【贏在中考·黃金8卷】備戰2025年中考數學模擬卷（南京專用）黃金卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一．選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）1．（2分）人體中紅細胞的直徑約為0.0000077m．0.0000077用科學記數法表示是（）A．0.77×10﹣5 B．0.77×10﹣6 C．7.7×10﹣5 D．7.7×10﹣6【答案】D【分析】絕對值小于1的數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【解答】解：0.0000077＝7.7×10﹣6．故選：D．2．（2分）下列各式中，一定能成立的是（）A．(?2.5)2=(2.5C．(a?1)2=a?1【答案】A【分析】利二次根式的化簡的法則，二次根式的乘法的法則對各項進行運算即可．【解答】解：A、(?2.5)2=(B、當a＜0時a沒有意義，故B不符合題意；C、當a﹣1＜0時，(a?1)2=1?aD、當a≥3時，a2?9=故選：A．3．（2分）如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法通常是：從電線桿DE上一點A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB與AC，當固定點B，C到桿腳E的距離相等，且B，E，C在同一直線上時，電線桿DE就垂直于BC．工程人員這種操作方法的依據是（）A．等邊對等角 B．等腰三角形“三線合一” C．垂線段最短 D．線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等【答案】B【分析】根據等腰三角形的性質即可得到結論．【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，故工程人員這種操作方法的依據是等腰三角形“三線合一”，故選：B．4．（2分）驗光師檢測發現近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關于x的函數圖象如圖所示．經過一段時間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由0.25米調整到0.5米，則近視眼鏡的度數減少了（）A．150 B．200 C．250 D．300【答案】B【分析】由已知設y=kx，則由圖象知點（0.25，400）滿足解析式，代入求k＝100，則解析式為：y=100x，令x＝0.25，【解答】解：設y=kx（∵（0.2，500）在圖象上，∴k＝500×0.2＝100，∴函數解析式為：y=100當x＝0.25時，y=100當x＝0.5時，y=100∴度數減少了400﹣200＝200（度），故選：B．5．（2分）《九章算術》中有一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：如圖，一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？若設折斷處離地面x尺，則下面所列方程正確的是（）A．x2+32＝（1﹣x）2 B．x2+（1﹣x）2＝32 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．x2+32＝（10﹣x）2【答案】D【分析】根據題意結合勾股定理列出方程即可．【解答】解：根據題意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故選：D．6．（2分）據說古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如圖所示，他們用13個等距的結把一根繩子分成等長的12段，一個工匠同時握住繩子的第1個結和第13個結，兩個助手分別握住第4個結和第8個結，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形，則cosα等于（）A．35 B．45 C．34【答案】B【分析】根據題意可得BC＝3，AC＝4，AB＝5，運用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根據余弦的計算方法即可求解．【解答】解：如圖所示，BC＝3，AC＝4，AB＝5，∴△ABC是直角三角形，∴cosα=AC故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）7．