專題06離散型隨機變量的數字特征（2個知識點1個拓展1個突破6種題型2個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.離散型隨機變量的均值知識點2.離散型隨機變量的方差拓展：離散型隨機變量均值與方差的定義與性質突破：均值與方差在決策中的應用【方法二】實例探索法題型1.求離散型隨機變量的均值（數學期望）題型2.離散型隨機變量均值的性質題型3.離散型隨機變量均值的應用題型4離散型隨機變量的方差題型5.離散型隨機變量方差的性質題型6.離散型隨機變量的方差的應用【方法三】差異對比法易錯點1.求隨機變量的均值時因分布列不準確致誤易錯點2.錯用公式致誤【方法四】成果評定法【知識導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.離散型隨機變量的均值一離散型隨機變量的均值1．離散型隨機變量的均值的概念一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝為隨機變量X的均值或數學期望．2．離散型隨機變量的均值的意義均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平．3．離散型隨機變量的均值的性質若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.證明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數，X是隨機變量，那么Y也是隨機變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.思考離散型隨機變量的均值與樣本平均值之間的關系如何？答案(1)區別：隨機變量的均值是一個常數，它不依賴于樣本的抽取，而樣本平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化．(2)聯系：對于簡單的隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值．二、兩點分布的均值如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.例1．（2023上·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列為X12345P0.10.30.40.10.1則；.【答案】2.810.4【分析】由期望的計算公式及即可得.【詳解】,.故答案為：2.8；10.4.知識點2.離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差、標準差設離散型隨機變量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我們用X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度．我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差(variance)，有時也記為Var(X)，并稱eq\r(DX)為隨機變量X的標準差(standarddeviation)，記為σ(X)．二、離散型隨機變量方差的性質1．設a，b為常數，則D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c為常數)．例2.（2024上·遼寧遼陽·高二統考期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先找出X的取值可能，計算每種可能的概率后結合方差定義計算即可得.【詳解】由題意可知，X的取值可能為，，，因為，，，所以，故．故選：B.拓展：離散型隨機變量均值與方差的定義與性質3．（2024·全國·高三專題練習）已知X的分布列為X01P則下列結論正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【分析】求出、的值，可判斷A、B選項的正誤，利用均值和方差的性質可判斷B、D選項的正誤.【詳解】對A：由，知A正確；對B：由，知B錯誤；對C、D：因為的分布列為所以，故C正確；，故D錯誤．故選：AC.突破：均值與方差在決策中的應用4．（2021上·重慶黔江·高三重慶市黔江中學校校考階段練習）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(2)商場對獎勵總額的預算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標有面值15元和2個標有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標有面值20元和2個標有面值40元的兩種球組成.【答案】(1)(2)方案二，理由見解析【分析】（1）由古典概型結合組合數公式求解；（2）分別求解兩方案的均值和方差比較可得結果【詳解】（1）設顧客的獎勵額為X,依題意得（2）根據方案一，設顧客的獎勵額為其可能取值為30，，30m60，90，，根據方案二，設顧客的獎勵額為其可能取值為40，60，80，，商場對獎勵總額的預算是30000元，故每個顧客平均獎勵額最多為60，兩方案均符合要求，但方案二獎勵的方差比方案一小，所以應選擇方案二【方法二】實例探索法題型1.求離散型隨機變量的均值（數學期望）1．（2023下·北京懷柔·高二校考期中）已知，且，記隨機變量為x，y，z中的最大值，則.【答案】17【分析】求出可能取值，求出相應的概率，得出的分布列，即可求出期望.【詳解】由題意可得：的可能取值為，用隔板法可求得：事件總情況為種，若，三個正整數為或，則有種，故；若，三個正整數為或，則有種，故；若，三個正整數為或，則有種，故；若，三個正整數為，則有種，故；若，三個正整數為，則有種，故；故的分布列為：45678故.所以故答案為：.題型2.離散型隨機變量均值的性質2．多選題（2023上·高二課時練習）隨機變量和，其中，且，若的分布列如表：X1234Pmn則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先利用均值的性質根據求出，再根據分布列求出隨機變量的均值和的值，聯立即可求解.【詳解】根據分布列可知①，因為，所以，解得，又由分布列可得，整理得②，①②聯立解得，，故選：BCD題型3.離散型隨機變量均值的應用3．（2024上·山東濱州·高三統考期末）杭州亞運會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產良渚古城遺址、京杭大運河和西湖，分別展現了不屈不撓、堅強剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致和諧的人文精神．某經銷商提供如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個盲盒20元，盲盒外觀完全相同，內部隨機放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一款或者為空盒，只有拆開才會知道購買情況，買到各種盲盒是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個30元．(1)小明若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并拆開．求小明第3次購買時恰好首次出現與已買到的吉祥物款式相同的概率；(2)為了集齊三款吉祥物，現有兩套方案待選，方案一：先購買一個盲盒，再直接購買剩余的吉祥物；方案二：先購買兩個盲盒，再直接購買剩余吉祥物．若以所需費用的期望值為決策依據，小明應選擇哪套方案？【答案】(1)(2)小明應該選擇方案一【分析】（1）根據古典概型求取概率；（2）分別分析兩種方案的分布，然后求取期望值比較；【詳解】（1）設小明第3次購買是恰好首次出現與已買到的吉祥物款式相同的概率為，則分為有空盒和無空盒兩種情況，．（2）方案一：令小明集齊3款吉祥物所需要的總費用為．的可能取值為80，110．則，．所以．方案二：令小明集齊3款吉祥物所需要的總費用為．依題意，的可能取值為70，100，130，則，，．所以．因為．所以小明應該選擇方案一．題型4離散型隨機變量的方差2．單選題（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯考期末）已知隨機變量，滿足，且，則（

