/南寧市育才實驗中學2025屆高三年級二月開學考數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合B，再由集合的交運算求解集合即可.【詳解】由題設，且，則.故選：B2.已知函數的最小正周期為，其中，則（）A.4 B.5 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】由三角函數周期公式可得.【詳解】由題可知，則，又，則．故選：B3.已知復數滿足，為虛數單位，則（）A. B.10 C. D.5【答案】A【解析】【分析】由復數的計算公式求得復數，然后求得【詳解】因為，所以，所以.故選：A.4.，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由向量的坐標求得向量的坐標，由向量平行的坐標關系建立方程，求得的值.【詳解】由得，∵，，∴，解得故選：A.5.雙曲線的頂點到其漸近線的距離為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】確定漸近線方程，由點到線的距離公式即可求解；【詳解】由，可得漸近線方程為：，頂點坐標為，由對稱性，取頂點，漸近線，由距離公式可得：頂點到其漸近線的距離為，故選：A6.已知某圓臺的軸截面是等腰梯形，，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得圓臺的上下底面的半徑，利用等腰梯形的性質求得圓臺的高，可求圓臺的體積.【詳解】由，可得上底面圓的半徑，下底面圓的半徑，設圓臺的高為，則，所以該圓臺的體積.故選：B.7.在中，，則的面積為（）A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據已知求出，再由余弦定理求出，根據面積公式即可求解.【詳解】，由余弦定理可得或（舍去）.故選：A.【點睛】本題考查三角形面積，利用余弦定理解三角形是關鍵，屬于基礎題.8.已知函數，若關于x的方程至少有兩個不等的實根，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將函數寫成分段函數，作出圖象，將問題轉化為關于x的方程至少有兩個不同的交點，結合圖象得，求解即可．【詳解】因為，作出函數的圖象，如圖所示：關于x的方程至少有兩個不等的實根，即關于x的方程至少有兩個不同的交點，所以，當時，令，解得，當時，令，解得，所以，解得．故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，過點作軸于點，則（）A. B.拋物線的準線為直線C. D.的面積為【答案】AD【解析】【分析】根據拋物線的定義以及焦半徑的長度求出值判斷AB；求出點的縱坐標判斷；求出的面積判斷D.【詳解】拋物線的準線為直線，過點向準線作垂線垂足為，由拋物線的定義知，解得，則拋物線的方程為，準線為直線，A正確，B錯誤；將代入拋物線方程，解得，C錯誤；焦點，點，即，則，D正確.故選：AD10.在數學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經出現過下列兩種三角函數：定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作．給出下列結論，其中正確的為（）A.函數在上單調遞增B若，則C.若，，，則的最小值為0D.若，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用新函數的定義化簡函數式為一般的三角函數式，然后三角函數關系式的變換判斷各選項即可得到結論：利用兩角差的正弦公式化簡函數，然后由正弦函數性質判斷A，利用齊次式求值法求值判斷B，利用換元法結合二次函數性質求最小值判斷C，利用二倍角公式變形結合二次函數性質判斷D．【詳解】對于，因為，當時，，，由正弦函數的性質可知在，上不單調，故錯誤；對于B，由，可得，而，故正確；對于C，，令，因為，所以，則，則有，所以（1），所以，故正確；對于D，因為，所以當時，，故正確．故選：BCD．11.沿著下面左圖紙帶寬的三等分線（虛線）剪開，不能得到的剪開圖是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】可以實際操作一下即可得到正確選項【詳解】解：因為紙帶是由一個長方形紙條一端扭曲180°后粘貼而成封閉環，沿著三等分線剪開時，會一次性剪完紙帶的所有三等分線．所以剪開圖是兩個套在一起的環，并且兩個環的寬度是原紙帶環寬度的.正確剪開圖是B．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知且，若，則__________．【答案】##【解析】【分析】根據對數式和指數式的互化，結合指數冪的運算，即可求得答案.【詳解】由已知且，，得，則，故，故答案為：13.圍棋是世界上最古老的棋類游戲之一．一副圍棋的棋子分黑白兩種顏色，現有枚黑色棋子和枚白色棋子隨機排成一行，每枚棋子排在每個位置可能性相等，則兩端是同色棋子的概率為________．【答案】【解析】【分析】計算兩端棋子顏色不同的概率，再使用對立事件概率的性質即可.【詳解】若兩端的棋子顏色不同，那么兩端的棋子的顏色分布有種可能，中間的棋子的顏色分布有種可能.所以兩端棋子顏色不同的概率為，故兩端是同色棋子的概率為.故答案為：.14.若函數在區間上的最大值為M，最小值為m，則____________．【答案】4【解析】【分析】化簡，令，判斷該函數的奇偶性，結合奇偶性以及，即可求得答案.【詳解】解：因為，令，則，又因為，所以函數為奇函數，所以，所以．故答案為：4．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.“八段錦”，起源于北宋，已有八百多年的歷史.古人把這套動作比喻為“錦”，意為五顏六色，美而華貴.體現其動作舒展優美，視其為“祛病健身，效果極好，編排精致，動作完美”，此功法分為八段，每段一個動作，故名為“八段錦”.作為傳統養生功法，對人體有著很多的益處.為了繼續推廣“八段錦”，吸引更多的老年市民練習“八段錦”，促進老年市民的延年益壽，市老體協統計了全市的男性老年人和女性老年人(不小于60歲的均為老年人)練習“八段錦”的情況，采用簡單隨機抽樣的方法抽取了練習“八段錦”的200位老年人，得到了性別與年齡的有關數據，并整理得到以下列聯表：類型年齡(歲)合計

