試題PAGE1試題2024北京清華附中高一（下）期末數學2024.7一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，且，則a可以為（）A.－2 B.－1 C. D.2.在復平面內，復數對應點的坐標為，則（）A. B.C. D.3.若向量，，，則（）A. B. C.4 D.4.函數的定義域為（）A. B.C. D.5.下列函數中，以為周期，且圖象關于點中心對稱的是（）A. B.C. D.6.已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D.7.若是無窮數列，則“為等比數列”是“滿足”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知甲、乙兩人進行籃球罰球訓練，每人練習10組，每組罰球40個，每組命中個數的莖葉圖如圖所示，則下列結論錯誤的是（）A.甲命中個數的極差為29 B.乙命中個數的眾數是21C.甲的命中率比乙高 D.甲每組命中個數的中位數是259.已知，，，，成等比數列，且其中兩項分別為1，9，則的最小值為（）A. B.C. D.10.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點的，在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數，表示訓練迭代輪數，表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數為18時，學習率衰減為，則學習率衰減到以下（不含）所需的訓練迭代輪數至少為（）（參考數據：）A.72 B.74 C.76 D.78二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設是等差數列，且，，則數列的前項和_____________.12.現有甲、乙、丙、丁、戊五種智慧黑板，某學校要從中隨機選取3種作為教學工具備選，則其中甲、乙、丙中至多有2種被選取的概率為_____________.13.函數，其中且，若函數是單調函數，則的一個取值為______，若函數存在極值，則的取值范圍為______.14.已知函數，則_____________.15.若等差數列滿足.對，在中的所有項組成集合.記中最小值為，最大值為，元素個數為，所有元素和為，則下列命題中①為等比數列；②；③；④.所有正確的命題的序號是_____________.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，，，分別為，，所對的邊，已知.（1）求的大小；（2）若且，求的長.17.已知數列滿足，且.（1）求證：數列是等比數列，并求出的通項公式；（2）若，求滿足條件的最大整數.18.已知函數.（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）證明：對，函數有且僅有兩個極值點，，并求函數的單調區間；（3）在（2）的條件下，若，求實數的取值范圍.19.某學校為了解高一新生體質健康狀況，對學生體質進行測試.現從男、女生中各隨機抽取40人，測試數據按《國家學生體質健康標準》整理如下：等級數據范圍男生人數男生平均分女生人數女生平均分優秀1091.3491良好883.9884.1及格16702270.2不及格60以下649.6649.1總計\4075.04071.9（1）若按規定測試數據不低于60，則稱體質健康為合格.試估計該校高一新生體質健康合格的概率；（2）在高一新生中，隨機選取一名男生和一名女生，試估計恰有一人的體質健康等級是優秀的概率；（3）已知表中男生與女生在優秀、良好、及格、不及格四個等級的各級平均分都接近（差的絕對值不大于0.5），但男生的總平均分75.0卻明顯高于女生的總平均分71.9.經研究發現，若去掉四個等級中一個等級的數據，則男生、女生的總平均分也接近，請寫出去掉的這個等級.（只需寫出結論）20.已知函數，.（1）若曲線在處切線過原點，求的值；（2）若在上最小值為1，求的值；（3）當時，若，都有，求整數的最小值.21.對給定的正整數，設數列，若存在，使得，則將數列進行操作變換，得到數列，且為，或之一，記為.設（個），從開始進行次操作變換，依次得到數列，即，.（1）當時，分別判斷從開始進行次操作變換，是否可以得到如下數列？若不可以，直接判斷即可；若可以，請寫出相應的及；①；②；③；（2）當時，從開始進行次操作變換，是否可能得到數列？若不可以，請說明理由；若可以，求出與的所有可能取值.（3）給定正奇數，為使的各項均不相同，求操作變換次數的最小值.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】求出集合，結合元素與集合關系判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，可知，故A、C、D錯誤；，故B正確.