）A．16 B．8 C．4 D．【答案】B【分析】由方差的性質求解即可.【詳解】由題可知.故選：B.題型5.離散型隨機變量方差的性質5．（2024上·遼寧遼陽·高二統考期末）已知某人每次投籃的命中率為，投進一球得1分，投不進得0分，記投籃一次的得分為X，則的最大值為．【答案】/【分析】結合兩點分布的期望與方差公式以及基本不等式計算即可得.【詳解】由題意可知，X服從兩點分布，可得，，，則，當且僅當，即時，等號成立，故最大值為．故答案為：.題型6.離散型隨機變量的方差的應用6．（2023上·安徽·高三安徽省懷遠第一中學校聯考階段練習）投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．表1

股票甲收益的分布列收益X（元）02概率0.10.30.6表2

股票乙收益的分布列收益Y（元）012概率0.30.40.3關于兩種股票，下列結論正確的是（

）A． B．C．投資股票甲的期望收益較大 D．投資股票甲比投資股票乙風險高【答案】ACD【分析】計算期望以及方差，從而由期望和方差的意義判斷CD，由方差和期望的性質判斷AB.【詳解】，，，，則投資股票甲的期望收益較大，投資股票甲比投資股票乙風險高.，．故選：ACD【方法三】差異對比法易錯點1.求隨機變量的均值時因分布列不準確致誤1．（2023上·四川雅安·高三校聯考期中）為了促進消費，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動：每位會員客戶可在價值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨立.(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）應用獨立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；（2）根據題設確定的可能取值并確定對應概率，即可寫出分布列，進而求期望.【詳解】（1）由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為；（2）由題意，兌換，，三種商品所需的積分分別為800，900，1000，則的取值可能為0，100，200，300，400，，，，，，則的分布列為0100200300400.易錯點2.錯用公式致誤2．多選題（2023·浙江臺州·統考二模）已知,隨機變量的分布列為:則(

