/廣東省2025屆高三“百日沖刺”聯合學業質量監測數學注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.5.考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，若，則（）A. B.0 C.2 D.或2【答案】C【解析】【分析】根據題設有，討論、，結合集合中元素的性質求參數值.【詳解】由題設，若，則，此時，集合A不滿足元素的互異性，排除；若，可得或（舍），當時，，，滿足題設，所以.故選：C2.若關于x的不等式的解集為空集，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】討論、，結合對應二次函數的性質列不等式求參數范圍.【詳解】當時，，顯然解集為空，滿足題設；當時，在上無解，所以，可得；綜上，.故選：C3.復數z的模為13，實部為5，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令且，結合模長得，再由復數乘法求.【詳解】由題設，令且，，可得，所以.故選：A4.若函數的最小正周期為1，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】應用二倍角正余弦公式及差角正切公式化簡函數式，結合正切型函數的最小正周期求參數值.【詳解】由，由題意有，則.故選：A5.已知函數，若，則（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】D【解析】【分析】根據函數解析式判斷函數的對稱性有，結合已知求函數值.【詳解】由，其定義域為R，又，所以，則.故選：D6.正方體中，分別是、、的中點，則（）A.直線與是平行直線B.過三點的平面與正方體的截面是六邊形C.直線與平面所成角的正切值是D.若正方體的棱長為2，則點到平面的距離是【答案】B【解析】【分析】作出截面即可求解B，根據與平面相交于點,而不經過點即可根據異面直線的性質求解A，根據為平面,所以是與平面所成的角，利用三角形的邊角關系即可求解C，利用等體積法即可求解D.【詳解】對于B,如圖，取各邊的中點，根據正方體的結構特征及平面的基本性質知，過三點的截面為正六邊形，正確；對于A，由B知截面為六邊形，平面，面，而不經過點，故與是異面直線，錯誤，對于C，因為平面,所以是與平面所成的角，設正方體的棱長為2，所以，所以，所直線與平面所成角的正切值是，錯誤，對于D，因為正方體的棱長為2，設到平面的的距離為，,,故,因此，錯誤，故選：B7.離散型隨機變量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若，則下列結論錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據分布列的性質得，再由期望的求法列方程求得，最后結合期望的性質、方差公式及概率的性質判斷各項的正誤.【詳解】由題設，則，A對；由，則，聯立，所以，則，D錯；，B對；，C對故選：D8.已知雙曲線C：，直線l過點，以下錯誤的是（）A.若直線l與雙曲線C只有一個公共點，則直線l的條數是2B.若直線l與雙曲線C只有一個公共點，則直線l的斜率是或C.若直線l與雙曲線C有兩個不同的公共點，則直線l的斜率范圍是D.若直線l與雙曲線C的漸近線相交于A、B兩點，則線段AB中點的軌跡是直線【答案】ACD【解析】【分析】設，聯立雙曲線求相切時參數，注意直線與漸近線平行的情況，數形結合分析不同區間直線與雙曲線的交點情況判斷A、B、C；求出交點的坐標，進而確定其中點坐標得到軌跡方程判斷D.【詳解】由雙曲線方程知，漸近線為，顯然時直線與雙曲線只有一個交點，若與雙曲線相切時，聯立雙曲線有，整理得，此時，可得，綜上，若直線l與雙曲線C只有一個公共點，則直線l的斜率是或，A錯，B對；如下圖示，當時，直線與雙曲線的兩支各有一個交點，共兩個交點，當時，直線與雙曲線的一支有兩個交點，當時，直線與雙曲線無交點，綜上，C錯；若直線l與雙曲線C的漸近線相交于A、B兩點，即，聯立，可得，同理，可得，所以線段AB中點坐標為，易知中點軌跡方程為，所以軌跡為雙曲線，D錯.故選：ACD二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知在首項為1，公差為d的等差數列中，、、是等比數列的前三項，數列的前n項和為，則（）A.或 B.C.是等差數列 D.【答案】AC【解析】【分析】由等比中項的性質及等差數列的通項公式可得或，分別寫出不同公差對應的、，即可判斷各項的正誤.【詳解】由題意，則，整理得，可得或，當時，，，則，即是等差數列，此時；當時，，，則，即是等差數列，此時，易知公比為4，故；綜上，A、C對，B、D錯.故選：AC10.過拋物線的焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，且，則（）A.B.直線AB的斜率為C.以AB為直徑的圓與直線相切，則或D.拋物線上A、B兩點處的切線互相垂直【答案】ACD【解析】【分析】設，聯立拋物線并應用韋達定理有，，結合已知求得、，利用拋物線的定義、圓的性質判斷A、B、C；應用導數的幾何意義求拋物線上A、B兩點處的切線的斜率判斷D.【詳解】由題設，可設，聯立拋物線得，顯然，所以，則，又，即，所以，則，可得或（舍），故，所以，A對，又，可得，故直線的斜率為，B錯；所以的中點橫坐標為，而以AB為直徑的圓的半徑，所以以AB為直徑的圓與直線相切，則或，C對；如下圖，當，則，故點處切線斜率為；當，則，故點處切線斜率為；顯然它們斜率的乘積為，即拋物線上A、B兩點處的切線互相垂直，D對.故選：ACD11.已知，，則下列說法正確的是（）A.曲線與有公共點B.曲線關于直線對稱的曲線是C.曲線關于直線對稱的曲線是D.