湖南省長沙市2024年中考數學試卷一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以A不符合題意；

B、圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，所以B符合題意；

C、圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以C不符合題意；

D、圖案不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，所以D不符合題意；故答案為：B.【分析】把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形；把一個平面圖形，繞著某一點旋轉180°后，能與自身重合的圖形就是中心對稱圖形，根據定義即可逐一判斷得出答案.2．我國近年來大力推進國家教育數字化戰略行動，截至2024年6月上旬，上線慕課數量超過7.8萬門，學習人次達1290000000，建設和應用規模居世界第一.用科學記數法將數據1290000000表示為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.故答案為：C.【分析】把一個數表示成a×10n的形式時，a和n的確定方法如下：將原數的小數點移到從左到右第1個不是0的數字的后邊即可得到a的值，n的確定方法有兩種：①n為比原數整數位數少1的正整數；②小數點向左移動了幾位，n就等于幾.3．“玉兔號”是我國首輛月球車，它和著陸器共同組成“嫦娥三號”探測器.“玉兔號”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是-180℃、最高溫度是150℃，則它能夠耐受的溫差是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：150-（-180）=330（℃)故答案為：D.【分析】根據有理數的減法用最高溫度減去最低溫度列式計算即可得出答案.4．下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：A、，所以A正確；

B、和不是同類二次根式，不能合并，所以B不正確；

C、，所以C不正確；

D、，所以D不正確.

故答案為：A.

【分析】根據同底數冪的除法可得出A正確；根據冪的乘方可得出C不正確；根據同類二次根式可得出B不正確；根據完全平方公式，可得出D不正確，綜上即可得出答案.5．為慶祝五四青年節，某學校舉辦班級合唱比賽，甲班演唱后七位評委給出的分數為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數據的中位數是（）A．9.2 B．9.4 C．9.5 D．9.6【答案】B【解析】【解答】解：把這組數據（7個）按照從小到大的順序重新排列為：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，

∴這組數據的中位數是9.4.故答案為：B.【分析】首先把收據按照從小到大的順序重新排列，然后找到第4個數據也就是它們的中位數.6．在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為（）A． B． C．(3，3) D．(3，7)【答案】D【解析】【解答】解：將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為（3，5+2），即：(3，7).故答案為：D.【分析】根據平面直角坐標系內點的移動與坐標的變化規律“左減右加，上加下減”，即可得出答案.7．對于一次函數，下列結論正確的是（）A．它的圖象與軸交于點B．隨的增大而減小C．當時，D．它的圖象經過第一、二、三象限【答案】A【解析】【解答】解：A、一次函數y=2x-1中x=0得y=-1，∴y=2x-1與y軸的交點坐標為（0，-1），所以A正確；

B、因為2＞0，所以y隨x的增大而增大，所以B錯誤；

C、當x=時，y=2×-1=0，所以當x＞時，y＞0，所以C錯誤；

D、因為k=2＞0，所以圖象經過一三象限，因為-1＜0，所以圖象經過三，四，所以圖象經過一三四象限，所以、D不正確.故答案為：A.【分析】首先令x=0，求得直線與y軸的交點坐標，可得出A正確；根據函數的增減性可得出B不正確；根據函數的增減性，通過計算可得出C不正確；根據函數圖象的位置與系數的關系可得出D不正確，故而得出答案.8．如圖，在中，，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：在中，∵，

∴∠C=70°，∵AD∥BC，

∴∠1=∠C=70°.

故答案為：C.【分析】首先根據三角形內角和定理求得∠C=70°，再根據二直線平行，內錯角相等，即可得出∠1的度數.9．如圖，在中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離，則的半徑長為（）A．4 B． C．5 D．【答案】B【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，

∴AE=，

∵OE=4，

∴OA=，即的半徑長為.

