2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)三林中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一.填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．已知函數(shù)，則（2）．2．已知等差數(shù)列滿足，則．3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．4．若，則．5．2022年北京冬奧會的順利召開，激發(fā)了大家對冰雪運動的興趣．若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺滑雪這四項運動中任選一項進(jìn)行體驗，則不同的選法共有種．6．曲線在點，處的切線方程為．7．某商場銷售某種商品，經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量（千克）與銷售價格（元千克）滿足關(guān)系式，，若該商品的成本為3元千克，則當(dāng)銷售價格為元千克時，該商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．8．記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相鄰，不同的排法共有種．9．正項等比數(shù)列中，與是的兩個極值點，則．10．已知函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為．11．設(shè)函數(shù)，，為常數(shù)）在，上嚴(yán)格遞減，在，和，上嚴(yán)格遞增，且的部分圖像如圖所示，則．12．函數(shù)在區(qū)間，上存在零點，則的最小值為．二.選擇題（本大題共4題，滿分20分）13．已知函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，則“”是“是的極值點”的條件．A．充要 B．既不充分也不必要 C．充分不必要 D．必要不充分14．等差數(shù)列的前項和，2，當(dāng)首項和公差變化時，若是一個定值，則下列各數(shù)中為定值的是A． B． C． D．15．已知函數(shù)為常數(shù)），在區(qū)間，上有最大值20，那么此函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為A． B． C． D．16．有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，不同的排列方法數(shù)錯誤的是A．排成前后兩排，前排3人，后排4人，共有種方法 B．全體排成一排，男生互不相鄰，共有種方法 C．全體排成一排，女生必須站在一起，共有種方法 D．全體排成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊，共有種方法三.解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．已知數(shù)列滿足：．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．18．已知函數(shù)為常數(shù)），曲線在點，處的切線平行于直線．（1）求的值；（2）求函數(shù)的極值．19．已知等差數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等比數(shù)列的公比為，且滿足，求數(shù)列的前項和．20．（16分）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前項和為，點，均在函數(shù)的圖像上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)．21．（17分）已知函數(shù)，其中實數(shù)，，．（1）時，求函數(shù)的極值點；（2）時，在，上恒成立，求的取值范圍；（3）證明：，且時，經(jīng)過點作曲線的切線，則切線有三條．

參考答案一．選擇題（共4小題）題號13141516答案DCBB一.填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．已知函數(shù)，則（2）9．解：因為，所以，（2）．故答案為：9．2．已知等差數(shù)列滿足，則．解：由是等差數(shù)列，得，又，所以．故答案為：3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．解：因為，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得．故答案為：．4．若，則1．解：，則，故．故答案為：1．5．2022年北京冬奧會的順利召開，激發(fā)了大家對冰雪運動的興趣．若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺滑雪這四項運動中任選一項進(jìn)行體驗，則不同的選法共有64種．解：由于一共有四項運動，故甲、乙、丙各自有4種選擇，而他們的選擇互相之間沒有任何限制條件，所以總共的選法數(shù)是．故答案為：64．6．曲線在點，處的切線方程為．解：由，知．所以，，故所求切線是經(jīng)過點且斜率為2的直線，即．故答案為：．7．某商場銷售某種商品，經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量（千克）與銷售價格（元千克）滿足關(guān)系式，，若該商品的成本為3元千克，則當(dāng)銷售價格為4元千克時，該商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．解：由題意可得，商場每日銷售該商品所獲得的利潤為，，求導(dǎo)可得，令，解得或（舍去），當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值（4），故當(dāng)銷售價格為4元千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤，最大值為42元．