第10章1.（1）減法不是；（2）加減法不是；（3）減法、除法不是；（4）減法、除法不是；（5）加法、減法不是2.（1）不符合可結合律。（b*c）*c=d*c=d;b*(c*c)=b*a=b,不相等；（2）a是單位元，d是零元。3.（1）假；（2）假；（3）真；（4）真4.（1）構成代數系統，滿足交換律，不滿足結合律，無零元，無幺元，無可逆元；（2）構成代數系統，服從結合律、交換律，無零元，幺元為1，e2πi/3與e4πi/3（3）構成代數系統，服從結合律、交換律，零元為1，無幺元，無可逆元；（4）構成代數系統，服從結合律、交換律，無零元，幺元為0，ax+b與-ax-b(?a,b∈R)互為逆元。5.（1）幺元為1，可逆元只有1（逆元為1）；（2）幺元為0，a的可逆元為-a(?a∈Z)；（3）幺元為矛盾式，除矛盾式外所有命題公式為可逆元，且逆元為該命題公式的否定；（4）幺元為0，無零元，0逆元為0，1和3互為逆元，2的逆元為2。6.（1）自同態映射（不是滿自同態映射或自同構映射）；（2）不是自同態映射；（3）自同態映射（不是滿自同態映射或自同構映射）；（4）不是自同態映射。7．證明：反證法。設x為0的左逆元，根據左逆元的性質有（1）x*0=e，根據零元的性質有x*0=0，則e=0，矛盾。故0無左逆元，同理可證0無右逆元。8.（1）共有6個雙射函數：1）a→a;b→b;c→c;2）a→a;b→c;c→b;3）a→c;b→b;c→a;4）a→b;b→a;c→c;5）a→b;b→c;c→a;6）（2）設f為（1）中的函數，只需判斷?x,y∈A,fx°y=f(x)°f(y)是否成立，由于?x,y∈A,fx°y=fc9.（1）證明：?x,y,z∈A,x°y°z=x°（2）（題目可能有誤）定義新的二元運算*滿足：a*b=b;b*a=b;a*c=c;c*a=c;b*c=a;c*b=a;a*a=a;b*b=a;c*c=a，易得a是幺元，且*滿足結合律，故<A,*>10.易得該運算在Z+上的封閉性且滿足結合律11.（題目有誤）12.證明：由題意知，當x=a，存在ua,va∈S，使得a*ua=va*a=a。任意x∈S，有ux,vx∈S，使得a*u13.證明：反證法。若S中無冪等元，任取x∈S，則x2≠x,但x2∈S,x3≠x,但x3∈S,…以此類推，可以得到x14.（1）是半群，不是獨異點和群。（2）是群。（3）是群。（4）是獨異點。（5）是群。15.證明：（1）封閉性：?a,b∈Z,a*b=a+b-2∈Z，故滿足封閉性。（2）?x,y,z∈Z,x*y*z=x+y-2*z=x+y-2+z-2=x+y+z-4,x*y*z（3）?x∈Z,x*2=x且2*x=x，故（4）?x∈Z,4-x綜上，<Z,*>是群。16.證明：充分性：?a,b∈G,ab2=a2必要性：已知G是交換群，則?a,b∈G,ab=ba,故ab217.證明：?x,y∈G,則xy,yx∈G,18.（1）由定理10.5.1，小于15且與15互素的自然數為：1,7,11,13，則G的所有生成元為a,a（2）由定理10.5.3，求15的因子有：1,3,5,15，則G的所有子群為：<a>,<a19.證明循環群是阿貝爾群：設循環群G=<a>，則?x,y∈G,?i,j∈Z,有x=ai,y=阿貝爾群不一定是循環群，如<R,+>是阿貝爾群但不是循環群,其中R表示實數集，+表示普通加法。20.（1）構成環，乘法無幺元故不構成整環，關于乘法運算無可逆元故不是域。（2）關于加法不封閉故不構成環。（3）關于乘法不封閉故不構成環。（4）構成環，關于乘法不滿足交換律故不構成整環，也不是域。21.證明<R,⊕>是阿貝爾群：封閉性和結合律容易證明滿足；幺元為-1；任意a∈R,逆元為-2-a，故滿足群。?a,b∈R,a⊕b=a+b+1=b+a+1=b證明<R,°>是半群：封閉性易得；結合律：?x,y,z∈R,x°y°z=x*y+x+y°證明分配律：?x,y,z∈R,x°y⊕z綜上<R,⊕，°>構成環。定義φ:R→R,φ(x)=x-1.對于任意x∈R,則x+1∈R且φ(x+1)=(x+1)-1=x,于是φ是滿射.對于任意x,y∈R,若φ(φ所以φ(x+φ所以φ(x°y)=φ(x)°φ(y).

故環22.（1）因為a是含幺環R中的可逆元,令幺元為e,則:aa-1=a-1a=e，則-a（2）假設ab為可逆元，且設c=ab-1為ab的逆元,abc=e=abb-1a-123.只需證明<R-{0},*>為阿貝爾群：根據整