)A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據期望方差的相關公式，以及判斷,再舉特例判斷D即可.【詳解】因為,所以錯，因為,所以對，因為，所以,所以,所以對，舉特例來說明錯,取，則，，，,所以錯.故選:BC【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023·高二課時練習）兩點分布也叫分布，已知隨機變量服從參數為的兩點分布，則下列選項中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩點分布的定義即可判斷A、B選項；由期望和方差公式即可判斷C、D選項.【詳解】由參數為的兩點分布知，故A、B正確；，C正確；，D錯誤.故選：D.2．（2022下·廣東廣州·高二統考期末）已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數)X0123P0.20.30.4a則下列計算結果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由概率之和為1可判斷A，根據分布列計算可判斷B,C,D.【詳解】因為，解得，故A錯誤；由分布列知，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C.3．（2021下·全國·高三校聯考階段練習）已知隨機變量的分布列是01隨機變量的分布列是123以下錯誤的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據分布列的性質，以及概率的計算和期望的計算公式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由分布列的性質，可得，解得，所以A正確．對于B中，，所以B正確．對于C中，，，所以，所以C錯誤．對于D中，，，，，，計算得，所以，所以D正確.故選：C．4．（2021·高二課時練習）已知隨機變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)＝（）A．6 B．8C．18 D．20【答案】C【分析】根據方差公式，即可計算.【詳解】∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.故選:C.5．（2020下·全國·高二校聯考階段練習）已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有個紅球和個籃球且，從乙盒中隨機抽取個球放入甲盒中，放入個球后，甲盒中含有紅球的個數記為，則下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據題意，求得的分布列，并根據分布列求得數學期望，即可比較大小；結合已知條件，結合期望的性質即可判斷選擇.【詳解】從乙盒中取1個球時，取出的紅球個數記為，則的所有可能取值為0，1，則，，所以；從乙盒中取2個球時，取出的紅球數記為，則的可能取值為0，1，2，則，，，所以所以，故A項正確；，因為，所以，所以，所以，所以，即，故C項正確；而，，得，即，故D項錯誤；，故B項正確；故選：D.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列和期望的求解，涉及期望的性質，屬綜合中檔題.6．（2021下·高二課時練習）設隨機變量X的分布列為P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a為常數，則A．a= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=【答案】B【分析】利用概率的性質列方程可求得，根據分布列和期望公式可求出、、，從而可得答案.【詳解】因為a(1+2+3+4)=1，所以a=，所以P(X>)=+，P(X<4a)=P(X<)=，E(X)=×+×+×+×.故選：B.【點睛】本題考查了概率的性質，考查了離散型隨機變量的分布列和數學期望，屬于基礎題.7．（2021下·高二課時練習）設，，隨機變量X的分布列如表：則當內增大時（

）Xa1bPA．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】B【分析】先求出，利用方差的定義建立，利用二次函數單調性判斷出的變化.【詳解】由題意：，∵，∴.∴又，∴，∴∴當時，單調遞減，即當內增大時減小.故選：B8．（2020上·浙江溫州·高三溫州中學校考階段練習）若隨機變量X滿足，N為正整數，則當時，的值最接近（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【解析】由期望公式計算出期望，計算可得近似值．【詳解】，顯然，當時，的值最接近．故選：C．【點睛】本題考查隨機變量的均值，掌握隨機變量的概率分布列與期望的關系是解題基礎．二、多選題9．（2023下·山東煙臺·高二統考期中）在平面直角坐標系的第一象限內隨機取一個整數點，若用隨機變量表示從這個點中隨機取出的一個點的橫、縱坐標之和，表示，同時發生的概率，則（

）A．當時，B．當時，C．當時，的均值為D．當（且）時，【答案】ACD【分析】利用條件概率公式可判斷A選項；列舉出滿足的點的坐標，利用古典概率公式可判斷B選項；利用離散型隨機變量的期望公式可判斷C選項；列舉出滿足，的點的坐標，利用古典概型的概率公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當時，整數點共個，則，由得，即滿足，的點的坐標為，所以，，A對；對于B選項，當時，整數點共個，滿足的整數點為，，則，B錯；對于C選項，當時，的分布列如下表所示：的可能取值有、、、、、、，滿足的點為，則，滿足的點為、，則，滿足的點為、、，則，滿足的點為、、、，則，滿足的點為、、，則，滿足的點為、，則，滿足的點為，則，故當時，，C對；對于D選項，滿足的解為，則，D對.故選：ACD.10．（2020·全國·校聯考模擬預測）新冠肺炎疫情發生后，我國加緊研發新型冠狀病毒疫苗，某醫藥研究所成立疫苗研發項目，組建甲、乙兩個疫苗研發小組，且兩個小組獨立開展研發工作.已知甲小組研發成功的概率為，乙小組研發成功的概率為.該研發項目的獎金為100萬元，分配方案是：若只有某一小組研發成功，則該小組獲得全部獎金；若兩個小組都研發成功，則平分全部獎金；若兩個小組均未研發成功，則均不獲得獎金.則（

