出，從而由等腰三角形的性