男性36

111女性

25

合計

200（1）補全列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為老年人的性別與年齡是否大于65歲有關聯?（2）在這200位老年人隨機抽取一位，求在該老人年齡大于65歲的情況下，為女性老年人的概率.附：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）表格見解析，能（2）【解析】【分析】（1）由公式求得，結合附表即可判斷；（2）法一，法二：由古典概型概率公式及條件概率計算公式即可求解；【小問1詳解】補全列聯表如下：類型年齡(歲)合計男性3675111女性642589合計100100200零假設為：老年人的性別與年齡是否大于65歲無關聯.根據列聯表中的數據，得依據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即老年人的性別與年齡是否大于65歲有關聯，該推斷犯錯誤的概率不大于0.001.【小問2詳解】設事件“抽取的一位老年人年齡大于65歲”，事件“抽取的一位老年人為女性老年人”，法一：所求概率為.法二：所求概率為.16.已知數列滿足，點在直線上.（1）設，證明為等比數列：（2）求數列的前項和；（3）設前項和為，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2），；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題可得，即可完成證明；（2）由（1）可得數列通項公式，后由分組求和法可得答案；（3）可證得，即可完成證明.【小問1詳解】證明：因點在直線，則.則，即，又，所以是以為首項，公比為的等比數列；【小問2詳解】由（1），.則；【小問3詳解】證明：由（2），.則當時，；當（）時，注意到，則則.綜上，當時，.17.已知函數．（1）在處的切線與直線垂直，求的值；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，利用求出；（2）令，將問題轉化為函數與函數的圖象在上有兩個不同的交點，利用導數求出的大致圖象可得答案.【小問1詳解】，又在處的切線與垂直，所以，即，所以；【小問2詳解】因為，且有兩個極值點，所以方程在上有兩個不同的根，即方程有兩個不同的正數根，將問題轉化為函數與函數的圖象在上有兩個不同的交點，則，令，解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，且當時，，且，，，故作出的圖象如圖所示：由圖象可知滿足題意，即的取值范圍為．18.已知雙曲線的焦距為，點在C上．（1）求C的方程；（2）直線與C的右支交于兩點，點與點關于軸對稱，點在軸上的投影為.①求的取值范圍；②求證：直線過點．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）由題可得，解方程即可得到答案；（2）①設，聯立，消去得，由于與的右支交于，兩點，雙曲線的漸近線方程為，可得，以及，解不等式可得的取值范圍；②由①得，，由題可得，利用向量關系可得，從而可得，，三點共線，即可證明.【小問1詳解】由已知得，解得，

所以的方程為.【小問2詳解】①設，，則，聯立，消去得，則，，解得，且.又與的右支交于，兩點，的漸近線方程為，則，即，所以的取值范圍為.

②由①得，，又點在軸上的投影為，所以，，所以，，所以，又，有公共點，所以，，三點共線，所以直線過點.【點睛】關鍵點睛：（1）直線與雙曲線一支相交于兩點，可利用韋達定理、根的判別式以及直線斜率與漸近線斜率的關系進行求解；（2）證明直線過定點，可利用向量平行關系進行證明.19.如圖，在平面四邊形中，為等腰直角三角形，為正三角形，，，現將沿翻折至，形成三棱錐，其中為動點.（1）證明：；（2）若，三棱錐的各個頂點都在球的球面上，求球心到平面的距離；（3）求平面與平面夾角余弦值的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據，，即可根據線線垂直證明平面，即可根據線面垂直的性質求解，（2）利用等體積法即可求解，（3）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可根據向量夾角公式求解，利用換元法，即可根據基本不等式求解最值.【小問1詳解】取的中點，連接,因為，,且的中點，所以，又平面，故平面，由于平面，故,【小問2詳解】當時，由則，取的中點，連接故到四點的距離相等，故為三棱錐外接球的球心，因為故，設到平面的距離為,到平面的距離為，由等體積法可得而由于故，所以從而故到平面的距離為，【小問3詳解】以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，過點作平面的垂線，垂足為，