（2分）64的算術平方根是22．【答案】見試題解答內容【分析】根據算術平方根的概念進行解題即可．【解答】解：∵64=∴64的算術平方根是8=22故答案為：22．8．（2分）若二次根式x?9在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是x≥9．【答案】見試題解答內容【分析】根據二次根式的被開方數是非負數即可得出答案．【解答】解：∵x﹣9≥0，∴x≥9．故答案為：x≥9．9．（2分）計算：12?8×6【答案】?23【分析】先根據二次根式的乘法法則計算乘法，再把二次根式化簡，最后合并同類二次根式即可．【解答】解：原式=2=23=?23故答案為：?2310．（2分）如果x+y＝3，則（x+y）2+2x+2y﹣1＝14．【答案】14．【分析】根據已知條件將要求代數式變形，然后整體代入求值即可．【解答】解：當x+y＝3時，原式＝（x+y）2+2（x+y）﹣1＝32+2×3﹣1＝14．故答案為：14．11．（2分）方程23x=12x?5的解為【答案】x＝10．【分析】解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．按照解分式方程的步驟進行計算即可．【解答】解：原方程去分母得2（2x﹣5）＝3x，4x﹣10＝3x，4x﹣3x＝10，x＝10，檢驗：當x＝10時，3x（2x﹣5）≠0，∴x＝10是原方程的解．故答案為：x＝10．12．（2分）淇淇是一名天文愛好者，他統計了8場流星雨的最大天頂流量（單位：顆/小時）的數據，分別為136，150，123，87，36，150，36，150．這8場流星雨的最大天頂流量的數據的眾數是150．【答案】150．【分析】根據眾數是指一組數據中出現次數最多的數，進行解答即可．【解答】解：150出現次數最多，因此這8場流星雨的最大天頂流量的數據的眾數是150．故答案為：150．13．（2分）如圖，△ABC內接于⊙O，若AC∥BO，∠OBC＝28°，則∠CBA的度數是34°．【答案】34°．【分析】連接OA，先利用平行線的性質可得∠OBC＝∠ACB＝28°，再利用等腰三角形的性質可得∠OCB＝∠OBC＝28°，從而可得∠OCA＝56°，然后再利用等腰三角形的性質可得∠OAC＝∠OCA＝56°，從而利用三角形內角和定理可得∠AOC＝68°，最后利用圓周角定理進行計算，即可解答．【解答】解：連接OA，∵AC∥BO，∴∠OBC＝∠ACB＝28°，∵OA＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝28°，∴∠OCA＝∠OCB+∠ACB＝56°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝56°，∴∠AOC＝180﹣∠OAC﹣∠OCA＝68°，∴∠ABC=12∠故答案為：34°．14．（2分）如圖，BD為正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC，交DC于點E，將△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△DCF，則∠BDF＝67.5度，若CE＝1cm，則BF＝2+2cm【答案】67.5，2+2【分析】由正方形的性質可得BC＝CD，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠BCE＝90°，由角平分線的定義可得∠CBE=12∠CBD=22.5°，由旋轉的性質可得CF＝CE＝1，∠CDF＝∠CBE＝22.5°，∠DCF＝90°，則∠BDF＝∠CDB+∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，由三角形外角的性質可得∠F＝67.5°，即∠BDF＝∠F，則BD＝BF，設BF＝BD＝x，則BC＝CD＝（x【解答】解：∵BD為正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC，∴BC＝CD，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠BCE＝90°，∴∠CBE=1∵將△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△DCF，CE＝1cm，∴CF＝CE＝1，∠CDF＝∠CBE＝22.5°，∠DCF＝90°，∴∠BDF＝∠CDB+∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，即∠BDF的度數為67.5°，∵∠F＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠F，∴BD＝BF，設BF＝BD＝x＞1，則BC＝CD＝（x﹣1）cm，∵BC2+DC2＝BD2，∴（x﹣1）2+（x﹣1）2＝x2，整理得，x2﹣4x+1＝0，解得x=2+2或2?