階段拔尖專訓(xùn)4二次函數(shù)中的存在性問題(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上存在一點(diǎn)D(不與點(diǎn)C重合)，使得∠ABD＝∠ABC，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，分別交BC，x軸于點(diǎn)M，N，△PMC中有某個(gè)角的度數(shù)等于∠OBC度數(shù)的2倍，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．3．[2024徐州一模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3的圖象交x軸于A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段OB上，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E.(1)a＝________，b＝________；1－2【點(diǎn)撥】由題意可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x＋1)(x－3)，∴a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a＝ax2＋bx－3，∴－3a＝－3，∴a＝1，故拋物線的表達(dá)式為y＝x2－2x－3，∴b＝－2.(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，若△CDE是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解】由(1)知拋物線的表達(dá)式為y＝x2－2x－3，∴易得點(diǎn)C(0，－3)，∴可設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx－3，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得3k－3＝0，∴k＝1，∴直線BC的表達(dá)式為y＝x－3.當(dāng)∠ECD＝90°時(shí)，易得直線CD的表達(dá)式為y＝－x－3，聯(lián)立直線CD與拋物線表達(dá)式得－x－3＝x2－2x－3，解得x＝0或x＝1，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，∵PD⊥x軸，∴P(1，0)；4．[2024婁底模擬]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋x＋c經(jīng)過A(－2，0)，B(0，4)兩點(diǎn)，直線x＝3與x軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)G.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在線段OC上是否存在點(diǎn)F，使得∠BFG是直角？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．[2023成都節(jié)選]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2＋c經(jīng)過點(diǎn)P(4，－3)，與y軸交于點(diǎn)A(0，1)，直線y＝kx(k≠0)與拋物線交于B，C兩點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，求PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，將該拋物線向右平移5個(gè)單位，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)F，Q為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以QF為腰的△QEF是等腰三角形的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)的過程寫出來．7．[2024廣元節(jié)選]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(－3，－1)，與y軸交于點(diǎn)B(0，2)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)作拋物線F關(guān)于直線y＝－1上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象F′，拋物線F與F′只有一個(gè)公共點(diǎn)E(點(diǎn)E在y軸右側(cè))，G為直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線F′對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)的坐標(biāo)．【解】由題意易知，拋物線F與F′的公共點(diǎn)E為直線y＝－1與拋物線F的右交點(diǎn)，且拋物線F與F′關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱．令－x2－2x＋2＝－1，解得x＝－3或x＝1，∴E(1，－1)．∵y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3，∴拋物線F的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，3)，∴拋物線F′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－5)，對(duì)稱軸為直線x＝3，由A(－3，－1)，B(0，2)可得直線AB的表達(dá)式為y＝x＋2，∴可設(shè)G(m，m＋2)，當(dāng)BE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m＋3＝0＋1，解得m＝－2，∴G(－2，0)；當(dāng)BG為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，0＋m＝3＋1，∴m＝4，∴G(4，6)；當(dāng)BH為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m＋1＝0＋3時(shí)，解得m＝2，∴G(2，4)．綜上所述，G點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，0)或(4，6)或(2，4)．8．[2024西安碑林區(qū)校級(jí)模擬]如圖，已知拋物線L：y＝x2－2x－3與x軸交于點(diǎn)A，B(A在B的左側(cè))，頂點(diǎn)為C，將拋物線L向左平移5個(gè)單位，得到拋物線L′.(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；【解】令x2－2x－3＝0，則x＝－1或x＝3，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A(－1，0)，B(3，0)．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴C(1，－4)，即點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(－1，0)，(3，0)，(1，－4)．(2)M為拋物線L上一動(dòng)點(diǎn)，N為拋物線L′上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在M，N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是以AB為邊的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解】存在．由題意得L′：y＝(x－1＋5)2－4＝x2＋8x＋12.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(m，m2－2m－3)，(n，n2＋8n＋12)，9．如圖，拋物線y＝ax2＋2x＋c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)AC.(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．[2024瀘州節(jié)選]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．(1)求該拋物線的表達(dá)式；【解】∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，且關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)，∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x＋1)(x－3)，則a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a＝ax2＋bx＋3，∴－3a＝3，解得a＝－1，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3.(2)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由．【解】存在．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴點(diǎn)B(0，3)，當(dāng)BC是對(duì)角線時(shí)，BD＝CD.由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)易得直線AB的表達(dá)式為y＝－x＋3，11．[2024深圳三模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在第一象限運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值；【解】如圖①，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交BC于點(diǎn)Q.(3)連結(jié)PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解】存在．四邊形POP′C如圖②所示，連結(jié)PP′交CO于點(diǎn)E，設(shè)P(t，－t2＋2t＋3)，(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)C為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)(點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè))，點(diǎn)M在坐標(biāo)平面內(nèi)，請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形ACMD是正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．13.如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋2x＋c的圖象交x軸于點(diǎn)A，B(3，0)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)M是直線BC上方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD⊥x軸，垂足為D，交BC于點(diǎn)E.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)連結(jié)AM，交y軸于點(diǎn)F.①當(dāng)ME＝2CF時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，－m2＋2m＋3)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，－m＋3)，∴ED＝3－m，MD＝－m2＋2m＋3，∴ME＝－m2＋2m＋3－3＋m＝－m2＋3m.∵A(－1，0)，∴AO＝1，∴AD＝m＋1.②連結(jié)EF，四邊形ODEF有可能是正方形嗎？如果有可能，此時(shí)∠M的正切值是多少？如果沒可能，請(qǐng)說明理由．【解】有可能．由①得OF＝3－m＝ED，∵OF∥DE，∴四邊形ODEF是平行四邊形．∵∠FOD＝90°，∴四邊形ODEF是矩形．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是拋物線第四象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)N，交OB于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使得△OMN與以點(diǎn)N，A，P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A(4，0)．經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B(1，3)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，與直線AB交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，是否存在點(diǎn)P，使得△BPD與△AOC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解】存在．易知∠ADE＝∠ACO，∵∠ADE＝∠BDP，∴∠BDP＝∠ACO.∵△AOC是直