【贏在中考·黃金8卷】備戰2025年中考數學模擬卷（北京專用）黃金卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：100分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：（本大題共8題，每題2分，共16分.下列各題四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題卡的相應位置上.）1．下列圖形中，是中心對稱但不是軸對稱的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】解：A、該圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；B、該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意；C、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：B．2．已知，，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵，∴，即互為相反數，∴，∴，∴，A選項正確，不符合題意；，B選項正確，不符合題意；，C選項錯誤，符合題意；，D選項正確，不符合題意；故選：C．3．如圖，，，若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題平行線的性質，垂直的定義．根據平行線的性質得，再根據垂直定義得，即可由求解．【詳解】解：∵∴∵∴∴故選：C．4．如圖，將繞點C按照順時針方向旋轉得到，交于點D．若，則（）

A． B． C． D．60°【答案】C【分析】由旋轉的性質得出，再根據三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：∵將繞點C按照順時針方向旋轉得到∴，∵∴，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的性質，明確旋轉前后對應邊，對應角相等是解題的關鍵．5．有4張看上去無差別的卡片，上面分別寫著1，2，3，4隨機抽取1張后，放回并混合在一起，再隨機抽取1張，則第二次取出的數字是第一次取出數字的整數倍的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查列表法或畫樹狀圖法求概率，先畫樹狀圖得到所有等可能的結果，再找出符合題意的結果數，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如圖：共有16種等可能的結果，其中第二次取出的數字是第一次取出數字的整數倍的有8種，∴第二次取出的數字是第一次取出數字的整數倍的概率為，故選：D．6．西周時期，丞相周公旦設置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表，如圖是一個根據北京的地理位置設計的圭表，其中，立柱高為，已知，冬至時北京的正午日光入射角約為，則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即的長）約為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意和圖形，可以用含的式子表示出的長，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，立柱根部與圭表的冬至線的距離為，故選：D．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數解答．7．若，則的結果是（）A．7 B．9 C．﹣9 D．11【答案】D【分析】根據完全平方的特征對式子進行整理，即(a-)2+2，最后整體代入進行計算可得結果.【詳解】解：∵，∴＝（a﹣）2+2＝（﹣3）2+2＝9+2＝11，故選：D．【點睛】本題主要考查了代數式的求值，解題的關鍵是掌握完全平方公式．8．如圖，正方形，，連接，交于點O，并分別與邊，交于點F，E，連接，下列結論中正確的結論序號是（

）

①；②；③；A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、相似三角形的判定與性質、正方形的性質等知識點，先根據正方形的性質、三角形全等的判定定理證出，再根據全等三角形的性質可得，然后根據角的和差可得，由此可判斷結論①正確；先根據相似三角形的判定可得，再根據相似三角形的性質可得，從而可得，假設，從而可得，然后根據線段垂直平分線的判定與性質可得，最后在中，根據得出，由此得出矛盾，即可判斷結論②錯誤；先根據三角形全等的判定定理證出，再根據全等三角形的性質可得，由此即可得判斷結論③正確．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，即，在和中，，，，，，，故①正確；，，，即，假設，則，垂直平分，，又在中，，，這與相矛盾，則假設不成立，故②錯誤；，，，在和中，，，，，即，故③正確；即正確的有：①③，故選：B．填空題：（本大題共8題，每題2分，共16分.）9．若x+1在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．【答案】x≥-1【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數為非負數，列不等式求解即可．【詳解】由題意可知x+1≥0，∴x≥-1．故答案為：x≥-1．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，明確被開方數為非負數是解題關鍵．10．把多項式分解因式的結果是．【答案】【分析】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用乘法公式分解因式是解題關鍵．直接提取公因，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】故答案為：．11．分式方程的解．【答案】/【分析】本題考查解分式方程，去分母將分式方程轉化為整式方程，求解后檢驗即可．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項，合并同類項得：，∴，經檢驗，是原方程的解；故答案為：．12．在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于兩點，則．【答案】【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，根據直線與雙曲線交于兩點，得出，，再解方程，即可作答．【詳解】解：∵直線與雙曲線交于兩點∴則，∴整理得∴當時，則，此時；當時，則，此時；故答案為：13．魏晉時期，數學家劉徽利用如圖所示的“青朱出入圖”證明了勾股定理，其中四邊形，和都是正方形．如果圖中與的面積比為，那么的值為．【答案】【分析】證明，可得，而與的面積比為，即得，設，則，在中，有，又，故．【詳解】解：都是正方形，，，，，與的面積比為，，設，則，，在中，，由“青朱出入圖”可知：，．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握正方形性質和相似三角形的判定定理．14．如圖，點A，B，C，D在上，，，則．【答案】/100度【分析】本題考查了同弧上的圓周角的性質、三角形內角和等相關知識點，解題的關鍵是將已知角度與待求角度集中在同一個三角形內．利用同弧上的圓周角相等得到，然后利用三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故答案為：．15．如圖，在中，延長至點E，使，連接與于點F，則的值是．