∴BF=2+2，即BF的長為2故答案為：67.5，2+215．（2分）已知關于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的兩個實數根為x1，x2，且滿足（x1+1）（x2+1）＝2，則m的值為?32【答案】?3【分析】首先利用根與系數的關系可以得到x1+x2，x1?x2，接著利用根與系數的關系得到關于m的方程，解方程即可解決問題．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的兩個實數根為x1，x2，∴1+x2＝﹣（4m+1），x1?x2＝2m﹣1，∴（x1+1）（x2+1）＝x1?x2+x1+x2+1＝2，即：2m﹣1﹣（4m+1）+1＝2，解得：m=?3故答案為：?316．（2分）如圖，四邊形ABCD是邊長為6的菱形，∠B＝60°，F是BC的中點，點E、G分別在AB，CD上，且EG⊥AB，連接EF、AG，則EF+AG的最小值為9．【答案】9．【分析】分別延長EF與DC，設它們交于點K，取DC的中點H，延長AH交BC延長線于點M，連接FG，GM，通過證明△EBF≌△KCF得到F為EK的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到EF＝FG；連接AC，可得△ADC為等邊三角形，利用等腰三角形的三線合一得到AH⊥DC，利用線段垂直平分線的性質得到AG＝GM，這樣，根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，得到EF+AG＝FG+GM≥FM，則EF+AG的值最小為FM．【解答】解：分別延長EF與DC，設它們交于點K，取DC的中點H，延長AH交BC延長線于點M，連接FG，GM，如圖，∵F是BC的中點，∴BF＝FC＝3．∵四邊形ABCD是的菱形，∴AB∥CD．∴∠B＝∠FCK．在△EBF和△KCF中，∠BFE=∠CFKBF=CF∴△EBF≌△KCF（ASA）．∴EF＝FK．∵EG⊥AB，AB∥CD，∴EG⊥DC．∴GF=12EK＝同理：△ADH≌△MCH，∴AH＝HM，CM＝AD＝6．連接AC，∵四邊形ABCD是的菱形，∴AD＝DC，∠D＝∠B＝60°．∴△ADC為等邊三角形，∵H為CD的中點，∴AH⊥CD．∴CD是AM的垂直平分線．∴AG＝GM．∵G為CD上一點，∴EF+AG＝FG+GM≥FM．∴當點G與點C重合時，EF+AG的值最小為FM．∵FM＝FC+CM＝3+6＝9，∴EF+AG的最小值為9．故答案為：9．三．解答題（共11小題，滿分88分）17．（7分）解不等式組2x?1＜?91?x≥【答案】x＜﹣4．【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數軸上表示出來即可．【解答】解：2x?1＜?9①1?x≥由①得，x＜﹣4，由②得，x≤1故此不等式的解集為x＜﹣4．在數軸上表示為：．18．（7分）計算：1a2?【答案】見試題解答內容【分析】先將被除式分母因式分解、計算括號內分式的加法，再將除法轉化為乘法，約分即可得．【解答】解：原式==1(a+b)(a?b)?=119．（8分）如圖，在矩形ABCD中，過對角線AC的中點O作AC的垂線，分別交射線AD和CB于點E、F．求證：OE＝OF．【答案】見解析過程．【分析】由“ASA”可證△EOA≌△FOC，可得OE＝OF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵AC的中點是O，∴OA＝OC，在△EOA和△FOC中，∠AOE=∠COFAO=CO∴△EOA≌△FOC（ASA），∴OE＝OF；20．（8分）如圖，反比例函數y=mx(x＞0)的圖象與一次函數y＝﹣x+b的圖象交于兩點A、B（1）求m，b的值：（2）求點B的坐標，并寫出?x+b＞mx時，【答案】（1）m＝2，b＝3．（2）當?x+b＞mx時，1＜【分析】（1）由點A（1，2）在y=mx的圖象上，得到2=m1，求得m＝2．根據點A（1，2）在y＝﹣（2）根據題意列方程組即可得到結論．