中考數學幾何模型24專題專題01手拉手模型

一、方法突破

問題一：構成手拉手的必要條件.

當對一個幾何圖形記憶并不深刻的時候，可以嘗試用文字取總結要點，

比如手拉手：四線共點，兩兩相等，夾角相等.

條件：如圖，OA=OB,OC=OO(四線共點，兩兩相等)，NAO5=NCOQ(夾角相等)

結論：^OAC^/\OBD(SAS)

證明無需贅述，關于條件中的OA=O8,OC=OD,有時候會直接以特殊幾何圖形的形式給出,

比如我們都很熟悉的等邊三角形和正方形.

1.等邊三角形手拉手

(1)如圖，B、C、D三總共線，△ABC和aCOE是等邊三角形，連接A。、BE,交于點P：

結論一：XACD叁XBCE

AC=BC

證明：ZACD=ZBCE—"CO絲(SAS)

CD=CE

(2)記AC、BE交點為M,AD.CE交點為N：

結論二：2ACN以BCM；&MCE//XNCD

4MBC=4NAC

證明：\BC^ACT^ACN%ABCM(SAS)；

/BCM=4ACN

NMCE=/NCD

CE=CD->>MCE出△NCO(ASA)

NCEM=ZCDN

(3)連接MN：

結論三：△MNC是等邊三角形.

證明：二了“。—△似CN是等邊三角形.

[/MCN=60。

（4）記A。、BE交點、為P,連接PC

結論四：PC平分NBPD

證明：&BCE妥/XACD—CG=CH—PC平分/BPD.

(5)結論五：NAPB=NBPC=NCPD=NDPE=60°.

(6)連接4E：

結論六：P點是△人CE的費馬點(%+PC+PE值最小)

2.正方形手拉手

如圖，四邊形A4CO和四邊形均為正方形，連接BE、DG：

A._________________.D

結論一：LBCE^^DCG

CB=CD

證明：，NBCE=NDCG—XBCE/^DCG(SAS)

CE=CG

結論二：BE=DG,BE上DG

證明：&BCEm4DCG-BE=DG；

NCBE=NCDG-NDHB=NBCD=90°(旋轉角都相等)

【重點概述】手拉手模型是一種基本的旋轉型全等，與其說看圖找模型，不如是“找條件、

定模型”.

問題二：條件與結論如何設計？

設計一：我們可以給出手拉手模型條件，得到一組全等來解決問題，就像問題一中所得出的

結論那樣：

設計二：如果題目已知△ABCgAAOE外，則還可得△ABD和△ACE均為等腰三角形，且

ABAD_BD

有△ABQs/\ACE,

~^C~~^E~~CE

8J

D

問題三：如何構造手拉手？

如何構造手拉手？換句話說，如何構造旋轉？

當我們在思考這個問題的時候，不妨先問一句，旋轉能帶來什么？

圖形位置的改變，這一點就夠了，因為，若有數顯關系，則先有位置關系.

二、典例精析

例一：如圖，等邊三角形A4C的邊長為4,點O是AA3C的中心，ZFOC；=12()°,繞點O

旋轉/FOG，分別交線段AB、8c于。、E兩點，連接DE，給出下列四個結論:①；

②S、ODE=S、BDE：③四邊形OD8E的面積始終等于④&5QE周長的最小值為6.上述

結論中正確的個數是()

例二：如圖，點尸在等邊A43c的內部，且0。=6,抬=8,依=10,將線段尸C繞點C

順時針旋轉60。得到尸C,連接AP,則sin的值為.

例三：如圖，P是等邊三角形內一點，將線段人尸繞點A順時針旋轉60。得到線段AQ,

連接BQ.若24=6,P8=8,PC=IO,則四邊形APBQ的面積為.

B

例四：如圖，等邊三角形43c內有一點分別連結小、BP、CP，若A尸=6,8尸=8,

CP=10,則SMM+SAH”=一?

例五：如圖，P為等邊三角形八3C內的一點，且2到三個頂點4,B,C的距離分別為3,

4,5,則AA4c的面積為（）

…+季B.9+竿C.18+25>/3D.如早

例六：在陽△48C中，AB=AC,點尸是三角形內一點且乙4尸8=135°,PC=4尬,AC的

最大值為.