【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質等知識點，證得△ABF∽由平行四邊形的性質結合已知條件可得AB=CD=DE=12CE【詳解】解：在中，AB∥CD∵，∴AB=CD=DE=1∵，∴△ABF∽∴BFFE故答案為：．16．有黑、白各6張卡片，分別寫有數字1至6把它們像撲克牌那樣洗過后，數字朝下，如圖排成兩行，排列規則如下：

①左至右，按數字從小到大的順序排列；②黑、白卡片數字相同時，黑卡片放在左邊．將第一行卡片用大寫英文字母按順序標注，第二行卡片用小寫英文字母按順序標注，則白卡片數字1擺在了標注字母的位置，標注字母e的卡片寫有數字．【答案】B4【分析】根據排列規則依次確定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【詳解】解：第一行中B與第二行中c肯定有一張為白1，若第二行中c為白1，則左邊不可能有2張黑卡片，白卡片數字1擺在了標注字母B的位置，黑卡片數字1擺在了標注字母A的位置，；第一行中C與第二行中c肯定有一張為白2，若第二行中c為白2，則a，b只能是黑1，黑2，而A為黑1，矛盾，第一行中C為白2；第一行中F與第二行中c肯定有一張為白3，若第一行中F為白3，則D，E只能是黑2，黑3，此時黑2在白2右邊，與規則②矛盾，第二行中c為白3，第二行中a為黑2，b為黑3；第一行中F與第二行中e肯定有一張為白4，若第一行中F為白4，則D，E只能是黑3，黑4，與b為黑3矛盾，第二行中e為白4．故答案為：①B，②4．三、解答題：（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）17．計算：．【答案】【分析】先根據一個數的負指數冪等于正指數冪的倒數，一個不等于零的數的零指數冪為１，一個數的絕對值是非負數，特殊角三角函數值sin60°=，求出各項的值即可．【詳解】解：原式【點睛】本題考查實數的混合運算；特殊角三角函數值．18．解不等式組并寫出它的非負整數解．【答案】；非負整數解是0，1【分析】首先解兩個一元一次不等式，然后求兩個不等式解集的公共部分，最后寫出不等式組的整數解．【詳解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組的解集是，∴非負整數解是0，1．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練解答一元一次不等式和確定一元一次不等式組的解集，在一元一次不等式組解集里確定非負整數解．19．已知，求的值．【答案】，1【分析】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是關鍵．利用分式的混合運算法則將化簡將，再根據題意得到，將代入化簡后的式子求解．【詳解】解：，，，原式．20．如圖，在四邊形中，，在上取兩點E，F，使，連接．

(1)若，試說明；(2)在（1）的條件下，連接，，試判斷與有怎樣的數量關系，并說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)，詳見解析【分析】（1）根據，得到，，由證明全等即可．（2）由全等的性質得到，由證明，即可得到答案．【詳解】（1）證明：，，，，在和中，，；（2）證明：連接、，

