關于正弦交流電路110第1頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

前面兩章分析的是直流電路，其中的電壓和電流的大小和方向是不隨時間變化的。直流電壓和電流第2頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

ti10正弦波正弦交流電路是指含有正弦電源(激勵)而且電路各部分所產生的電壓和電流(響應)均按正弦規律變化的電路。正弦交流電動勢、電壓、電流統稱為正弦量。第3頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日2.1正弦電壓與電流

tu0

電路圖上所標的方向均為電壓、電流的參考方向實際方向Rui+–Rui+–u=Umsin(t+i)代表正半周時的實際方向第4頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

i角頻率最大值初相位2.1.1

正弦量的三要素正弦量的三要素第5頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日頻率與周期T周期T：正弦量變化一周所需要的時間角頻率

=T2

i0tTT/2

t2

=2

f頻率

f=T1sHzrad/si=Imsin(t+i)例：我國和大多數國家的電力標準頻率是50Hz第6頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日2.1.2幅值與有效值瞬時值是交流電任一時刻的值。用小寫字母表示如i,u,e分別表示電流、電壓電動勢的瞬時值。最大值是交流電的幅值。用大寫字母加下標表示。如Im、Um、Em。有效值交流電流通過一個電阻時在一個周期內消耗的電能與某直流電流在同一電阻相同時間內消耗的電能相等，這一直流電流的數值定義為交流電的有效值，用大寫字母表示。如I、U、E。i0Im

t2

i=Imsin(t+i)I=2ImU=2UmE=2Em第7頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日t=0時的相位角稱為初相位2.1.4初相位

ti0i=Imsint

i=Imsin(t+

)i

t0(t+

)稱為正弦量的相位。它表明正弦量的進程。常用于描述多個正弦波相互間的關系。ii1i2第8頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

兩個同頻率正弦量的相位差(|

|≤π)

ti2

超前i1

角i1

落后i2

角第9頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

ti0i1i2i4i1與i4反相i1與i2同相第10頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日ii1i2幅度、相位變化頻率不變第11頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日同頻率正弦波加減運算后，頻率不變。結論:因角頻率（

）不變，所以討論同頻率正弦波時，

可不考慮，主要研究幅度與初相位的變化。正弦量乘以常數、正弦量的微分、積分、同頻正弦量的代數和運算后，頻率不變。第12頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日一個正弦量的瞬時值可以用一個旋轉的有向線段在縱軸上的投影值來表示。矢量長度

=

矢量與橫軸夾角

=

初相位ω矢量以角速度

按逆時針方向旋轉正弦量可用旋轉有向線段表示yωx相量(phasor)：描述正弦量的有向線段2.2正弦量的相量表示法第13頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

相量符號

包含幅度與相位信息。有效值最大值相量圖、符號的書寫方式相量(phasor)：描述正弦量的有向線段

()

sinjw+=tUmu

2()

sinjw+=tUu第14頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日歐拉公式ab相量的復數表示代數式

指數式極坐標形式三角式abbaU122tan-=+=j+j+1第15頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日解：例1：已知瞬時值:

100相量圖求：

i

的相量(復數)，畫出相量圖第16頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日求：例2：其相量形式為：解：已知兩個頻率都為1000Hz的正弦電流第17頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日相量的運算1.加、減運算設：第18頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日2.乘法運算設：則：設：任一相量則：90°旋轉因子。+j逆時針轉90°，-j順時針轉90°第19頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日3.除法運算設：則：第20頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日解：（1）用相量圖法求解1j0

i1

i2Im?Im1?Im2?

正弦電量（時間函數）所求正弦量變換相量（復數）相量結果反變換相量運算（復數運算)（2）用復數式求解ii1i2已知：求：i=i1+i2A)60(80+=tsin1iwA)40(602－tsiniw=第21頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

圖示電路試用相量法求電流

i。[例]=8ej6006e-j400+=+8(cos600+jsin600)6(cos400–jsin400)==++4(4√4)–4(4√4)j10ej240A)24(100+=tsiniwIm=.I1m

.I2m

.+復數運算法已知：A)60(80+=tsin1iwA)40(602－tsiniw=ii1i2第22頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日波形圖瞬時值相量圖相量小結：正弦波的四種表示法

Ti第23頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日符號說明瞬時值

---小寫u、i有效值

---大寫U、I復數、相量

---大寫

+“.”最大值

---大寫+下標第24頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日正誤判斷？瞬時值復數相量是表示正弦交流電的復數，正弦交流電是時間的函數，所以二者之間并不相等。第25頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日已知：正誤判斷？？有效值j45

第26頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

則：已知：？正誤判斷最大值第27頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日2.3單一參數的交流電路

2.3.1

電阻元件的交流電路

2.3.2電容元件的交流電路

2.3.3

電感元件的交流電路第28頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日積化和差公式：

sinα·cosβ＝1/2[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα·sinβ＝1/2[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα·cosβ＝1/2[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα·sinβ＝－1/2[cos（α＋β）－cos（α－β）]第29頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日和差化積公式：

sin(a)+sin(b)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b)=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b)=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