三、中考真題演練

1.（2021?口照）問題背景:

如圖1,在矩形人ACO中，AB=26N4AD=30。，點E是邊八8的中點，過點E作砂_L/W

交BD于點、F.

實驗探究：

（1）在一次數學活動中，小王同學將圖1中的43所繞點“按逆時針方向旋轉90。，如圖2

所示，得到結論：①任=B.②直線與叱所夾銳角的度數為

DF~2-

（2）小王同學繼續將反5￡尸繞點3按逆時針方向旋轉，旋轉至如圖3所示位置.請問探究

（1）中的結論是否仍然成立？并說明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，當A5所旋轉至。、E、/三點共線時，則AADE的面積為

2.（2021?貴港）已知在A43C中，O為3。邊的中點，連接AO,將AAOC繞點O順時針

方向旋轉（旋轉角為鈍角），得到AEO/，連接AE,CF.

（1）如圖1,當NB4c=90°且AB=AC時，則AE與C尸滿足的數量關系是_AE=CF_；

（2）如圖2,當N84C=90。且AB/AC時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出

證明過程；若不成立，請說明理由.

（3）如圖3,延長AO到點。，使OD=Q4,連接QE,當AO=b=5,BC=6時，求DE

的長.

圖1圖2圖3

3.（2021?黑龍江）在等腰A4T坦中，AE=DE,AA3C是直角三角形，ZC4B=9D°,

ZABC=-ZAED,連接CD、5,點尸是4。的中點，連接所.

2

（1）當N"O=45。'點〃在邊AE上時'如圖①所示，求證：EF=#D；

（2）當/石M>=45。，把A4BC繞點A逆時針旋轉，頂點3落在邊4）上時，如圖②所示，

當/石4。=60。，點8在邊AE上時，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段瓦'和C￡）又有怎

樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，不需證明.

4.（2021?通遼）已知&4OB和AMON都是等腰直角三角形<OM<OA)

ZAOB=ZMON=90°.

（1）如圖1,連接AW,BN,求證：AM=BNx

（2）將AMON繞點O順時針旋轉.

①如圖2,當點M恰好在邊上時，求證：AM2+BM2=2OM2；

②當點A,M,N在同一條直線上時，若04=4,OM=3,請直接寫出線段A"的長.

5.（2U2I?十堰）已知等邊三角形ABC,過A點作AC的垂線/,點”為/上一動點（不與

點A重合），連接把線段CQ繞點C逆時針方向旋轉60。得到CQ,連QB.

（1）如圖I，直接寫出線段”與AQ的數量關系；

（2）如圖2,當點夕、△在AC同側且/V>=AC時，求證：直線依垂直平分線段CQ：

（3）如圖3,若等邊三角形A8C的邊長為4,點P、8分別位于直線AC異側，且AAPQ的

面積等于正，求線段AP的長度.

4

圖1圖2圖3

6.(202U?沈陽)在A/WC'中，AB=AC,4MC=a，點尸為線段CA延長線上一動點，連

接PB,將線段Q8繞點?逆時針旋轉，旋轉角為a,得到線段產力，連接08,DC.

(1)如圖1,當a=60。時,

①求證：PA=DC\

②求NDCP的度數；

(2)如圖2,當a=120。時，請直接寫出P4和DC的數量關系.

⑶當。=120。時，若A6=6,切=而，請直接寫出點力到CP的距離為正或空.

一2一2一

圖1圖2備用圖

專題01手拉手模型

一、方法突破

問題一：構成手拉手的必要條件.

當對一個幾何圖形記憶并不深刻的時候，可以嘗試用文字取總結要點,

比如手拉手：四線共點，兩兩相等，夾角相等.

條件：如圖，OA=OB,OC=OD(四線共點，兩兩相等)，ZAOB=ZCOD(夾角相等)

結論：20Ag/\OBD(SAS)

證明無需贅述，關于條件中的04=。8,OC=OD,有時候會直接以特殊幾何圖形的形式給出,

比如我們都很熟悉的等i力三角形和正方形.