直線與曲線、的交點分別是A、B，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，設，利用導數判斷的零點是否存在；對于B，求函數的反函數即可判斷；對于C，設曲線關于直線對稱的曲線是，設是曲線上任意一點，則關于直線的對稱點在曲線上，代入可求解析式；利用A選項的結論可得D選項的結果.【詳解】已知，，對于A，設，函數定義域為，，解得，解得，則在上單調遞減，在上單調遞增，的最小值為，恒成立，無解，所以曲線與沒有公共點，A選項錯誤；對于B，函數的反函數為，所以關于直線對稱的曲線是，B選項正確；對于C，設曲線關于直線對稱的曲線是，設是曲線上任意一點，則關于直線的對稱點為，代入中，得，即，所以曲線關于直線對稱的曲線是，C選項正確；對于D，由A選項可知，當時，的最小值為，D選項正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.正六邊形ABCDEF的邊長為1，則______.【答案】【解析】【分析】根據正六邊形的性質及已知，利用向量數量積的幾何意義及定義求值即可.詳解】正六邊形如下圖所示，，，且，所以，則.故答案為：13.在的展開式中，僅第5項的二項式系數最大，則展開式中系數最大的項是______.【答案】或【解析】【分析】利用二項式系數的性質求出，再求出展開式的通項公式，列出不等式求出系數最大項.【詳解】由的展開式中，僅第5項的二項式系數最大，得展開式共9項，則，的展開式的通項公式，設展開式中系數最大項是，則，即，解得，而，因此或，，，所以展開式中系數最大的項是或.故答案為：或14.已知圓錐SO的底面半徑為2，體積為，ABCDE是底面圓O的內接五邊形，則五棱錐的外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】設圓錐的高為，由圓錐的體積得到的大小，再根據棱錐的外接球與圓錐SO的外接球相同，求出外接球半徑，進而得到外接球的表面積.【詳解】設圓錐的高為，則由得，棱錐的外接球與圓錐的外接球相同，設球半徑為,則有，得，因此，棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且.（1）求角A；（2）點D在BC邊上，且，，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由余弦定理結合條件求解即可；（2）在和中，分別用余弦定理，整理可得，再結合余弦定理消元可得，，利用基本不等式求解即可;【小問1詳解】中，由余弦定理，，又，故又【小問2詳解】如圖，由題，記，則，中，…..①中，……②由①得：……③，由（1）知，代入③中整理得：，當且僅當時取“=”，解得，，故面積的最大值為.16.在三棱錐中，平面平面，是邊長為2的正三角形，，.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據面面垂直的性質即可求解，（2）根據面面垂直的性質，結合線面垂直可知為二面角的平面角,即可利用三角形的邊角關系求解.【小問1詳解】由于平面平面，且兩平面的交線為,，.,故，因此,平面，故平面，平面，故，【小問2詳解】取的中點為，過作于點，連接,由于為等邊三角形，故,由于平面平面，且兩平面的交線為,平面，故平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故,因此為二面角的平面角，,故,17.已知函數，.（1）討論的單調性；（2）n為正整數，當時，曲線在點處的切線記為，直線與y軸交點的縱坐標記為，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對函數求導，討論、研究函數對應的單調性；（2）對函數求導，應用導數幾何意義得處的切線為，進而得到切線與y軸交點縱坐標為，利用導數證在上恒成立，最后應用放縮法、等差數列前n項和公式證明結論.【小問1詳解】由題設且，當時，，此時在上單調遞減；當時，時，時，所以在上單調遞增，在上單調遞減；綜上，時，在上單調遞減；時，在上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】由題設，則，則，，此時在處切線方程為，與y軸交點縱坐標為；所以，對于且，則，即在上單調遞增，所以，即，所以，得證.18.橢圓C的中心在坐標原點、對稱軸是坐標軸，點和點Q在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）A、B是橢圓C的左、右頂點，過點的直線l與橢圓C相交于M、N兩點（不與A、B重合），直線AM與直線BN相交于點G，求證：點G在一條定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設橢圓方程為，將所過的點帶入求參數，即可得方程；（2）設，且，聯立橢圓并應用韋達定理得，，點斜式寫出直線，的方程，并聯立求其交點橫坐標，即可證結論.【小問1詳解】令橢圓方程為，則，可得，所以橢圓方程；【小問2詳解】由題意，設，且，聯立與橢圓，得，所以，則，，由，，聯立可得，所以，可得，所以，所以點G在一條定直線上，得證.19.為貫徹落實《全民健身條例》，進一步推動羽毛球運動發展，某市舉辦“北江杯”羽毛球團體賽，第一階段是分組循環賽，每組前兩名出線進行第二階段的交叉淘汰賽.某小組有甲、乙、丙、丁四支隊伍，每支隊伍派出5對雙打（三對男雙、一對女雙、一對混雙）進行比賽，出場順序抽簽決定，每場比賽結果互不影響，先勝三場的隊伍獲勝并結束比賽（俗稱“見三收”）.在甲、乙兩支隊伍的比賽中，甲隊伍中混雙M的勝率是，其余4對雙打的勝率均是.（1）混雙M在前4場中沒有比賽的前提下，求甲隊伍在前4場比賽結束就獲勝的概率；（2）求甲隊伍在前3場比賽結束就獲勝的概率；（3）若甲隊伍在前3場比賽結束就獲勝，求混雙M在前3場中有比賽的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據題設分析知，甲隊伍在前4場比賽，每場勝率均為，且甲前3場勝2場且第4場獲勝，應用組合數及獨立事件乘法公式求概率；（2）分前3場比賽中未出現和出現兩種情況，應用獨