大招4奔馳定理大招總結【奔馳定理】:若為內任意一點,有,則.證明:如圖1,取點,使得,則,即為的重心, 同理. 即證明.與三角形“四心”的結合.(1)是的重心.(2)是的內心.(3)是的外心.(4)是的垂心.證明:如圖為三角形的垂心,, 同理得.∴.定理的推廣:若在外部,如圖3,則:(1)當位于區域(1)所對應的兩部分時:.(2)當位于區域(2)所對應的兩部分時:.(3)當位于區域(3)所對應的兩部分時:.典型例題例1.已知點是內部一點,且滿足,則的面積之比依次為（）A.B.C.D.解：方法1:延長,使,如圖所示:∵,即是的重心,故的面積相等,不妨令它們的面積均為1,則的面積為的面積為的面積為,故的面積之比依次為,故選.方法,由?馳定理得,,故選A.例2.已知是所在平面內一點,,現將一粒黃豆隨機撒在內,則黃豆落在內的概率是（）A.B.C.D.解方法以、為鄰邊作平行四邊形,則,得,由此可得,是邊上的中線的中點,點到的距離等于到的距離的.將一粒黃豆隨機撒在內,黃豆撒在內的?率為.故選C.方法,由奔馳定理得,黃豆落在內的概率為,故選C.例3.已知點是所在平面內一點,且滿足,設的面積為,則的面積為（）A.B.C.D.解方法1:如圖所示,設的中點分別為,由得:點在上,且到邊的距離等于到邊的距離的,則的面積為,故選D.方法,由奔馳定理得,:,則的面積為,故選D.例4.已知是的重心,且滿足,求角_______.解方法是三角形的重忐,∴∴∵∴∴∴∵和不共線,∴∴∴∵∴.故選D.方法2:∵是重心,∴∴由正弦定理,由余弦定理,∵.（2021秋-湖南月考)設是內任意一點,表示的面積,,,定義,若是的重心,,則()A.點在內B.點在內C.點在內D.點與點重合解:方法1:由已知得中的三個坐標分別為分所得三個三角形的高與的的高的比值,∵,∴離線段的距離最近,故點在內.故選B.方法2:不妨設,根據奔馳定理重心公式可知 題千要求,所以點,必然在過且平行于的直線上,如右圖,而,所以點必然在線段上且不包括2個端,點,所以點內部,選B.例6.(2021春-高新區校級月考)為等邊三角形內一點,且滿足,若與的面積之比為,則實數的值為A.B.1C.2D.3解方法1:取邊的中點的中點,連接,作圖如下,由可得,即,故點在中位線上,∵與的面積之比為與與的面積之比為,∵這兩個三角形等高,∴面積之比等于底邊長度之比,即,故點是上靠近點的三等分點,顯然此時.故選.方法2:根據奔馳定理,得到例7.(2021秋-鉛山縣校級月考)已知點在內部,且,記的面積為的面積為,則的值為解方法,整理得:即:,則:點是邊中線的中點,由于的面積為的面積為,則.故答案為:方法2:由得:所以例8.(2021秋-迎澤區校級月考)若點是所在平面內一點,且滿足,則與的面積之比值為解方法1:如圖,取的中點為,則,∵,∴∴.故答案為:..方法2:由得所以例9.(2021-連云港模擬)已知點為內一點,且(其中),:,則解方法1:連接交于,如下圖所示:,,則又與共線,故又故答案為方法將變形得:得,所以例10.(2021-江蘇四模)設為的垂心(三角形三條高的交點),且,則的值為解方法1:由題,為的垂心(三角形三條高的交點),,.同理,即.設,,,同理可求得,.故答案為:.方法2:,那么再根據向量和四心可以得到設,解得自我檢測1.在所在的平面內有一點,如果,那么的面積與的面積之比是()A.B.C.D.答案：方法1:,即,可知向量方向相反,且模長是的3倍,即是的四等分點,設點到直線的距離為,故的面積與的面積之比為.故選A.方法2：,得,

.2.已知的外接圓半徑為1,圓心為,且,則的面積為()A.B.C.D.答案：方法1:如圖,;由得:,;(1)兩邊平方得:;同理(2)(3)兩邊分別平方得:,故選C.方法2:同理證明,則,由奔馳定理得,3.在中,為三角形所在平面內一點,且,則A.B.C.D.答案：方法1:由已知,在中,為三角形所在平面內一點,且,點在平行于的中位線上,且靠近邊,從而有,有.故選B.方法2:,即,由奔馳定理得,,故選B.4.已知為的垂心,且,則角的值為答案方法1:,取的中點分別為,記,則,故,即,解得或(舍去),故,故答案為.方法2,設,則,又,,解得或(舍去),,故.5.已知點是內一點,且,則答案方法1:連接并延長,交于,則,即,故,則的面積與面積之比為.方法2:由得:,則由奔馳定理得:,所以6.已知點是內一點,,則A.2B.3C.4D.5答案方法1:如圖所示,點是內部一點,滿足,延長到點,以為鄰邊作平行四邊形,連接分別交于點.則點是的重心.,不妨設,則,解得.故選C.方法2:因為所以.所以故選C.7.已知點是內一點,若,設,則和的值分別是()A.B.C.D.答案方法1:如圖,根據題意不妨設的邊,,建立如圖坐標系,則的方程為,則,設點坐標為,點在三角形內,則到的距離,則根據,得,解得,由,得解得,.方法2:由得:即:因為所以故,選8.已知點是內一點,,且,則答案方法1:如圖,延長到,使,延長到,使,連接,取中點,并連接,設交于,連接,則,且,即方法2:由題意易得,,因為,所以,故9.內一點滿足,直線交于點,則()A.B.C.D.答案方法1:內一點滿足,直線交于,令,則三點共線,三點共線,重合..故選A.方法2:因為,故,由圖易知故2.10.已知是所在平面上的一點,若,(其中是所在平面內任意一點)則是的（)A.外心B.內心C.重心D.垂心答案方法由得,即.即.即.再設為的單位向量,為的單位向量,所以,所以.則說明在的角平分線上,同理可得也在