3.等邊三角形手拉手

(1)如圖，B、。、。三點共線，Zk/WC和△C。石是等邊三角形，連接4。、BE,交于點P：

E

結論一：AACDW4BCE

AC=BC

證明：\AACD=ZBCE^ACD^/XBCECSAS)

CD=CE

(2)記AC、BE交點、為M,AD.CE交點為N：

結論二：XACN妾&BCM；&MCE/4NCD

NMBC=ZNAC

證明：\BC=ACTAACN%ABCM(SAS)；

/BCM=4ACN

NMCE=NNCD

CE=CD->△MCEg△NCO(ASA)

NCEM=NCDN

(3)連接MM

結論三：AMNC是等邊三角形.

證明：｛黑;：6。。3號是等邊三角豚

(4)記4。、BE交點為P,連接PC：

結論四：PC平分NBPD

證明：△BCE94ACDTCG=CHTPC平分NBPD.

(5)結論五：NAPB=NBPC=NCPD=NDPE=60°.

(6)連接4E：

結論六：P點是△人CE的費馬點(%+PC+PE值最小)

4.正方形手拉手

如圖，四邊形A4C3和四邊形均為正方形，連接BE、DG：

A_____________.D

結論一：LBCE^^DCG

CB=CD

證明：，NBCE=NDCG—XBCE/^DCG(SAS)

CE=CG

結論二：BE=DG,BE上DG

證明：&BCEm4DCG-BE=DG；

NCBE=NCDG-NDHB=NBCD=90°(旋轉角都相等)

【重點概述】手拉手模型是一種基本的旋轉型全等，與其說看圖找模型，不如是“找條件、

定模型”.

問題二：條件與結論如何設計？

設計一：我們可以給出手拉手模型條件，得到一組全等來解決問題，就像問題一中所得出的

結論那樣：

設計二：如果題目已知△ABCgAAOE外，則還可得△ABD和△ACE均為等腰三角形，且

ABADBD

有△ABQs/\ACE,

~AC~^\E~~CE

問題三：如何構造手拉手？

如何構造手拉手？換句話說，如何構造旋轉？

當我們在思考這個問題的時候，不妨先問一句，旋轉能帶來什么？

圖形位置的改變，這一點就夠了，因為，若有數顯關系，則先有位置關系.

二、典例精析

例一：如圖，等邊三角形A4C的邊長為4,點O是AA3C的中心，ZFOC；=12()°,繞點O

旋轉/FOG，分別交線段AB、8c于。、E兩點，連接DE，給出下列四個結論:①；

②S、ODE=S、BDE：③四邊形OD8E的面積始終等于④&5QE周長的最小值為6.上述

結論中正確的個數是()

A.IB.2C.3D.4

【分析】等邊三角形中的旋轉型全等

連接。以03易證AOBOg△OCE,：.OD=OEf結論①正確；

考慮N"0G是可以旋轉的，△OOE面積和面積并非始終相等，故結論②錯誤;

?：AOBD^AOCEfA四邊形ODBE的面積等于△O8C的面積，

508c=；X4X￥=W，故結論③正確；

考慮5O=CE,；.BD+BE=CE+BE=4,只要。￡最小，△8DE周長就最小，RODE是

頂角為120。的等腰三角形，故。。最小，OE便最小，

當O0J_A5時，0。取到最小值氈，

3

此時。石=6。。=2,?,?周長最小值為6,故結論④正確.

綜上，選G正確的有①③④.

【小結】所謂全等，實際就是將△008繞點0旋轉到△0EC的位置.等等，好像和某個圖

有點神似，如下：

當然這個圖形還可以簡化一下，畢竟和O點及尸點并沒有什么關系.

結論與證明不多贅述，題型可以換，但旋轉是一樣的旋轉.

例二：如圖，點P在等邊AA8C的內部，且PC=6,%=8,必=10,將線段PC繞點。

順時針旋轉60。得到尸C，連接人產，則sinNRA尸的值為.

【分析】連接尸P,則△CPP'是等邊三角形，故PP=PC=6,

A

易證△CPSg△CPN,JA。=8尸=1(),

又AP=8,J.△A/7>'是直角三角形，

3

/.sin^PAP'=-.

5

例三：如圖，尸是等邊三角形ABC內一點，將線段八尸繞點A順時針旋轉60。得到線段AQ,

連接BQ.若上4=6,PB=8,尸C=10，則四邊形APBQ的面積為.

【分析】分四邊形為三角形.

