第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省宿遷市泗陽縣高二（上）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=2，aA.6 B.20 C.25 D.302.函數(shù)f(x)=x2?sinx在區(qū)間[0,π]上的平均變化率為A.?π?1π B.?π C.π 3.已知直線l過直線x?2y=0與直線x+y+3=0的交點，且與直線3x+y?1=0平行，則直線l的方程為(

)A.3x+y+7=0 B.3x+y?7=0 C.3x+y+3=0 D.3x+y?3=04.若方程x22?k+y2k?1=1表示焦點在A.(1,2) B.(1,32) C.(5.若圓x2+y2=4上恰有三個點到直線l：y=2x+m的距離等于1，則A.±25 B.±5 C.6.當某種針劑藥注入人體后，血液中該藥的濃度C與時間t的關系式近似滿足C(t)=tet，其中t≥0，則血液中該藥的濃度，在t=3時的瞬時變化率約是t=4時的瞬時變化率的多少倍(e≈2.7)A.?1.8 B.1.8 C.3.6 D.?3.67.設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若3SnA.an=(?12)n B.a8.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，過F1A.52 B.62 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法中正確的有(

)A.直線x+(k?1)y+2=0過定點(2,0)

B.點(1,1)關于直線x?y+1=0的對稱點為(0,2)

C.兩條平行直線x+3y?4=0與2x+6y?9=0之間的距離為1020

D.當實數(shù)m=2時，直線2x+y?2=0和10.已知數(shù)列{an}的首項a1A.若{an}是公差為2的等差數(shù)列，則{2an+1}是以5為首項，4為公差的等差數(shù)列

B.若{an}是公差為2的等差數(shù)列，則{3an}是以9為首項，3為公比的等比數(shù)列

C.若{an}是公比為3的等比數(shù)列，則{an11.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的通徑為2，焦點為F，經過點F的直線交拋物線C于A(x1,yA.x1?x2=14

B.點F的坐標為(12,0)

C.設點E(3,?2)，若點P為C上的動點，則|PE|+|PF|的最小值為4

D.過點H(?2,1)作拋物線C的兩條切線，切點分別為M、N三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若橢圓與雙曲線有相同的焦點，則實數(shù)a的值為______．13.已知點A(?1,0)，B(1,0)，若直線y=kx+4上存在點M，使MA2+MB214.令f(x)=x2，對拋物線y=f(x)持續(xù)實施下面“牛頓切線法”的步驟：

在點(1,1)處作拋物線的切線，交x軸于點(x1,0)；

在點(x1,f(x1))處作拋物線的切線，交x軸于點(x2,0)；

在點(x2,f(x2))處作拋物線的切線，交x軸于點四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=13x3?ax+13，a∈R，且滿足f′(2)=0．

(1)求實數(shù)a的值；

16.(本小題15分)

已知圓C的圓心在直線x?2y=0上，且過兩點A(0,2)，B(4,6)．

(1)求圓C的方程；

(2)直線l過點P(6,1)，且與圓C相交于M，N兩點，若|MN|=43，求直線l17.(本小題15分)

已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，且過點(1,32)，其中O為坐標原點．

(1)求橢圓C1的方程；

(2)過橢圓C1的右頂點作直線與拋物線C2：y2=2x相交于A，B兩點；

①求證：OA⊥OB18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=?lnx+ax+a?2，a∈R．

(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線方程為y=x+1，求實數(shù)a的值；

(2)設函數(shù)y=ω(x)在區(qū)間I上有定義，若對任意的x1，x2∈I，都有ω(x1+x22)≤ω(x1)+ω(x2)2，則稱函數(shù)19.(本小題17分)

北宋的數(shù)學家沈括博學多才，善于觀察.據(jù)說有一天，他走進一家酒館，看見一層層壘起的酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？”他想堆積的酒壇、棋子等雖然看起來像實體，但中間是有空隙的，應該把它們看成離散的量.經過反復嘗試，沈括提出對于上底有ab個，下底有cd個，共n層的堆積物(如圖1所示)，可以用公式Sn=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c?a)求出物體的總數(shù).這就是所謂的“隙積術”，相當于求數(shù)列ab，(a+1)(b+1)，(a+2)(b+2)，…，(a+n?1)(b+n?1)=cd的和.然而，“隙積術”的意義不僅在于提出了二階等差數(shù)列的一個求和公式，而且在于發(fā)展了自《九章算術》以來對等差數(shù)列問題的研究，開創(chuàng)了我國“垛積數(shù)”的研究．