【解答】解：（1）∵點A（1，2）在y=m∴2=m解得m＝2．把A（1，2）代入y＝﹣x+b得，2＝﹣1+b，解得b＝3．（2）∵A，B是兩個函數圖象的交點，∴y=2解得x=1y=2或x=2∴B（2，1）．當?x+b＞mx時，x的取值范圍為1＜21．（8分）嘉淇家客廳里裝有一種開關，分別控制著A（樓梯）、B（客廳）、C（走廊）三盞電燈．在正常情況下，嘉淇按下任意一個開關均可打開對應的一盞電燈．（1）若嘉淇任意按下一個開關，正好客廳燈亮的概率是13（2）若任意按下其中的兩個開關，求客廳和走廊燈同時亮的概率．【答案】（1）13（2）13【分析】（1）直接利用概率公式求解，即可求得答案；（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與正好客廳燈和走廊燈同時亮的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）小晗任意按下一個開關，正好客廳燈亮的概率是13故答案為：13（2）畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，正好客廳燈和走廊燈同時亮的有2種情況，∴正好客廳燈和走廊燈同時亮的概率是2622．（9分）人口老齡化是全球性人口發展大趨勢，也是我國發展面臨的重大挑戰．閱讀以下統計圖并回答問題．（1）2020年，全國老年人口約為1.9億（精確到0.1）；（2）1990～2020年間，全國人口增長最快的時間段是①（填序號）；①1990～2000；②2000～2010；③2010～2020．（3）請結合圖提供的信息，從不同角度寫出兩個與我國人口老齡化相關的結論．【答案】（1）1.9；（2）①；（3）見解答（答案不唯一）．【分析】（1）根據條折線統計圖和條形統計圖數據解答即可；（2）根據條形統計圖數據判斷即可；（3）根據折線統計圖信息解答即可．【解答】解：（1）由折線統計圖可知，2020年，全國老年人口約為：14.12×13.50%≈1.9（億）．故答案為：1.9；（2）由條形統計圖可知，1990～2020年間，全國人口增長最快的時間段是1990～2000，增速為12.66?11.3411.34故答案為：①；（3）由統計圖可知，①我國人口老齡化逐年增長；②2000全國老年人口達到：12.66×6.96%≈0.88（億）．23．（8分）如圖，A，B兩地的直線距離為7km，但因湖水相隔，不能直接到達．從A到B有兩條路可走．線路1：從A﹣C﹣B；線路2：從A﹣D﹣B．從地圖上可得到以下數據：點C位于A的正北方向，且在B的北偏西63°的方向；點D在A的東南方向，且位于B的南偏西37°方向．（參考數據：2≈1.4，（1）求AD的長度；（保留1位小數）（2）通過計算說明，線路1和線路2，哪條線路更短．【答案】（1）AD≈5.6km；（2）線路2更短．【分析】（1）通過作垂線構造直角三角形，由方向角的定義以及銳角三角函數的定義求出AE，進而求出AD即可；（2）利用直角三角形的邊角關系以及銳角三角函數求出AC，BC，BD即可．【解答】解：（1）如圖，過點D作DE⊥AB于點E，由題意得，AB＝7km，∠CAB＝90°，∠C＝63°，∠BDE＝37°，∠BAD＝45°，在Rt△ADE中，AB＝7，∠EAD＝45°，∴AE＝DE，在Rt△BDE中，AB＝7，∠BDE＝37°，∵tan37°=BE∴BE＝tan37°?DE，∵AE+BE＝AB＝7，∴AE+tan37°?DE＝7，即AE+0.75AE＝7，解得AE＝4＝DE，∴AD=2AE＝42≈5.6（（2）在Rt△ABC中，AB＝7，∠C＝63°，∴BC=ABsin∠ACB=AC=ABtan∠ACB=在Rt△BDE中，DE＝4，∠BDE＝37°，∴BD=DEcos∠BDE=∴線路1，即A﹣C﹣B路線長為AC+BC＝3.5+7.9＝11.4（km），線路2，即A﹣D﹣B的路線長為AD+BD＝5.0+5.6＝10.6（km），∵11.4＜10.6，∴線路2更短．24．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O為線段AB上一點，以O為圓心，OB長為半徑的圓與邊BC，AC分別交于D，E兩點，（1）若O為AB的中點①求證：DE＝DC；②探究BD與CD的數量關系，并說明理由．（2）連結OD，若四邊形AODE為菱形，BC＝8，求陰影部分的面積．