連接產。，易證△APQ是等邊三角形，ABP。是直角三角形,

2

SAPQ=x6=9\/3,S=gx6x8=24,

???四邊形APBQ的面積為（24+9網.

例四：如圖，等邊三角形ABC內有一點P,分別連結叱、BP、CP,若AP=6,8P=8,

CP=10?則SgBP十S^BPC=----,

【分析】構造旋轉.

如圖，將△BPC繞點3逆時針旋轉60°得△3EA,連接EP,

可得△4￡尸是直角三角形，△〃￡尸是等邊三角形，

+s+S2

sAPHRPCAEPBEP=^x6x8+^x8=24+16A/3,

所以本題答案為24+166.

搭配一：若PA2+PB』C"則可任意旋轉，得等邊+直角.

且兩條較短邊夾角（NAP外為150°.

搭配二：若NAPS=150°,則有尸發+尸出=。。？.

例五：如圖，尸為等邊三角形ABC內的一點，且尸到三個頂點A,B,C的距離分別為3,

4,5,則AABC的面積為（）

…+竽B.9+茅C.18+255/3

【分析】（3,4,5）是一組勾股數，通過旋轉構造直角三角形.

法一：如圖，將三個小三角形面積分別SP邑、S、

A

考慮到△ABC是等邊三角形，可將aAPB旋轉到△AOC位置,

2

可得：=SADP+S=-^―x3+—x3x4=2^--|-(yf

2

同理可得：5(+5,=—X4+-X3X4=4\/3+6,

?42

co6<21-25Gv

S>+S?=—x54—x3x4=---------F6,

424

:.2(5,+S2+S3)=y>/3+18,A5,+S2+53=胃&+9,

故選A.

法二：如圖，易證N4尸3=150°,過點A作8尸的垂線交3尸延長線于點”,

則P=|,PH**4+爵

S=^-AB2=乎(.2+8〃2)=曰(26+弓+128、=手(25+12百)=卓39.

【思考】如果放在正方形里，條件與結論又該如何搭配？

作旋轉之后，可得△AEP是等腰直角三角形，若使△PEB也為直角三角形，

則原NAPD=135°,而線段/<4、PB、尸。之間的關系為：2H4?十夕q2=相2.

搭配一：若NAPO=135°,則2P/V+QQ2=PR\

搭配二：若2P#+PLf=PB?,則NAPD=135。.

另外，其實這個圖和點C并沒有什么關系，所以也可以將正方形換成等腰直角三角形.

大概如下圖：

抓主要條件，舍棄無用條件，也是理解幾何圖形的一種方式.

例六：在R/A48C中，AB=AC,點。是三角形內一點且NAP8=135°,PC=442,4c的

最大值為.

【分析】顯然根據NAPB=135,構造旋轉.

可得：△AP。是等腰直角三角形，△PQC是直角三角形，且NPQC=90°,

另外還有條件PC=4J5.

重新梳理下條件，

（1）有一條線段PC=4應，

（2）ZP0C=9O°,則。點軌跡是個圓弧，

（3）以尸。為斜邊在尸C異側作等腰直角三角形，點4是直角頂點.

A

???4點軌跡是什么？瓜豆原理啦，也是個圓弧:

：-AC的最大值為J（可+（3夜）+2=2石+2.

三、中考真題演練

1.（2021?日照）問題背景：

如圖1,在矩形八4CO中，AB=2&444。=30。，點￡是邊4?的中點，過點E作所

交BD于煎F.

實驗探究：

（1）在一次數學活動中，小王同學將圖1中的繞點“按逆時針方向旋轉90°,如圖2

所示，得到結論：①把=_且_；②直線他與"'所夾銳角的度數為一.