故選：B2.【答案】B【分析】根據復數對應的點化簡可得復數.【詳解】因為，所以.故選：B.3.【答案】D【分析】依題意可得，根據數量積的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，，，所以，解得.故選：D4.【答案】D【分析】根據被開方數為非負數得到不等式，解得即可.【詳解】函數，令，等價于，解得或，所以函數的定義域為.故選：D5.【答案】C【分析】根據正切函數的性質判斷A，根據函數的變換規則及正弦函數的性質判斷B，利用三角恒等變換公式化簡，再由正（余）弦函數的性質判斷C、D.【詳解】對于A：函數的最小正周期，對稱中心為，故A錯誤；對于B：函數的圖象是由將軸下方部分關于軸對稱上去，軸及軸上方部分不變，所以的最小正周期，沒有對稱中心，故B錯誤；對于C：，則最小正周期，且當時，所以函數關于點中心對稱，故C正確；對于D：因為，所以函數的最小正周期，故D錯誤.故選：C6.【答案】D【分析】利用作差法可判斷A、B選項的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】，則，，又、，，.可得：ABC成立，D不成立.故選：D.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用作差法來進行判斷，同時也要注意正弦、余弦有界性的應用，考查推理能力，屬于中等題.7.【答案】A【分析】運用等比數列的性質，結合特值法可解.【詳解】若為等比數列，，則運用等比數列性質知道;若，則可以為全部為0的常數列，不能說它是等比數列.故“為等比數列”是“滿足”的充分不必要條件.故選：A.8.【答案】D【分析】根據莖葉圖及中位數、眾數、極差的定義計算一一判定選項即可.【詳解】根據莖葉圖可知甲命中最多37，最少8，即極差為29，故A正確；顯然乙命中個數的眾數為21，出現兩次，故B正確；甲命中共214個，乙命中共169個，所以甲命中率高，故C正確；甲命中的個數中位數為，故D錯誤.故選：D9.【答案】B【分析】結合題意，取最小值時為負數，且，利用等比數列的基本量運算即可求解.【詳解】若相鄰兩項為和，則公比為正數，每一項都為正數，舍去；若奇數項為和，則奇數項均為正數，舍去；由題意，要使最小，則，，都是負數，則和選擇和，設等比數列的公比為，當時，，所以，所以，所以；當時，，所以，所以，所以；綜上可得，的最小值為.故選：B10.【答案】B【分析】根據已知條件列方程，可得，再由，結合指對數關系和對數函數的性質求解即可．【詳解】由于，所以，依題意，則，則，由，所以，即，所以所需的訓練迭代輪數至少為74次．故選：B二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】依題意可得，即可求出公差，再根據等差數列求和公式計算可得.【詳解】因為，所以，所以的公差，又，所以.故答案為：12.【答案】【分析】運用列舉法求出總數和滿足題意數，結合對立事件概率，古典概型概率公式計算.【詳解】學校要從甲、乙、丙、丁、戊五種智慧黑板中隨機選取3種作為教學工具,總共有10種，即甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊.“甲、乙、丙中至多有2種被選取”的對立事件為“甲、乙、丙3種被選取”,對立事件的情況數只有１種，則概率為.則“甲、乙、丙中至多有2種被選取”的概率.故答案為：.13.【答案】①.2（滿足均可）②.【分析】空1：若函數是單調函數，分析可知：在上單調遞增，根據分段函數單調性列式求解；空2：若函數存在極值，則在上不單調，直接取反空1的取值范圍即可.【詳解】因為且，若函數是單調函數，結合二次函數可知：在上單調遞增，則，解得，例如；可知為連續不斷函數，若函數存在極值，則在上不單調，所以的取值范圍為.故答案為：2（滿足均可）；.14.【答案】【分析】先用倍角公式化簡，再代入求值.【詳解】因為，所以.故答案為：15.【答案】②③④【分析】由條件結合二項式定理分別在取正奇數和正偶數時確定集合的元素，由此確定，根據等比數列定義判斷①，求判斷②，研究數列的單調性判斷③，結合等差數列求和公式求，判斷④.【詳解】令，因為，，所以當為正偶數時，中的最小值為，最大值為，當為正奇數時，中的最小值為，最大值為，所以當為正偶數時，，，當為正奇數時，，，所以，所以數列不是等比數列，①錯誤，所以當為正偶數時，，當為正奇數時，，②正確；因為當為正偶數時，，，因為，所以數列的偶數項遞增，又，所以，所以，當為正奇數時，，所以，所以，所以當，且為奇數時，數列的項遞增，又，，所以，所以，所以時，，③正確.因為當，且為偶數時，，，所以，所以，因為，且為正偶數，所以，所以，當，且為奇數時，，，所以，所以，因為，且為奇數時，，所以，又，，所以，④對，故答案為：②③④.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于結合二項式定理，確定集合的元素的最大值和最小值，由此可確定的元素個數.