第2章綜合素質評價一、選擇題(每題3分，共24分)1．已知⊙O的半徑為3，OA＝5，則點A在()A．⊙O內B．⊙O上C．⊙O外D．無法確定2．⊙O的半徑為7，圓心O到直線l的距離為6，則直線l與⊙O的位置關系是()A．相交B．相切C．相離D．無法確定3.如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，則∠ADC的度數為()A．50°B．25°C．30°D．35°4．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半徑OA＝3，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點，連接OC，D是OC上一點，且OD＝DC，連接BD.若BD⊥OC，則eq\o(AC,\s\up8(︵))的長為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D．π5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，BD平分∠ABC，若∠D＝20°，則∠ABD的度數為()A．20°B．25°C．30°D．35°6.如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，OP與⊙O相交于點C，若∠P＝40°，則∠ABC的度數是()A．20°B．25°C．30°D．35°7．如圖，⊙O是邊長為4eq\r(3)的等邊三角形ABC的外接圓，點D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點，連接BD，CD.以點D為圓心，BD的長為半徑在⊙O內畫弧，則陰影部分的面積為()A.eq\f(8π,3)B．4πC.eq\f(16π,3)D．16π8．如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為(3，4)，點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA，PB與x軸分別交于A，B兩點，若點A，點B關于原點O對稱，則AB的最小值為()A．3B．4C．5D．6二、填空題(每題3分，共30分)9.一個扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的弧長為________．10．三邊長分別為6，8，10的三角形的內切圓的半徑長為________．11．如圖，在平面直角坐標系中，一條圓弧經過正方形網格的格點A，B，C.若點A的坐標為(0，4)，點C的坐標為(6，2)，則該圓弧所在圓的圓心坐標為________．12．如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長線于點E.若∠AOC＝45°，BC＝2，則線段AE的長為________．13．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，且∠APB＝56°，若點C是⊙O上異于點A，B的一點，則∠ACB的度數為____________．14．如圖，已知⊙O的半徑OA的長為2，弦AB的長為2eq\r(2).若在⊙O上找一點C，使AC＝2eq\r(3)，∠BAC＝________．15．如圖，在邊長為6的正六邊形ABCDEF中，以點F為圓心，以FB的長為半徑作eq\o(BD,\s\up8(︵))，剪如圖中陰影部分做一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑為________．16．鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點O，eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圓的圓心C恰好是△ABO的內心，若AB＝2eq\r(3)，則花窗的周長(圖中實線部分的長度)＝________(結果保留π)．17．某奢侈品牌的香水瓶從正面看上去如圖所示，它可以近似看作⊙O割去兩個弓形后余下的部分與矩形ABCD組合而成的圖形(點B，C在⊙O上)，其中BC∥EF，已知⊙O的半徑為2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，則該香水瓶的高度h＝________.18．如圖，扇形紙片OAB所在圓的圓心角∠AOB＝90°，半徑為4，將扇形紙片折疊，使點B落在點B′處，折痕與eq\o(AB,\s\up8(︵))，OB分別交于點M，N.若eq\o(B′M,\s\up8(︵))與半徑OA相切于點C，且C是OA的中點，則BN的長為________．三、解答題(19～21題每題8分，22～24題每題10分，25題12分，共66分)19．如圖，AB，CD為⊙O內兩條相交的弦，交點為E，且AB＝CD.求證：AD∥BC.20.