DF2

（2）小王同學繼續將ME/繞點4按逆時針方向旋轉，旋轉至如圖3所示位置.請問探究

（1）中的結論是否仍然成立？并說明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，當旋轉至Q、E、尸三點共線時，則A4OE的面積為

圖3

【解答】解：(1)如圖1,,.,NABD=30。，鉆=90"EF±fi4,

RFABx/3

：.cosZ1ABD=—

BF~DB~~2

如圖2,設AB與DF交于點O,AE與DF交于點H,

圖2

MEF繞點8按逆時針方向旋轉90。,

..ZDBF=ZABE=90°,

AFBD^AEBA，

AEBEy/3

ZBDF=ZBAEt

又ZDOB=ZAOFf

：.ZDBA=ZAHD=3(r,

：.直線AE與DF所夾銳角的度數為30°,

故答案為：當，30°;

2

(2)結論仍然成立，

理由如下：如圖3,設A￡與8。交于點O,AE與DF交于點H,

圖3

將MEF繞點B按逆時針方向旋轉,

:.ZABE=ZDBF,

°BEAB75

乂--------------9

BFDB2

^ABE^NDBF,

AEBEG/mF

..----=-----=——，ZBDF—ABAE，

DFBF2

又/DOH=ZAOB,

:.ZABD=ZAHD=3(Tf

直線AE與DF所夾銳角的度數為30°.

拓展延伸：如圖%當點E在的上方時，過點。作DG_LA笈于G,

AB=26,Z/血＞=3(F,點E是邊AB的中點，ZDAB=90°f

:*BE=6AD=2f7)8=4,

NEBF=30。，EF工BE,

EF=11

。、E、r三點共線，

;.ZDEB=/BEF=90。,

：.DE=y/liD2-BE2=J16—3=A/13,

NDK4=30。，

,DG=；DE彎,

.,、、AEBEV3

由(2)可得：——=——=—,

DFBF2

AE二上

V13+1~2

_屈+6

二.AE=-------,

2

asl的右配1-八廠1V39+V3V1313"+屈

/.AADE的面積=—xAExDG=—x-------x=----------；

22228

如圖5,當點E在的下方時，過點。作DG_LA￡,交E4的延長線于G,

閂再藺力八人八二的而在1417nLix/39-V39136-相

同理可求：AADE的面積=-xAExOG=-x-------x=---------；

22228

故答案為：13肉病或13舁底.

88

2.（2021?貴港）已知在AA8C中，O為8c邊的中點，連接AO,將AAOC繞點O順時針

方向旋轉（旋轉角為鈍角），得到連接AE,CF.

（1）如圖1,當NH4C=90°且AB=AC時，則AE與CF滿足的數量關系是:

（2）如圖2,當N84C=90。且ABwAC時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出

證明過程；若不成立，請說明理由.

（3）如圖3,延長AO到點。，使OD=04,連接QE,當AO=CF=5,BC=6時，求班

的長.

圖1圖2圖3

【解答】解：（D結論：AE=CF.

理由：如圖1中，

E

c

AB

圖1

c

AB=ACtZZMC=9(),OC=OB,

：.OA=OC=OB,AOJLBC,

-.ZAOC=ZEOF=90°,

/.ZAOE=NCOF,

-：OA=OCfOE=OFt

:自OE言ACOF(SAS),

：.AE=CF.

(2)結論成立.

理由：如圖2中,

;.OA=OC=OB,

/ZAOC=/EOF,

ZAOE=ZCOFf

OA=OC,OE=OF,

：.^AOE=ACOF(SAS),

:.AE=CF.

(3)如圖3中,

E

圖3

由旋轉的性質可知OE=OAf

OA=ODf

:.OE=OA=OD=5f

NAED=90°,

OA-OE,OC-OF,ZAOE—/COF,

OAOE

..----=-----f

OCOF

:2OEs/sCOF,

AEOA

----=-----,

CFOC

CF=OA=5,

AE5

----=-9

5--3

AL25

二.AE=一,

3

DE=JAD2-AE2=^102-(y)2=.

3.(2021?黑龍江)在等腰石中，AE=DE,AA8C是直角三角形，ZC4B=90°,

ZABC=-ZAED,連接(X)、8D,點F是BD的中點,連接￡F.

2

(1)當"47)=45。，點8在邊AE上時，如圖①所示，求證：EF=-CD；

2

(2)當NE4Z)=45。，把AA8C繞點A逆時針旋轉，頂點3落在邊4)上時，如圖②所示，

當NE4T>=60。，點8在邊AE上時，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段班'和8乂有怎

樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，不需證明.