）A．該研究所疫苗研發成功的概率為B．乙小組獲得全部獎金的概率為C．在疫苗研發成功的情況下，是由甲小組研發成功的概率為D．甲小組獲得獎金的期望值為60萬元【答案】AC【分析】于A和B選項，可利用對立事件、相互獨立事件的概率公式求解并判斷；對于C選項，可利用條件概率的計算公式求解判斷；對于D選項，可先寫出甲小組獲得獎金數的可能取值，求出分布列，再計算期望值，進而判斷即可.【詳解】對由題，當甲、乙兩個小組至少有一個小組研發成功時，該研究所疫苗研發成功，其概率為，故A選項正確；乙小組獲得全部獎金，即甲小組沒有研發成功，而乙小組研發成功，概率為，故B選項錯誤；設事件A為“疫苗研發成功”，事件B為“甲小組研發成功”，則，故C選項正確；設甲小組獲得的獎金數為（單位：萬元），則的可能取值為0，50，100，且，，，所以，故D選項錯誤.故選：AC【點睛】關鍵點點睛：本題考查概率問題，關鍵考查建模能力，理解題意，正確轉化為概率模型求解，試題從實際生活中的場景出發，對新型冠狀病毒疫苗研發情況進行分析，需要考生選擇隨機變量刻畫隨機現象，并利用所學知識解決實際問題，體現對理性思維、數學應用、數學探索學科素養的考查.11．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考期末）一盒中有7個乒乓球，其中5個未使用過，2個已使用過，第一次從盒子中任取3個球來用，用完后再裝回盒中，記此時盒子中已使用過的球的個數為，第二次從盒子中任取2個球，設其中新球的個數為隨機變量，則（

）A．的所有可能取值是3，4，5 B．C． D．【答案】ACD【分析】求出的所有可能取值及對應的概率，求出期望可判斷A、B；根據條件概率公式可判斷C；根據全概率公式可判斷D.【詳解】由題意得，的所有可能取值是3，4，5，故A正確；，，，則，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD12．（2023·山東·山東省實驗中學校考二模）在平面直角坐標系的第一象限內隨機取一個整數點，若用隨機變量表示從這個點中隨機取出的一個點的橫、縱坐標之和，表示，同時發生的概率，則（