某居民小區一圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定圓柱形管道截面的半徑，如圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)請你用直尺和圓規補全這個輸水管道的圓形截面(保留作圖痕跡)；(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．21．如圖是由邊長均為1的小正方形組成的8×6網格，每個小正方形的頂點叫做格點，四邊形ABCD的四個頂點都在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)．(1)圖①中，在邊AD上畫點E，使AE＝DE；(2)圖②中，畫∠BCD的平分線CF，交AD于點F；(3)圖③中，點O在格點上，⊙O與AB相切，切點為A，⊙O交AD于點G，BC與⊙O相切，切點為M，CD與⊙O相切，切點為N，畫出點M，N.22．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A與BC相切于點D.(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設⊙A上有一動點P，連接CP，BP.當CP的長最大時，求BP的長．23．如圖，在圓內接四邊形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延長AD至點E，使AE＝AC，延長BA至點F，連接EF，使∠AFE＝∠ADC.(1)若∠AFE＝60°，CD為直徑，求∠ABD的度數；(2)求證：①EF∥BC；②EF＝BD.24．如圖①，已知等腰三角形ABC內接于⊙O，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，D是eq\o(BDC,\s\up8(︵))上的一個動點，連接DA并延長，點F在射線DA上，且DF＝DB，連接BF.(1)如圖②，若AD是⊙O的直徑．①求⊙O的半徑長；②求AF的長；(2)在點D的運動過程中，當AC與△BDF的一條邊平行時，求AF的長．25．在一次數學探究活動中，李老師設計了一份活動單：已知線段BC＝4，在BC的上方畫∠BAC＝30°，嘗試操作后思考：(1)這樣的點A唯一嗎？(2)點A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢”學習小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上(點B，C除外)，….小華同學畫出了符合要求的一條圓弧BAC(如圖①)．(1)該弧所在圓的半徑長為________；(2)經過比對發現，小明同學所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖②所示的弓形外部，我們記為A′，請你證明∠BA′C＜30°；(3)如圖③，已知線段AB和直線l，在直線l上求作點P，使得∠APB＝45°，尺規作圖，保留作圖痕跡；(4)如圖④，在邊長為9的等邊三角形ABC中，動點P在△ABC內部，且∠BPC＝120°，連接AP，求AP的最小值．

答案一、1.C2.A3.B4.B5.D6.B7.C8.D二、9.eq\f(4π,3)10.211.(2，0)12.eq\r(2)13.62°或118°14．15°或75°15.eq\r(3)16.8π17.5.7cm18.eq\f(3,2)點撥：如圖，作點O關于直線MN的對稱點O′，連接O′C，O′O，O′B，O′N，∴ON＝O′N.設BN＝x，則O′N＝ON＝OB－BN＝4－x.∵eq\o(B′M,\s\up8(︵))與半徑OA相切于點C，∴O′C⊥OA，O′C＝OB＝4.∵∠AOB＝90°，∴O′C∥OB.∴四邊形OBO′C是矩形．∴O′B＝OC，∠OBO′＝90°.∵C是OA的中點．∴O′B＝OC＝2.在Rt△BNO′中，O′N2＝BN2＋O′B2，即(4－x)2＝x2＋22，解得x＝eq\f(3,2)，∴BN＝eq\f(3,2).三、19.證明：∵AB＝CD，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∴eq\o(AB,\s\up8(︵))－eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))－eq\o(AD,\s\up8(︵))，即eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵)).∴∠A＝∠B.∴AD∥BC.20．解：(1)如圖所示．(2)如圖，由作圖可知，OD為弦AB的垂直平分線，記OD與AB相交于點C，則C為AB的中點，連接AO.∵AB＝16cm，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝8cm.設這個圓形截面的半徑為xcm.由題知CD＝4cm，∴OC＝(x－4)cm.