圖①

?.EA=EDfZ￡4￡>=45°,

Z￡4D=ZEm=45°,

/.ZA￡D=90°,

BF=FD,

:.EF=-DB

2t

NC43=90。，

:.ZCAD=ZBAD=45°t

?,ZABC=-ZAED=45°

2t

.\ZACB=ZABC=45°,

AC=AB,

「.4）垂直平分線段BC,

：.DC=DB,

：.EF=-CD.

2

（2）解：如圖②中，結論：EF=-CD.

2

c

E

圖②

理由：取8的中點T,連接AT,7F,ET,TE交AD于點O.

,./。。=90°,CT=DTf

：,AT=CT=DTf

?EA=ED，

二夕垂直平分線段/V),

AO=OD?

?.ZAED=90°,

..OE=OA=ODt

???CT=TD,BF=DF,

BC//FT,

/.ZABC=NO口=45。，

?.ZTOF=90°,

..ZOTF=ZOFT=45°f

：.OT=OF,

.\AF=ETf

FT=TF,ZAFT=ZETF,FA=TE,

.?.AAFT^AET產(SAS),

:.EF=ATf

:,EF=-CD.

2

如圖③中，結論：EF=—CD.

2

圖③

理由：取4)的中點O,連接。/，OE.

?EA=ED，ZAED=60。，

「.AADE是等邊三角形，

?.AO=ODf

:.OE±ADfZAEO=NOED=30。,

?/舊、AO石

?ttanZ.AEO==—,

OE3

OEG

??-----=----9

AD2

?/ZABC=-ZA￡：D=30°,440=90。，

2

AB=6AC,

1.AO=OD,BF=FD,

/.OF=-AB

2f

OFG

-----=----9

AC2

OEOF

??-----=-----9

ADAC

-OF//AB,

:.ADOF=ADAB,

:/DOF+/EOF=哪,ZDAB+ZDAC=9(r,

；./EOF=/DAC,

:ZOFs/sDAC,

.EF_OE

~CD~~\D~~19

:.EF=—CD.

2

4.(2021?通遼)已知AAO8和AMON都是等腰直角三角形(羊。A<OM<Q4),

ZAOB=ZMON=90°.

(1)如圖1,連接AM,RN,求證：AM=BN；

(2)將AMON繞點O順時針旋轉.

①如圖2,當點M恰好在4?邊上時，求證：AM2+BM2=2OM\

②當點A,M,N在同一條直線上時，若。4=4,OM=3,請直接寫出線段AM的長.

【解答】(1)證明：???NAOB=ZMON=90°,

/.ZAOB+ZAON=AMON+ZAON,

即ZAOM=ZBON,

A4OB和&WQV都是等腰直角三角形，

：.OA=OB,OM=ON,

AAOM邕鄴ON(SAS)?

：.AM=BN;

(2)①證明：連接8V,

NA()B=NMON=%)。,

：.ZAOB一/BOM=ZMOV-/BOM,

即ZAOM=/BON,

AAQ8和AMQN都是等腰直角三角形,

:.OA=OB,OM=ON,

/.AAOM=MON(SAS),

.?.ZM4O=ZA^O=45。，AM=BN,

.?.NM8V=90。，

/.MB1+BN2=MN?,

AMON都是等腰直角三角形，

MN?=2ON2,

A"+8/=20/；

②解：如圖3,當點N在線段AM上時，連接用V,沒BN=x,

由(1)可知AAQMMMQN,可得AM=BN且AMJ.BN,

在RtAABN中，AN】+BN?=AB，,

,.AAOA和AMON都是等腰直角三角形，04=4,OM=3,

:.MN=3&,AB=4五,

222

/.(X-3V2)+X=(4>/2)7

解得：x="+3五,

2

…A；a+3拒

AM=BDN=-------------,

2

如圖4,當點M在線段AV上時，連接的V,設BN=x,

由(1)可知AAQM^ABQN,可得/U/=AN且AM_LBN,

在RtAABN中，AN2+BN2=AB2,

AAQ4和AMON都是等腰直角三角形，04=4,。例=3,

:.MN=3>/2,AB=4日

(X+3>/2)2+X2=(4X/2)2,

融俎V46-3V2

解得：x=--------------,

2

^46-372

/.AM=BN=-------------,

2

綜上所述，線段AM的長為廊+3＞或啊-3五.