故答案為：4．8．記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相鄰，不同的排法共有480種．解：先將4名志愿者排列好，有種排法，再將兩個老人進(jìn)行插空有種排法，所以滿足題意的不同的排法共有種．故答案為：480．9．正項等比數(shù)列中，與是的兩個極值點，則2．解：，所以與是方程的兩根，所以在正項等比數(shù)列中，，所以，故答案為：2．10．已知函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為，．解：由題意得，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在，上恒成立，即在，上恒成立，又，，，即實數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．11．設(shè)函數(shù)，，為常數(shù)）在，上嚴(yán)格遞減，在，和，上嚴(yán)格遞增，且的部分圖像如圖所示，則．解：由題意得，的定義域為，所以，由圖可知，解得，則，因為，則有①，由在，上嚴(yán)格遞減，在，和，上嚴(yán)格遞增，則（1），由，則，則，則②，由①②解得（舍，或，則．故答案為：．12．函數(shù)在區(qū)間，上存在零點，則的最小值為．解：設(shè)零點為，則，所以，由柯西不等式可得，所以，令，，，所以，所以在，上單調(diào)遞增，所以（1），所以，所以的最小值為．故答案為：．二.選擇題（本大題共4題，滿分20分）13．已知函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，則“”是“是的極值點”的條件．A．充要 B．既不充分也不必要 C．充分不必要 D．必要不充分解：若是的極值點，根據(jù)函數(shù)極值存在條件可得，，即必要性成立；若，但不一定是的極值點，例如，則，，但不是函數(shù)的極值點，即充分性不成立．故選：．14．等差數(shù)列的前項和，2，當(dāng)首項和公差變化時，若是一個定值，則下列各數(shù)中為定值的是A． B． C． D．解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得：為定值，即為定值又為定值故選：．15．已知函數(shù)為常數(shù)），在區(qū)間，上有最大值20，那么此函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為A． B． C． D．解：為常數(shù)）令，解得或3（舍去）當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時取最小值，而（2）即最大值為，，最小值為故選：．16．有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，不同的排列方法數(shù)錯誤的是A．排成前后兩排，前排3人，后排4人，共有種方法 B．全體排成一排，男生互不相鄰，共有種方法 C．全體排成一排，女生必須站在一起，共有種方法 D．全體排成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊，共有種方法解：對于，先選出前排3人，有種排法，剩余4人隨機排列有種排法，則共有種方法，故正確；對于，利用插空法，4名女生隨機排列有種排法，再將5個空位插入3個男生，有種排法，共有種排法，故錯誤；對于，利用捆綁法，將4名女生放在一起有種排法，再和3名男生排列共有種排法，則共有，種方法，故正確；對于，從其他6人中抽出兩人排在兩側(cè)有種排法，再把剩余5人隨機排列有種排法，則共有種方法，故正確．故選：．三.解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．已知數(shù)列滿足：．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．【解答】（1）證明：因為數(shù)列滿足：，所以，因為，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）得，，故．18．已知函數(shù)為常數(shù)），曲線在點，處的切線平行于直線．（1）求的值；（2）求函數(shù)的極值．解：（1）由，得，在點，處的切線平行于直線，（1），．（2）由（1），可得，令，解得或，和隨著的變化情況如下表所示．1300極大值極小值的極大值為，極小值為（3）．19．已知等差數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等比數(shù)列的公比為，且滿足，求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又因為，且，所以，故．所以．（2）由（1）可知，，又，所以．因為，可得，所以，．20．（16分）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前項和為，點，均在函數(shù)的圖像上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)．解：（1）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)為，所以，；所以；由于點，均在函數(shù)的圖像上，所以，故（首項符合通項）；故；（2）由（1）得：；故；故對于對所有都成立，只需滿足即可，故，即的最小整數(shù)為15．21．（17分）已知函數(shù)，其中實數(shù)，，．（1）時，求函數(shù)的極值點；（2）時，在，上恒成立，求的取值范圍；（3）證明：，且時，經(jīng)過點作曲線的切線，則切線有三條．解：（1）因為，所以，定義域為：．則，因為，所以或，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以0是的極大值點，2是的極小值點．（