故答案為：B.【分析】首先根據垂徑定理得出AE=，然后再根據勾股定理得出OA的長度，也就是的半徑長。10．如圖，在菱形ABCD中，，點是BC邊上的動點，連接AE，DE，過點作于點.設，則與之間的函數解析式為(不考慮自變量的取值范圍)（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，過點A作AG⊥BC，垂足為點G，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=AB=6，

∵∠AGB=90°，∠B=30°，

∴AG=，

∴S菱形ABCD=BC×AG=6×3=18，

∵S△ADE=，

∵于點，，

∴S△ADE=，

∴，

∴y=.故答案為：C.【分析】過點A作AG⊥BC，垂足為點G，首先根據含30°銳角的直角三角形的性質，求得AG的長度，然后可求得菱形ABCD的面積，然后根據面積法得出S△ADE=，進一步即可整理得出y=.二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分,共18分)11．為了比較甲、乙、丙三種水稻秧苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，計算發現三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8.由此可知種秧苗長勢更整齊(填“甲”、“乙”或“丙”).【答案】甲【解析】【解答】解：∵3.6＜10.8＜15.8，

∴甲種秧苗的長勢更整齊.故答案為：甲.【分析】通過比較三組秧苗的方差，即可得出方差最小的長勢更整齊.12．某鄉鎮組織“新農村，新氣象”春節聯歡晚會，進入抽獎環節，抽獎方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍三種顏色的球(除顏色外其余都相同)，其中紅球有2個，黃球有3個，藍球有5個.每次搖勻后從中隨機摸一個球，摸到紅球獲一等獎，摸到黃球獲二等獎，摸到藍球獲三等獎，每個家庭有且只有一次抽獎機會.小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為.【答案】【解析】【解答】解：P（獲得一等獎）=.故答案為：.【分析】根據概率計算公式，用箱子中紅色小球的個數比上箱子中小球的總個數即可求得答案.13．要使分式有意義.則需滿足的條件是.【答案】【解析】【解答】解：由題意得：x-19≠0，

∴x≠19.故答案為：x≠19.【分析】根據分式有意義的條件“分母不能為零”列出不等式，再進行解答，即可得出答案.14．半徑為4，圓心角為的扇形的面積為(結果保留).【答案】4【解析】【解答】解：S扇形=.故答案為：4.【分析】根據扇形面積計算公式“”即可求得答案.15．如圖，在中，點D，E分別是AC，BC的中點，連接DE.若，則AB的長為.【答案】24【解析】【解答】解：∵點D，E分別是AC，BC的中點，

∴DE是的中位線，

∴DE=，

∴AB=2DE=24.故答案為：24.【分析】根據三角形中位線等于第三邊的一半即可得出答案.16．為慶視中國改革開放46周年，某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶祝活動，現場參與者均為在校中學生.其中有一個活動項目是“選數字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取一個數字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數，比如2010年對應的四位數是2010)，得到最終的運算結果.只要參與者報出最終的運算結果，主持人立馬就知道參與者的出生年份，若某位參與者報出的最終的運算結果是915，則這位參與者的出生年份是【答案】2009【解析】【解答】解：設參與者選取數字為x，出生年份為y，

根據題意得：

(10x+4.6)×10+1978-y=915，

整理為：y=100x+1109，

∵此時中學生的出生日期都在2000后，

∴x=9，

∴y=2009.故答案為：2009.【分析】首先根據題意列出方程，然后再根據實際情況進行推理，即可得出答案.三、解答題（本大題共9個小題、第17、18、19題每小題6分,第20、21題每小題8分,第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分,解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．計算：【答案】解：原式【解析】【分析】首先根據負整數指數冪，絕對值，特殊角的三角函數值以及零指數冪的性質分別進行化簡，然后再進行加法運算即可.18．先化簡，再求值：，其中.【答案】解：原式當時，原式.【解析】【分析】先將待求式子根據單項式乘以多項式法則、平方差公式分別去括號，再合并同類項化簡，然后再代入m的值求值即可.19．如圖，在Rt中，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點和，作直線MN分別交AB，BC于點D，E，連接CD，AE.（1）求CD的長；（2）求的周長.【答案】（1）解：由作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，所以在Rt中，點是斜邊AB的中點.所以；（2）解：在Rt中，

因為MN是線段AB的垂直平分線，點在MN上，

所以.