22

5.（2021?十堰）已知等邊三角形A3C,過A點作AC的垂線/,點尸為/上一動點（不與

點A重合），連接CQ,把線段CQ繞點C逆時針方向旋轉60。得到CQ,連Q4.

（1）如圖1,直接寫出線段AP與BQ的數量關系；

（2）如圖2,當點P、B在AC同側且AP=AC時，求證：直線總垂直平分線段CQ：

（3）如圖3,若等邊二角形AAC的功長為4.點尸、A分別位千直線4c異側,日AAPQ的

面積等于立，求線段4P的長度.

4

圖1圖2圖3

【解答】解：(1)在等邊A43C中，AC=BCtZACB=60°,

由旋轉可得，CP=CQ,NPCQ=60。，

:.ZACB=NPCQ,

ZACB-ZPCB=ZPCQ-/PCB,即ZACP=NBCQ,

AACPsABCQ(SAS),

：.AP=BQ.

(2)在等邊M8C中，AC=BCfNAC8=60°,

由旋轉可得，CP=CQ,NPCQ=60。，

/.ZACB=ZPCQt

Z4cB-ZPCB=ZPCQ-ZPCB,即ZACP=NBCQ,

:.\ACP=MiCQ{SAS),

/.AP=BQtNC8Q=NC4尸=90。；

/.BQ=AP=AC=BCf

?.AP=AC,ZC4P=90°,

.?.NK4Q=30°,ZABP=ZAPB=750,

NCBP=ZABC+ZABP=135°,

.-.ZCBD=45°,

;.NQBD=45。,

/.4CBD=NQBD,即由）平分NCBQ,

.?.8O_LCQ且點。是CQ的中點，即直線距垂直平分線段CQ.

（3）①當點Q在直線/上方時，如圖所示，延長8Q交,于點E,過點Q作Q/于點尸,

由題意可得AC=BC,PC=CQ,NPCQ=NAC8=60。,

/.ZACP=/BCQ,

:.MPC=^BCQ(SAS)t

AP=BQfNC3Q=NC4P=90。，

vZC4B=zS4BC=60°,

:.ZBAE=ZABE=3。。,

VAB=AC=4f

,4g

..AAEc=BDEC=-----，

3

/.ZB￡F=60°,

設AP=I,貝lj8Q=f,

?.&=*

在RtAEFQ中，。尸=等EQ=^（#—1）,

.5抻QF邛,嗎呼哼一）咚,

解得r=6或3走.即”的長為G或@.

33

②當點。在直線/下方時，如圖所示，設8Q交［于點E,過點Q作QFJ■/于點廠,

由題意可得AC=BC,PC=CQrNPCQ=NAC4=60。，

:&CP=/BCQ,

:.AAPC=ABCQ（SAS）,

AP=BQtNCBQ=NCAP=90°,

?.-ZC4B=Z4BC=60°,

..ZBAE=ZABE=30°f

NBEF=120。,ZQEF=60°,

?/AB=AC=4f

.4\/5

/.AEc=BE=-----，

3

設則BQ=m,

.46

??EQ=tn9

在RlAEFQ中，QF=與EQ=,

■-S^g=^APQF=^-,即:“"?等（m-券）=當，

解得,〃二空子（,〃=漢/負值舍去）.

33

綜上可得，AP的長為：&或蟲或巫巫.

33

6.（2020?沈陽）在A43c中，A8=AC,N84C=a,點尸為線段C4延長線上一動點，連

接PB,將線段號繞點?逆時針旋轉，旋轉角為。，得到線段/7）,連接QB,DC.

（1）如圖1,當a=60。時，

①求證：PA=DC-,

②求N"P的度數；

（2）如圖2,當a=120。時，請直接寫出Q4和ZX?的數最關系.

（3）當a=120。時，若A8=6,4產=向■，請直接寫出點。到CP的距離為

將線段所繞點尸逆時針旋轉，旋轉角為a,得到線段物,

：.PB=PDf

?.A3=AC,PB=PD,/BAC=ZBPD=8r,

.-.A4BC,"BD是等邊三角形,

/.ZABC=NPBD=&)。,

4BA=/DBC,

BP=BD,BA=BCt

\PBA二△DBC(SAS),

：.PA=DC.

②解：如圖1中，設BD交PC于點O.