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）運用正弦定理邊角互化即可；（2）用余弦定理，結合已知式子求出，再結合面積公式，可以求出,最后代入已知的式子可以求出.【小問1詳解】由和正弦定理得，，則，即，則，即，由于，則，則.【小問2詳解】由余弦定理得，.又，則，求的.由，即，即，則.代入得，，解得.17.【答案】（1）證明見解析，（2）2024【分析】（1）先取倒數，然后通過構造法可得答案；（2）由（1）求數列的通項，然后可得的通項，最后分組求和可得答案.【小問1詳解】因為，所以，可得，即，，所以數列是以為首項為公比的等比數列，所以，；【小問2詳解】由（1）得，所以，顯然是單調遞增數列，當時，，當時，，所以滿足條件的最大整數為.18.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）先求導函數再代入求切線斜率最后寫出切線方程即可；（2）先求導函數再求極值，再根據導函數的正負求出單調區間；（3）根據已知不等式結合極值點代入，再構造函數再根據函數范圍及函數單調性求參數范圍即可.【小問1詳解】當時，,,,所以點為，切線方程為即.【小問2詳解】因為,所以,函數的極值點為,則,,或故是的單調減區間.為函數的單調增區間【小問3詳解】因為，又因為,所以，所以所以,設函數,當不合題意,當單調遞增，,,所以.【點睛】方法點睛：構造函數，再根據函數范圍及函數單調性求參數范圍即可.19.【答案】（1）（2）（3）去掉的等級為優秀.【分析】（1）首先確定合格人數和總人數，然后利用古典概型計算公式可得體質健康合格的概率；（2）首先確定從男生、女生樣本中隨機選出的人的體質健康等級是優秀的概率，然后結合獨立性事件概率公式可得滿足題意的概率值；（3）結合表格給出所需去掉的等級即可.【小問1詳解】樣本中合格的學生數為：，樣本總數為：，這名學生體質健康合格的概率為.【小問2詳解】設事件為“從男生樣本中隨機選出的人的體質健康等級是優秀”，.事件為“從女生樣本中隨機選出的人的體質健康等級是優秀”,.因為為獨立事件，故所求概率為.【小問3詳解】男生良好的和女生良好的人數一樣，不及格的人數也一樣，及格的人數比女生要少，最終的平均分高，說明了優秀的分數占多，去掉的等級為優秀，才能夠把平均分降下來，與女生的持平.所以去掉的是優秀等級的.20.【答案】（1）（2）或（3）1【分析】（1）先確定切點，再求切線斜率，利用點斜式寫出切線方程，根據切線過定點求參數的值.（2）分情況討論函數在給定區間上的單調性，利用最小值求參數的值.（3）設函數，問題轉化為在上的最大值不大于0，求參數的取值范圍.【小問1詳解】因為，所以切點為.又，所以.所以函數在處的切線方程為：.因為切線過點，所以：.【小問2詳解】因為，，所以.若，在上恒成立，所以在上的最小值為：.若，由；由.所以在上單調遞減，在上單調遞增.當即時，在上單調遞增，由（舍去）.當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，由（舍去）.當即時，在上單調遞減，由.綜上可知：或.【小問3詳解】當時，，.設，則.若，則在上恒成立，所以在單調遞增，所以不可能恒成立；若，由；由.所以在單調遞增，在上單調遞減.此時，只需.設，，則在上恒成立.所以在單調遞減，且，因為，所以.所以整數的最小值為1.【點睛】方法點睛：第3問中，要證，，需設，只需證在上的最大值非正即可.21.【答案】（1）①可以，，，，；②不可以；③不可以（2），（3）【分析】（1）直接根據操作變換的定義判斷并證明；（2）利用每次變換后各項之和以及各項的平方和的變化規律即可證明，，然后給出符合條件的例子即可；（3）利用每次變換后各項之和以及各項的平方和的變化規律證明，再證明可以由數列經過次操作變換得到一個各項互不相同的數列，即可得到操作變換次數的最小值為.【小問1詳解】對于①，可令，且，，，，即可得到所求數列；對于②，顯然無論怎樣變換，數列的各項之和是不變的，因此從開始進行有限次變換后，數列的各項之和必定為零，故②中的不可能得到；對于③，假設當時，通過若干次變換后得到了包含的數列，那么設數列第一次出現，由于這個必定是由變得的，從而必定包含兩個.但由于數列的各項之和必定為零，故另外兩項或者都是，或者包含一個不大于的項.若另外兩項都是，則可以不妨設（因為各項的順序并不重要），直接驗證即知，從該數列中任意挑選一項加，再任意挑選另一項減后，得到的兩個新項不可能相等，所以不可能由某個數列變換得到，這導致矛盾；所以另外兩項必定包含一個不大于的項，這就說明，若通過若干次變換后得到了包含的數列，則在第一次出現之前就必定已經出現過.但同理可證，若通過若干次變換后得到了包含的數列，則在第一次出現之前就必定已經出現過.所以二者結合即知，和都是不可能出現的，故③中的不可能得到.【小問2詳解】當時，若能從數列經過有限次變換得到數列，