由（1）可知，在和中．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．21．列方程解應用題無人配送以其高效、安全、低成本等優勢，正在成為物流運輸行業的新趨勢．某物流園區使用1輛無人配送車平均每天配送的包裹數量是1名快遞員平均每天配送包裹數量的5倍．要配送6000件包裹，使用1輛無人配送車所需時間比4名快遞員同時配送所需時間少2天，求1名快遞員平均每天可配送包裹多少件？【答案】件【分析】本題主要考查了分式方程的應用，審清題意、明確量之間的關系、列出分式方程是解題的關鍵．設1名快遞員平均每天配送包裹件．則1輛無人配送車平均每天配送的包裹，然后根據等量關系“要配送6000件包裹，使用1輛無人配送車所需時間比4名快遞員同時配送所需時間少2天”列分式方程求解即可．【詳解】解：設1名快遞員平均每天配送包裹件．則1輛無人配送車平均每天配送的包裹，依題意可得：，解得：．經檢驗，是原分式方程的解且符合題意．答：1名快遞員平均每天可配送包裹件．22．在平面直角坐標系中，一次函數的圖象由函數的圖象平移得到，且經過點．(1)求這個一次函數的表達式；(2)當時，對于x的每一個值，函數的值小于一次函數的值，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)且【分析】本題考查了一次函數圖象的平移，一次函數解析式，一次函數與不等式等知識．熟練掌握一次函數圖象的平移，數形結合求解是解題的關鍵．（1）由平移可知，，將代入，求得，然后作答即可；（2）數形結合求解作答即可．【詳解】（1）解：由平移可知，，將代入中得，，∴一次函數表達式為；（2）解：如圖，由題意知，當時，對于x的每一個值，函數的值小于一次函數y=kx+bk≠0的值，m的取值范圍為且．23．疫情期間某校學生積極觀看網絡直播課程，為了了解全校500名學生觀看網絡直播課程的情況，隨機抽取50名學生，對他們觀看網絡直播課程的節數進行收集，并對數據進行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息．節數x頻數頻率81016ba4總數501其中，節數在這一組的數據是：20

20

21

22

23

23

23

25

25

26

26

26

27

28

28

29

請根據所給信息，解答下列問題：(1)，；(2)請補全頻數分布直方圖；(3)隨機抽取的50名學生觀看直播課節數的中位數是；(4)請估計該校學生中觀看網絡直播課節數不低于30次的約有__________人．【答案】(1)，；(2)補圖見解析；(3)24；(4)160．【分析】（1）根據頻率頻數總數進行求解，即可得到答案；（2）根據（1）所求結果即可補全頻數分布直方圖；（3）根據中位數的概念找到第25、26個數據，取其平均數即可得到答案；（4）用總人數乘以節數不低于30次的頻數即可得到答案．【詳解】（1）解：，，故答案為：，；（2）解：補全頻數分布直方圖如下：（3）解：隨機抽取的50名學生觀看直播課節數的中位數為第25、26個數據的平均數，根據節數在這一組的數據可知，第25、26個數據分別為23、25，所以，隨機抽取的50名學生觀看直播課節數的中位數是，故答案為：24；（4）解：根據圖表可知，學生中觀看網絡直播課節數不低于30次的頻率為，所以，估計該校學生中觀看網絡直播課節數不低于30次的約有人，故答案為160．【點睛】本題考查了用樣本估計總體，頻數（率）分布表，頻數（率）分布直方圖，中位數，解題關鍵是熟練掌握相關概念，從圖表中準確獲取信息．24．如圖，為的直徑，C是圓上一點，D是弧的中點，弦，垂足為點F．(1)求證：；(2)P是上一點，，，求的長度．【答案】(1)見詳解(2)2【分析】本題考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形，關鍵是由垂徑定理推出，得到；由勾股定理求出的長．（1）由垂徑定理推出，得到，推出；（2）由銳角的正切求出，由勾股定理求出，由垂徑定理得到由勾股定理求出，即可得到．【詳解】（1）證明：∵是的中點，，，，，；（2）解：連接，∵是圓的直徑，，，，，，，，，，，，．25．數學學習小組的同學共同探究體積為330mL圓柱形有蓋容器（如圖所示）的設計方案．，他們想探究容器表面積與底面半徑的關系．具體研究過程如下，請補充完整：（1）建立模型：設該容器的表面積為S，底面半徑為cm，高為cm，則，