(1)若a=3，b=4，求S6的值；

(2)若由小球堆成的上述垛積共7層，小球總個數(shù)為238，求該垛積最上層的小球個數(shù)ab；

(3)三角垛是堆積垛的一種特殊情況，即指的是頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個，…，設第n層放an個物體堆成的堆垛(如圖2所示參考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.B

7.D

8.C

9.BCD

10.AD

11.ABD

12.±1

13.(?∞,?14.12

3?15.解：(1)因為f(x)=13x3?ax+13，

所以f′(x)=x2?a，

令f′(2)=0，即方程22?a=0，

解得a=4．

(2)由(1)知，f(x)=13x3?4x+13，所以x?3(?3,?2)?2(?2,2)2(2,3)3f′(x)+0?0+f(x)10單調遞增17單調遞減?5單調遞增?所以f(x)的極大值為f(?2)=173，f(x)的極小值為f(2)=?5，

又f(?3)=103,f(3)=?83．

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間16.解：(1)由題意圓C的圓心在直線x?2y=0上，且過兩點A(0,2)，B(4,6)，

可設圓C的方程為(x?a)2+(x?b)2=r2，

因為圓C的圓心在直線x?2y=0上，所以a=2b．

因為圓C過A(0,2)，B(4,6)，

代入圓C方程可得(0?a)2+(2?b)2=r2(4?a)2+(6?b)2=r2，

解得a=4，b=2，r=4，

故圓C的標準方程為(x?4)2+(y?2)2=16；

(2)設C到l的距離為d，由MN=216?d2=43，解得d=2，

當直線l斜率不存在時，l：x=617.解：(1)由橢圓C1的離心率為12，

可得：a2?b2a2=14，

整理得：3a2=4b2，

則橢圓C1：x2a2+y2b2=1的方程可化為x2a2+4y23a2=1．

代入點(1,32)得a2=4，

則橢圓C1的方程為x24+y23=1．

(2)由橢圓C1方程為x24+y23=1可得：該橢圓的右頂點為(2,0)．

①證明：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

當直線AB的斜率為0時，直線AB與拋物線C2只有一個交點，不滿足題意．

當直線AB的斜率不為0時，設直線AB的方程為x=my+2，

聯(lián)立方程組y2=2xx=my+2，

整理得y2?2my?4=0，

則y1，y2為方程y2?2my?4=0的兩不等根，

18.解：(1)∵f′(x)=?1x+a，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線方程為y=x+1，

∴f′(1)=?1+a=1，解得a=2．

(2)證明：函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，設?x1，x2∈(0,+∞)，

則f(x1)+f(x2)?2f(x1+x22)

=?lnx1+ax1+a?2?lnx2+ax2+a?2?2(?lnx1+x22+a?x1+x22+a?2)

=?lnx1?lnx2+2lnx1+x22=ln(x1+x22)2?ln(x1x2)

=ln(x1+x2)24x1x2，

∵x1，x2∈(0,+∞)，

∴(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2≥4x1x2>0，

∴(x1+x2)24x1x2≥1(當且僅當x1=x2時取等號)，

∴l(xiāng)n(x1+x2)24x1x2≥ln1=0(當且僅當x1=x2時取等號)，

∴f(x1)+f(x2)?2f(x1+x22)≥0，

即19.解：(1)依題意，a=3，b=4，n=6，

則c=3+6?1=8，d=4+6?1=9，

所以S6=66[(2×4+9)×3+(4+2×9)×8]+66(8?3)=232．

(2)依愿意，c=a+6，d=b+6，

由給出的公式，得76[(2b+d)a+(b+2d)c]+76(c?a)=238，

即76[(3b+6)a+(3b+12)(a+6)]+7=238，

整理得ab+3(a+b)=21，

而a，b為正整數(shù)，

又21=