在Rt△OAC中，∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10.∴這個圓形截面的半徑為10cm.21．解：(1)如圖①，點E即為所求．(2)如圖②，射線CF即為所求．(3)如圖③，點M，N即為所求．22．解：(1)如圖，連接AD.∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AC2＋AB2＝BC2.∴∠BAC＝90°.∵⊙A與BC相切于點D，∴AD＝eq\f(AC×AB,BC)＝eq\f(4×3,5)＝eq\f(12,5).∴S陰影＝eq\f(1,2)×3×4－eq\f(90°×π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))\s\up12(2),360°)＝6－eq\f(36,25)π.(2)如圖，當C，A，P三點共線時，CP的長最大．∵∠BAC＝90°，∴∠BAP＝90°.又∵AP＝eq\f(12,5)，AB＝3，∴BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝eq\f(3,5)eq\r(41).23．(1)解：∵CD為直徑，∴∠CAD＝90°.由題知∠ADC＝∠AFE＝60°，∴∠ACD＝90°－60°＝30°.∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＝30°.(2)證明：①如圖，延長AB到點M.∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠CBM＝∠ADC.又∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＝∠CBM.∴EF∥BC.②如圖，過點D作DG∥BC交圓于點G，連接AG，CG.∵DG∥BC，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CG,\s\up8(︵)).∴BD＝CG.∵四邊形ACGD是圓內接四邊形，∴∠GDE＝∠ACG.易知EF∥DG，∴∠DEF＝∠GDE.∴∠DEF＝∠ACG.∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，∴∠AFE＝∠AGC.又∵AE＝AC，∴△AEF≌△ACG(AAS)．∴EF＝CG.∴EF＝BD.24．解：(1)①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∴∠ADB＝30°.∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°.∴AD＝2AB＝12.∴⊙O的半徑長為6.②∵∠ABD＝90°，AD＝12，AB＝6，∴BD＝eq\r(AD2－AB2)＝eq\r(122－62)＝6eq\r(3).∵DF＝DB，∴DF＝6eq\r(3).∴AF＝AD－DF＝12－6eq\r(3).(2)當AC∥BD時，如圖①.∵∠ACB＝30°，∴∠D＝30°.∵AC∥BD，∴∠CBD＝∠ACB＝30°.∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°.∴∠BAD＝90°.又∵∠D＝30°，∴DF＝BD＝2AB＝12.∴AD＝eq\r(BD2－AB2)＝6eq\r(3).∴AF＝DF－AD＝12－6eq\r(3).當AC∥BF時，如圖②.∵AC∥BF，∴∠BAC＋∠ABF＝180°.∴∠ABF＝60°.∵DF＝BD，∠ADB＝∠C＝30°，∴∠DBF＝∠DFB＝eq\f(180°－30°,2)＝75°.∴∠ABD＝135°.過點A作AH⊥BD，交DB的延長線于點H.∵∠ABD＝135°，∴∠ABH＝45°.∴△ABH是等腰直角三角形．又∵AB＝6，∴AH＝BH＝3eq\r(2).∵∠ADB＝30°，∴AD＝2AH＝6eq\r(2).∴DH＝3eq\r(6).∴DF＝BD＝DH－BH＝3eq\r(6)－3eq\r(2).∴AF＝AD－DF＝6eq\r(2)－(3eq\r(6)－3eq\r(2))＝9eq\r(2)－3eq\r(6).綜上，AF的長為12－6eq\r(3)或9eq\r(2)－3eq\r(6).25．(1)4點撥：已知線段BC＝4，在BC的上方畫∠BAC＝30°，過點C作CD⊥BC，交圓弧BAC于點D，連接BD，如圖①，則BD為該弧所在圓的直徑，∠BDC＝∠A＝30°，∴BD＝2BC＝8.∴該弧所在圓的半徑長為eq\f(8,2)＝4.(2)證明：設A′C與圓弧BAC的交點為E，連接BE，如圖②，則∠BEC＝∠A＝30°.∵∠BEC是△A′BE的一個外角，∴∠BA′C＜∠BEC.∴∠BA′C＜30°.(3)解：如圖③，點P1，P2即為所求．(4)解：如圖④，以BC為邊，在△ABC的下方作等邊三角形BDC，構造△BDC的外接圓⊙O，連接AD，OB，OA，OP，則BO⊥DC，DO⊥BC，AP≥OA－OP，BD＝CD，∠BDC＝60°，∠CBD