【答案】（1）①見解析；②BD＝CD，理由見解析；（2）163【分析】（1）①先根據圓內接四邊形的性質得∠AED+∠ABC＝180°，進而得∠DEC＝∠ABC，再由AB＝AC得∠ABC＝∠C，再根據等量代換得∠DEC＝∠C，即可得出結論；②連接AD，可得∠ADB＝90°，依據等腰三角形的性質可得結論；（2）連接OE，則OE＝OD＝OA＝OB，根據四邊形AODE為菱形，證明△ODE和△OEA為等邊三角形，△BOD為等邊三角形可得OB＝4，再根據S陰影＝2（S扇形ODE﹣S△ODE）可得結論．【解答】（1）①證明：由題意得，四邊形ABDE是⊙O的內接四邊形，∴∠AED+∠ABC＝180°，又∵∠AED+∠DEC＝180°，∴∠DEC＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC；②解：BD＝CD．理由如下：如圖2，連接AD，∵O是AB的中點，∴AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）如圖3，連接OE交AD于M，則OE＝OD＝OA＝OB，∵四邊形AODE為菱形，∴DE＝OD，AE＝OA，OM=1∴DE＝OD＝OE＝AE＝OA，∴△ODE和△OEA為等邊三角形，∴∠AOE＝∠DOE＝60°，∴∠DOB＝60°，∴△BOD為等邊三角形，∴OB＝OD＝BD=12BC∴OB＝OE＝4，∴OM=12OE=2∴S扇形ODE=60π×∴S陰影所以陰影部分的面積為16325．（8分）已知拋物線y＝ax2+bx+c過點（1，2），頂點（m，n）在拋物線y＝x2上．（1）當n取最小值時，a＝2；（2）用含m的式子表示a；（3）已知點A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在拋物線y＝ax2+bx+c上，且y2＜y1＜y3，求m的取值范圍．【答案】（1）2；（2）a=2?m2m2?2m+1（3）所述：?2＜【分析】（1）將頂點（m，n）代入函數y＝x2中，將函數轉化為y＝a（x﹣m）2+m2，求出a的最小值；（2）將（1，2）代入，得出a的代數式；（3）分開口向上和開口向下進行討論，分別畫出圖象得出結論．【解答】解：（1）∵二次函數的頂點（m，n）在y＝x2上，∴n＝m2，∴設二次函數為y＝a（x﹣m）2+m2，當n取最小值時，m＝0，此時y＝ax2，∵拋物線過點（1，2），∴a＝2，故答案為：2；（2）∵圖象經過點（1，2），∴2＝a（1﹣m）2+m2，化簡得：a=2?m2m2?2m+1（3）①當開口向上時，2﹣m2＞0，∴?2＜m∴﹣2＜m＜2，∴∵y2＜y1＜y3，∴|﹣1﹣m|＜m﹣（﹣2）＜2﹣m，解得：?32∵?2∴?2＜②當開口向下時，∴m＞2或m＜?當m＞2此時，y1＜y2，不合題意，當m＜?2此時，y3＜y2，不合題意，綜上所述：?226．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AG為△ABC的外角∠BAE的平分線，BF⊥AG，垂足為F，點D為BC上一點，連接DF，交AB于點O．（1）在不添加新的線的前提下，請增加一個條件：AD⊥BC，使得四邊形AFBD為矩形，并說明理由；（2）若四邊形AFBD為矩形，請用尺規作圖的方法作一個菱形ABPC，使BC為菱形的一條對角線．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）AD⊥BC（答案不唯一），證明見解析；（2）見解析．【分析】（1）添加：AD⊥BC（答案不唯一）．證明∠AFB＝∠FBD＝∠ADB＝90°即可；（2）延長AD到P，使得DP＝AD，連接BP，CP即可．【解答】解：（1）添加：AD⊥BC（答案不唯一）．理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠EAB＝∠ABC+∠C，AG平分∠EAB，∴∠BAG＝∠ABC，∴AG∥BC，∵BF⊥AG，∴BF⊥BC，∵AD⊥BC，∴∠AFB＝∠FBD＝∠ADB＝90°，∴四邊形AFBD是矩形；（2）如圖，四邊形ABPC即為所求．27．（9分）問題背景如圖（1），在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求證：△ABD≌△ACE；嘗試應用如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，連接CE，點F是CE的中點．判定以B，D，F為頂點的三角形的形狀，并證明你的結論；拓展創新如圖（3），在△ABC中，AC=2，BC=25，將AB繞點A逆時針旋轉90°得到AD，連接BD，CD．若點E是CD的中點，連接BE，直接寫出【答案】（1）見解析；（