第30頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

同頻率、同相位設i=Imsint

1.電壓電流關系有效值大小關系U=RIu波形圖電壓與電流相量關系U=R?I?2.3.1電阻元件的交流電路Rui+–u=Ri

t0相量圖+1+j0I?U?i則u=Ri

=RImsint=Umsint

o0D=UUo0D=II第31頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

i=Imsintu=Umsint

2.功率Rui+–u

t0ip0

tUIp=ui1.（耗能元件）2.p隨時間變化=UI(1–

cos2t)(1)瞬時功率3.平均功率（有功功率）p：一個周期內的平均值

sin2α＝1/2(1-cos2α)第32頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日設iuL1.電壓電流關系2.3.2電感元件的交流電路

相位相差

90°

（u

領先

i

90

°）iu

有效值

相量關系

相量圖UI

感抗（Ω）第33頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日電感電路中復數形式的歐姆定律其中含有幅度和相位信息()LXjIU=第34頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日感抗是頻率的函數關于感抗（XL=ωL

）e+_LR電感線圈對直流可視為短路，而對高頻電流的阻礙作用很大。感抗表示電感電路中電壓、電流有效值之間的關系ωXL第35頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日1.瞬時功率

p

：iuL2.功率儲存能量P<0釋放能量+P>0P<0可逆的能量轉換過程+PP>0uisinα·cosα＝1/2(sin2α)第36頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日2.）平均功率

P（有功功率）結論：純電感不消耗能量，只和電源進行能量交換（能量的吞吐）第37頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日3.）無功功率QQ

的單位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定義：電感瞬時功率所能達到的最大值。用以衡量電感電路中能量交換的規模。第38頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日設：uiC2.3.3電容元件的交流電路1.電壓電流關系

容抗（Ω）i

超前u90°

有效值

相量關系iu第39頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日電容電路中復數形式的歐姆定律其中含有幅度和相位信息第40頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日ωe+-是頻率的函數容抗電容對直流可視作開路，對高頻電流的容抗很小。表示電容電路中電壓、電流有效值之間的關系第41頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日ui1.）瞬時功率p2.功率充電p放電放電P<0釋放能量充電P>0儲存能量iuωt當u、i同號時（

u

增長）p>0,電容吸收功率；當u、i異號時（

u

減小）p<0,

電容提供功率。sinα·cosα＝1/2(sin2α)第42頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日2.）平均功率P瞬時功率達到的最大值（吞吐規模）3.）無功功率Q（電容性無功取負值）單位：var，乏第43頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日單一參數電路中的基本關系小結參數LCR基本關系阻抗相量式相量圖第44頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日在電感電路中：正誤判斷？？？？？

第45頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日例：下圖中電容C=24.5F，接在電源電壓U=220V、頻率為50Hz、初相為零的交流電源上，求電路中的電流i

、P及Q。i=Imsin(t+90)=2.4sin(314t+90)A

XC=

C1解：

I=XCU=1.69A=2

f

C1=130

P=0Q=-UI=-371.8VariuC+–第46頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日總電壓與總電流的關系式相量方程式：相量模型CRLuRuLuciu+–+–+–+–I?jLR+–+–+–+–U?UR?UC?UL?C1–j2.4R、L、C串聯的交流電路第47頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日R-L-C串聯交流電路中各量相量圖先畫出參考相量電壓三角形RC1–jjL第48頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日=[R+j(XL-XC

)]Z=U?I?阻抗

R-L-C串聯交流電路中的

復數形式歐姆定律RC1–jjL第49頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日RLC

=arctanXL-XCR2、關于復數阻抗Z

的討論當時，－電路呈感性,u

超前i當時，－電路呈電阻性,u

、i同相當時，－電路呈容性,u

落后iXXRZCL-+=22)(阻抗模阻抗角阻抗三角形第50頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日瞬時功率p=ui=UIcos

–UIcos

(2t+

)2.功率i=Imsint

u

=Umsin(t+

)

平均功率∫=UIcos

T10TuidtP=Ucos

=UR=RIP=URI=I2R

無功功率Q=UIsin

視在功率S=UI伏·安（VA）或千伏·安（kVA）

S用來衡量發電機可能提供的最大功率（額定電壓×額定電流）PQSsinα·sinβ＝-1/2[cos(α＋β)-cos(α-β)]第51頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日SQU?UR?UX?RXZ

功率、電壓、阻抗三角形PS=

P2+Q2X=

XL-XC

UX?UL?UC?

=+Q=

QL–QCRLC第52頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日解：1.

感抗XL=L=314×127×10-3=40

容抗

XC=C1=314×40×10-61=80復阻抗模

R、L、C串聯交流電路如圖所示。已知R=30

、L=127mH、C=40F，電源電壓u=220sin(314t+45

）V求：1.感抗、容抗及復阻抗;2CRLuRuLuciu+–+–+–+–例復阻抗Z=

R2+(XL–Xc)2=50

或復阻抗第53頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日求：2.電流的有效值和瞬時值表達式；解：1.