①，

②由①式得，代入②式得．

③可知，S是x的函數，自變量x的取值范圍是．（2）探究函數：根據函數解析式③，按照下表中自變量x的值計算（精確到個位），得到了S與x的幾組對應值：…11.522.533.544.555.56……666454355303277266266274289310336…在下面平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點．根據描出的點，畫出該函數的圖象；（3）解決問題：根據圖表回答，①半徑為2.4cm的圓柱形容器比半徑為4.4cm的圓柱形容器表面積______．（填“大”或“小”）；②若容器的表面積為300，容器底面半徑約為______cm（精確到0.1）．【答案】①大；②或【分析】①根據（2）中的表格中數據與函數圖象分析可得當時，，當時，，進而可比較當與時，的值的大小，②根據函數圖象求解即可【詳解】解：①（2）中的表格中數據可知，當時，，當時，，根據函數圖象可知，當時，隨的增大增大，當時，隨的增大而減小，時，,時，半徑為2.4cm的圓柱形容器比半徑為4.4cm的圓柱形容器表面積大故答案為：大②根據函數圖象可知，當時，或故答案為：或【點睛】本題考查了函數圖象，根據函數圖象獲取信息是解題的關鍵．26．在平面直角坐標系中，拋物線經過點，．(1)若，①求此拋物線的對稱軸；②當時，直接寫出m的取值范圍；(2)若，點在該拋物線上，且，請比較p，q的大小，并說明理由．【答案】(1)①；②或(2)，理由見解析【分析】（1）①把點A-2,0代入，求出a的值，可求出拋物線解析式，再把解析式化為頂點式，即可求解；②求出拋物線與x軸的另一個交點為1,0，再根據二次函數的圖象，即可求解；（2）把點代入可得，再由，可得，，從而得到拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線，然后根據，可得，再根據，可得到對稱軸的距離大于對稱軸的距離，即可求解．【詳解】（1）解：①當時，點A-2,0，把點A-2,0代入得：，解得：，∴該函數解析式為，∵，∴拋物線的對稱軸為直線；②令，則，解得：，∴拋物線與x軸的另一個交點為1,0，∵，∴拋物線開口向下，∴當時，m的取值范圍為或；（2）解：，理由如下：把點代入得：，∵，∴，∴，∴，∴拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，∴，∵，∴到對稱軸的距離大于對稱軸的距離，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．27．在中，，，點D在邊上（不與點B，C重合），將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，連接．

(1)根據題意補全圖形，并證明：；(2)過點C作的平行線，交于點F，用等式表示線段與之間的數量關系，并證明．【答案】(1)補全圖形見解析，證明見解析；(2)，證明見解析．【分析】（1）根據旋轉的方向和角度補全圖形，再根據已知和旋轉的性質求出，，進而可得結論；（2）作于點M，與直線交于點N，利用證明，可得，，然后求出，可得，再利用證明即可．【詳解】（1）補全的圖形如圖所示：

證明：∵，∴，由旋轉的性質可知，即，∴；（2）；證明：如圖，作于點M，與直線交于點N，

∴，由旋轉的性質可知，由（1）可知，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵∴，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了畫旋轉圖形，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識，能夠作出合適的輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．28．在平面直角坐標系中，對于的弦AB和點給出如下定義：若點關于直線AB的對稱點在上，且點在弦AB的垂直平分線上，則稱點