所以的周長.【解析】【分析】（1）由作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，然后根據直角三角形斜邊上的中線的性質即可得出CD的長度；

（2）首先根據勾股定理求得BC的長度，然后根據三角形周長的定義及中垂線段的性質可得出的周長=AC+BC，即可得出答案.20．中國新能源產業異軍突起．中國車企在政策引導和支持下，瞄準純電、混動和氫燃料等多元技術路線，加大研發投入形成了領先的技術優勢.2023年，中國新能源汽車產銷量均突破900萬輛，連續9年位居全球第一．在某次汽車展覽會上，工作人員隨機抽取了部分參展人員進行了“我最喜歡的汽車類型”的調查活動（每人限選其中一種類型），并將數據整理后，繪制成下面有待完成的統計表、條形統計圖和扇形統計圖．類型人數百分比純電m54%混動na%氫燃料3b%油車5c%

請根據以上信息，解答下列問題：（1）本次調查活動隨機抽取了人；表中，；（2）請補全條形統計圖；（3）請計算扇形統計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數；（4）若此次汽車展覽會的參展人員共有4000人，請你估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料)汽車的有多少人?【答案】（1）50；30；6（2）解：混動的人數為：50-27-3-5=15（人）

如圖所示，（3）解：扇形統計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數為：360°x30%=108°；（4）解：4000x(54%+30%+6%)=3600(人).答：估計喜歡新能源(純電、混動、氫燃料)汽車的有3600人.【解析】【解答】解：（1）本次調查活動隨機抽取的人數為：27÷54%=50（人）；

∴混動的人數為：50-27-3-5=15（人），

∴混動的百分比為：15÷50=30%，

∴a=30；

氫燃料的百分比為：3÷50=6%，

∴b=6，

故答案為：50；30；6；

【分析】（1）用純電的人數÷純電的百分比，即可得出隨機抽取的人數；從總人數中減去其他類人數可得出混動人數，然后用混動人數除以總人數即可得出混動的百分比，即可得出a的值；用氫燃料人數除以總人數即可得出氫燃料的百分比，即可得出b的值；

（2）由（1）知：混動人數為15人，并補全條形統計圖即可；

（3）360°×混動的百分比，即可得出扇形統計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數；

（4）用總人數4000×樣本中新能源所占的百分比的和即可得出答案.21．如圖，點在線段AD上，.（1）求證：：（2）若，求的度數.【答案】（1）證明：在△ABC與△ADE中，

所以△ABC≌△ADE(SAS)；（2）解：因為△ABC≌△ADE，

所以AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°.所以△ACE是等邊三角形，

所以∠ACE=60°.【解析】【分析】（1）根據SAS即可證得；

（2）根據全等三角形的性質可得出AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°，即可判定△ACE是等邊三角形，進而得出∠ACE=60°.22．刺繡是我國民間傳統手工藝.湘繡作為中國四大刺繡之一，聞名中外.在巴黎奧運會倒計時50天之際，某國際旅游公司計劃購買A、B兩種奧運主題的湘繡作品作為紀念品.已知購買1件種湘繡作品與2件種湘繡作品共需要700元，購買2件種湘繡作品與3件種湘繡作品共需要1200元.（1）求種湘繡作品和種湘繡作品的單價分別為多少元?（2）該國際旅游公司計劃購買種湘繡作品和種湘繡作品共200件，總費用不超過50000元，那么最多能購買種湘繡作品多少件?【答案】（1）解：設種湘繡作品的單價為元，種湘繡作品的單價為元.

根據題意，得

解得答：種湘繡作品的單價為300元，種湘繡作品的單價為200元.（2）解：設購買種湘繡作品件，則購買種湘繡作品件.

根據題意，得，

解得.答：最多能購買100件種湘繡作品.【解析】【分析】（1）設A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元，根據購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元，可得出方程組，解方程組即可得出答案；

（2）設購買A種湘繡作品a件，則購買B種湘繡作品(200-a)件，根據總費用不超過50000元，可得不等式，求出不等式的解集，即可得出答案。23．如圖，在中，對角線AC，BD相交于點.（1）求證：；（2）點在BC邊上，滿足.若，求CE的長及的值.【答案】（1）證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，且，所以四邊形ABCD是矩形.所以.（2）解：在Rt中，.