XL=40

XC=80=50–53

Z2.=22045

VU?電壓相量I?=U?Z=22045

50–53

=4.498

A

I=4.4Ai=4.4sin(314t+98

)A電流有效值瞬時值2I?jLR+–+–+–+–U?UR?UC?UL?C1–j第54頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日求：3.各元件兩端電壓瞬時值表達式。解：1.2.=22045

VU?電壓相量I?=4.498

A

I?jLR+–+–+–+–U?UR?UC?UL?uR=1322sin(314t+98

)V3.=RI?=13298

VUR?=I?jXL=176–172

VUL?uL=176sin(314t

–172

)V2Uc?=--jXcI?=3528

VuC=352sin(314t

+8

)V2C1–jXL=40

XC=80=50–53

Z第55頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日Z1U?I?Z2U2?U1?2.5.1

阻抗的串聯+–2.5

阻抗的串聯與并聯分壓公式：第56頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日2.5.2

阻抗的并聯=Z

1Z1Z211+Z1U?I?Z2I1?I2?+–分流公式：當并聯支路較多時，計算等效阻抗比較麻煩，因此常應用導納計算。導納：阻抗的倒數第57頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日例：圖示電路中，電壓表讀數為220V,電流表讀數為I1=10A，I2=14.14A,R1=12

，電源電壓u與電流i同相。求總電流I、R2、XL、

Xc.

I?I1?U2?1014.1410U1?120100uii2i1CR2LR1A1A2Vu1u210A14.14AI1=10AXc=10010=10

=10014.14Z2=7.07

R2=

XL=5

解：I2?+–+–+–U?220

Z=45o第58頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

含有電感和電容的電路，如果無功功率得到完全補償，即：u、i

同相，便稱此電路處于諧振狀態。諧振串聯諧振：L

與C

串聯時

u、i

同相并聯諧振：L

與C

并聯時

u、i

同相諧振概念：2.6電路中的諧振第59頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日一、串聯諧振串聯諧振條件串聯諧振頻率:I?jLR+–+–+–+–U?UR?UC?UL?C1–j串聯諧振的條件是：CL1ww=第60頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日串聯諧振電路的特征I00fI0fR1

CLZ(2)阻抗模最小,為R。(3)電路電流最大，為U/R。f0f0IU?UR?UC?UL??(1),電路呈電阻性,電源供給電路的能量全部被電阻消耗掉，沒有能量轉換。(4)

電感和電容兩端電壓大小相等,相位相反。當XL=XC>R時，電路中將出現分電壓大于總電壓的現象。注：串聯諧振也被稱為電壓諧振第61頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日品質因數——

Q

值

定義：電路處于串聯諧振時，電感或電容上的電壓與總電壓之比。(無量綱)諧振時:

在諧振狀態下,Q

則體現了電容或電感上電壓比電源電壓高出的倍數。UC=UL=QU

Q值越大，選擇性越好。第62頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日串聯諧振應用舉例收音機接收電路接收天線與C（可變電容）

：組成諧振電路將選擇的信號送接收電路第63頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日

組成諧振電路，選出所需的電臺。

為來自3個不同電臺（不同頻率）的電動勢信號；第64頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日并聯諧振條件或同相時則諧振二、并聯諧振要使Z呈純電阻（圖中電阻為電感電阻）第65頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日并聯諧振電路特征(1)電路呈電阻性。(4)支路電流可能會大于總電流。(2)

阻抗模為Z0=LRC比非諧振情況下阻抗模要大(3)外加電壓一定時,電流I為最小值。0ff0Z0I所以并聯諧振又稱電流諧振。品質因數:Q=ICI0

0CR1

L=R=ILI0=第66頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日功率因數低引起的問題有功功率P=UNIN

cos

功率因數1.電源設備的容量將不能充分利用2.增加輸電線路和發電機繞組的功率損耗I=Ucos

P在P、U一定的情況下，cos

越低，I越大損耗越大。情況下，cos

越低，P越小，設備得不到充分利用。P=UIcos

P=rI2電壓與電流的相位差角(功率因數角)在電源設備UN、IN一定的2.7功率因數的提高(自學)第67頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日負載iu說明：

由負載性質決定。與電路的參數和頻率有關，與電路的電壓、電流無關。功率因數和電路參數的關系RZ第68頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日純電阻電路R-L-C串聯電路純電感電路或純電容電路電動機空載滿載

日光燈

（R-L-C串聯電路）常用電路的功率因數第69頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日提高功率因數的原則：

必須保證原負載的工作狀態不變。即：加至負載上的電壓和負載的有功功率不變。提高功率因數的措施:uiRL并電容C第70頁，共77頁，星期日，2025年，2月5日并聯電容值的計算uiRLC

設原電路的功率因數為cos

L，要求補償到cos

須并聯多大電容？（設U