）A．當時，B．當時，C．當時，的均值為D．當（且）時，【答案】ACD【分析】利用條件概率公式可判斷A選項；列舉出滿足的點的坐標，利用古典概率公式可判斷B選項；利用離散型隨機變量的期望公式可判斷C選項；列舉出滿足，的點的坐標，利用古典概型的概率公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當時，整數點共個，則，由得，即滿足，的點的坐標為，所以，，A對；對于B選項，當時，整數點共個，滿足的整數點為，，則，B錯；對于C選項，當時，的可能取值有、、、、、、、、，此時，樣本點共個，滿足的點為，則，滿足的點為、，則，滿足的點為、、，則，滿足的點為、、、，則，滿足的點為、、、、，則，滿足的點為、、、，則，滿足的點為、、，則，滿足的點為、，則，滿足的點為，則，故當時，，C對；對于D選項，滿足的解為，則，D對.故選：ACD.三、填空題13．（2022上·高二課時練習）已知隨機變量的分布列如表:X-10bPab若X的數學期望，則.【答案】【分析】根據分布列的性質和期望的計算公式，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】根據題意，可得，解得，所以.故答案為：.14．（2022下·北京·高二首都師范大學附屬中學校考期中）從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中不放回地抽3次，每次抽取1臺，設抽取的乙型彩電臺數為，則．【答案】/1.2【分析】確定的取值，計算每個取值的概率，可得分布列，求得期望.【詳解】設抽取的乙型彩電臺數為，取值可能為：0,1,2，則則，，；所以的分布列為：012；故答案為15．隨機變量的概率分布為，其中是常數，則．【答案】【分析】根據隨機變量分布列概率和為1求出，求出，再由方差性質，即可求解.【詳解】由題意得，則，∴，，，則，，∴.故答案為:【點睛】本題考查離散型隨機變量分布列性質、期望、方差以及方差的性質，考查計算求解能力，屬于中檔題.16．（2021·全國·高二專題練習）已知隨機變量的分布列如下表：01其中，則的最大值是.【答案】【分析】求出隨機變量的均值，再由公式表示出，結合基本不等式可得，結合二次函數得性質即可得解.【詳解】由題意，，則，，所以又當且僅當，即時取等號，所以，所以所以，故的最大值是.故答案為：.四、解答題17．（2022下·重慶九龍坡·高二四川外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）據調查，目前對于已經近視的小學生，有兩種配戴眼鏡的選擇，一種是佩戴傳統的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺時佩戴的一種特殊的隱形眼鏡（因其在一定程度上可以減緩近視的發展速度，所以越來越多的小學生家長選擇角膜塑形鏡控制孩子的近視發展），A市從該地區小學生中隨機抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡的有24人（其中佩戴角膜塑形鏡的有8人，其中2名是男生，6名是女生）(1)若從樣本中選一位學生，已知這位小學生戴眼鏡，那么，他戴的是角膜塑形鏡的概率懸多大?(2)從這8名跟角膜塑形鏡的學生中，選出3個人，求其中男生人數的期望與方差；(3)若將樣本的頻率當做估計總體的概率，請問，從市的小學生中，隨機選出20位小學生，記其中佩戴角膜塑形鏡的人數為Y，求恰好時的概率（不用化簡）及Y的方差.【答案】(1)(2)，(3)，【分析】（1）由條件概率公式計算即可得解；（2）由題意可得的所有可能取值分別為：0，1，2，分別求出對應的概率，即可得分布列，從而求出期望與方差；（3）由已知可得，由二項分布的概率和方差公式計算即可得解．【詳解】（1）解：設“這位小學生佩戴眼鏡”為事件，“這位小學生佩戴的眼鏡是角膜塑形鏡”為事件，所以，所以若從樣本中選一位學生，已知這位小學生戴眼鏡，則他戴的是角膜塑形鏡的概率是．（2）解：依題意可知：其中男生人數的所有可能取值分別為：0，1，2，其中：；；，所以男生人數的分布列為：012所以，（3）解：由已知可得：，則：，，18．（2024·吉林白山·統考一模）俗話說：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺．張老師準備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規則如下：將一枚骰子連續投擲兩次，兩次的點數之和為3的倍數，則稱為“完美投擲”，出現“完美投擲”，則記；若擲出的點數之和不是3的倍數，則稱為“不完美投擲”，出現“不完美投擲”，則記；若，則當天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．(1)求出隨機變量的分布列，并求出期望及方差；(2)求張老師當天穿西裝的概率．【答案】(1)分布列見解析；，(2)【分析】（1）結合古典概型即可寫出分布列，進而可求期望與方差；（2）結合條件概率即可求解.【詳解】（1）將一枚骰子連續投擲兩次共有基本事件種，擲出的點數之和是3的倍數有：，12種；則擲出的點數之和不是3的倍數有24種，隨機變量的取值為0，1，，所以的分布列為：01．；（2）設表示深色，則表示穿淺色，表示穿西裝，則表示穿休閑裝．根據題意，穿深色衣物的概率為，則穿淺色衣物的概率為，穿深色西裝的概率為，穿淺色西裝的概率為，則當天穿西裝的概率為．所以張老師當天穿西裝的概率為．19．（2024上·遼寧遼陽·高二統考期末）為了推動足球運動的發展，某足球比賽允許不同俱樂部的運動員參加．現有來自甲俱樂部的運動員4名，其中知名選手2名；乙俱樂部的運動員5名，其中知名選手3名．從這9名運動員選擇5名參加比賽．(1)求選出的5人中恰有2人是知名選手，且這2名知名選手來自同一俱樂部的概率；(2)設隨機變量X為選出的5人中知名選手的人數，求X的分布列與數學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）結合概率公式計算即可得；（2）根據隨機變量X的可能取值逐一計算相應概率可得分布列，即可得期望.【詳解】（1）設“選出的5人中恰有2人是知名選手且這2名知名選手來自同一俱樂部”為事件A，則；（2）由題意可知，X的取值可能為1，2，3，4，5．，，，，，所以隨機變量X的分布列為X12345P.20．（2023上·山東日照·高二山東省日照實驗高級中學校考階段練習）甲乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數為，求隨機變量的概率分布、數學期望和方差．【答案】分布列見解析，均值為，方差為.【分析】求出的可能取值以及對應的概率，進而列出分布列，根據期望與方差的概念即可求出結果.【詳解】依題意，的所有