因為四邊形ABCD是矩形，

所以.因為，所以.過點作于點.

因為四邊形ABCD是矩形，

所以.所以.所以.在Rt中，.所以.【解析】【分析】（1）根據有一個角為直角的平行四邊形是矩形得四邊形ABCD是矩形，進而根據矩形的對角線相等即可得出結論；

（2）首先根據勾股定理可求得AC的長度為10，然后根據矩形的性質得出OC=5，再根據等角對等邊得出CE=OC=5，過點作于點，根據等腰三角形三線合一可得出，進而得出EF=1，再根據勾股定理，已知OC，CF的長度可求得OF的長度，再根據正切的定義即得出的值.24．對于凸四邊形，根據它有無外接圓(四個頂點都在同一個圓上)與內切圓(四條邊都與同一個圓相切)，可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形：只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形：只有內切圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形：既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.請你根據該約定，解答下列問題：（1）請你判斷下列說法是否正確(在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”).①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）②內角不等于的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；（）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為，內切圓半徑為，則有.（）（2）如圖1，已知四邊形ABCD內接于，四條邊長滿足：.①該四邊形ABCD是“▲”四邊形(從約定的四種類型中選一種填入)；②若的平分線AE交于點的平分線CF交于點，連接EF.求證：EF是的直徑.（3）已知四邊形ABCD是“完美型雙圖”四邊形，它的內切圖與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，F，G，H.①如圖2，連接EG，FH交于點.求證：；②如圖3，連接OA，OB，OC，OD，若，求內切圓的半徑及OD的長.【答案】（1）×；√；√（2）解：①該四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形：②：如圖1，因為AE平分平分，所以.所以，即.所以與均為半圓.所以EF是的直徑.（3）證明：①證明：如圖3，連接OE，OF，OG，OH，HG.因為是四邊形ABCD的內切圓，所以.所以.所以在四邊形EAHO中，.同理可證.因為四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，所以四邊形ABCD有外接圓.所以.所以.所以又因為，所以.所以，即.解：如圖4，連接OE，OF，OG，OH.因為四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，所以.又因為與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，F，G，H，所以.所以.又因為，所以.又因為，所以.所以，即，解得.在Rt中，有，即，解得.在Rt中，.同理可證，所以，即，解得.【解析】【解答】解：（1）①∵一般的平行四邊形對角不一定互補，

∴平行四邊形不一定有外接圓；

∵一般的平行四邊形對邊之和不一定相等，

∴平行四邊形不一定有內切圓，故①不正確；

②∵菱形的對邊之和相等，

∴菱形有內切圓，

∵內角不等于90°，

∴對角之和不等于180°，

∴這樣的菱形沒有外接圓，

∴這樣的菱形一定是“內切型單圓”四邊形，故②正確；

③∵“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，

∴該四邊形是正方形，

如圖所示：這里OM=r，ON=R，

∵三角形OMN是等腰直角三角形，

∴ON=，

∴R=，故③正確；

故答案為：×；√；√；

【分析】（1）根據幾種四邊形的性質分別進行推理判斷即可得出對錯；

（2）①根據四邊形ABCD有外接圓，沒有內切圓可得出答案；

②證明與均為半圓，即可得出結論；

（3）①四邊形ABCD是完美型雙圓四邊形，可得出∠A+∠EOH=180°，∠FOG+∠C=180°，從而得到∠EOH=∠C，∠FOG+∠EOH=180°，再根據圓周角定理可得∠HPG=90°，即可得證；②首先證明，得出，然后再根據勾股定理建立方程即可求解.25．已知四個不同的點都在關于的函數是常數，的圖象上.（1）當A，B兩點的坐標分別為時，求代數式的值；（2）當A，B兩點的坐標滿足時，請你判斷此函數圖象與軸的公共點的