"BA三XDBC,

:./BPA=4BDC,

NBOP=NC()D,

:.4OBP=4OCD=(^P,即NDCP=600.

(2)解：結論：CD=y/?.PA.

理由：如圖2中，

圖2

AB=ACtPB=PDtZaAC=ZfiPD=12(F,

BC=2AB-cos30°=>/3BA,BD=2BPcos30°=,

BABP

?rZABC=NPBD=30。,

;.ZABP=/CBD,

二0=生=6

PAAB

:.CD=y/3PA.

(3)過點。作DW_LPC于M,過點8作8N_LC9交C尸的延長線于N.

如圖3-1中，當APA4是鈍角三角形時，

圖3-1

在RtAABN中，Z/V=90。，人4=6,ZZMN=60。，

/./W=AB-cos60°=3,BN=A8sin600=3G，

?/PN=yjPB2-BN2=J31-27=2,

..PA-3-2^l,

由（2）可知，CD=&A=0

<ZBPA=/BDC,

：.ZDCA=NPBD=3W,

???DM_LPC,

:.DM=-CD=—

22

如圖3-2中，當ZW也是銳角三角形時，同法可得祇=2+3=5,CD

八u1「八5百

22

D

圖3-2

綜上所述，滿足條件的的值為史或趣.

22

故答案為由或趣.

22

專題02半角模型

一、方法突破

1.90°+45°模型.

如圖，在正方形A8C。中，E、尸分別在8C、CO上，且/女尸=45°連接石戶.

【兩個基本結論】

結論1：EF=BE+DF.

證明：延長CO至點G使得。G=8K【檄長】

易證：△ABE@ZiAQG(SAS)-*AE=AG,ZGAF=450

易證：XAFEWXAFG(SAS)-EF=GF

綜上：EF=GF=GD+DF=BE+DF.

若E、尸分別在C8、0c延長線上時，結論變為：EF=DF-BE.

證明：在。。上取點G使得。G=8E【補短】

易證：(SAS)-*AE=AG,ZGAF=45°

易證：XAEF9XAGF(SAS)-EF=GF

綜上：EF=GF=DF-DG=DF-BE

【小結】截長、補短只是形式，關鍵點在于已知半角的情況下，構造相應的另一個半角.此

處通過旋轉，想要將一個圖形毫無違和地旋轉到另一位置，需要：鄰邊相等，對角互補.正

方形可滿足一切你所想.

結論2：連接8Q,與AE、A尸分別交于M、N,則：MN，=BM'+DN?.

證明：構造△AQM'0AABM-*AM=AM\/MAN二/M'AN,BM二DM'

易證：△AMNgZXAM'N(SAS)-MN=M'N

易證：△M7)N是直角三角形一M,N2=M'D2+DN2-MN2=BM2+DN2.

【其他結論】結論3：若BE=>BC,則點尸是C。邊中點.反之亦然.

3

結論4：過點A作AH_LE”交EF于"點，則△AHFWXADF.

另外還可得：AE平分NBEF,4"平分NQFE.

結論5：A、B、E、N四點共圓，A、D、八M四點共圓.

證明：/EAN=/EBN=45°,：.A、B、E、N四點共圓.同理可證A、。、F、M四點共圓.

另外還可得：連接EMMF,可得△AEN、aAM尸是等腰直角三角形.

結論6：M、N、F、七四點共圓.

證明：?:/MEF=/MFN,：.M、N、F、E四點共圓.

結論7：XNMNsXAFE.且

AMANMN

由構圖3可得NANM二NHEF,/AMN=NAFE.可得△AMNSA4/E.

結論8：XMANsXMDA,△NAMSANBA.

ApAr,廠

結論9：連接AC,則歷BsaAFC,MKNDS2AEC.且——=--=V2.

AMAB

【思考】對于以上9個結論，在正方形中，有哪些作為條件能推出/E4F=45°的？

【小結】從結論5開始，后面的可能都用不上，但既然半角模型作為題型出現，了解下圖形

的更多性質有時候能幫上大忙.在這里除了給的NE4F=45°外，正方形對角線也會形成其

他45°角，多組相等角總能撞出些火花.

2.1200+60°模型

(1)如圖，△ABC是等邊三角形，8O=C￡＞且N8OC=120°,E、尸在直線48、AC上且N

E/?F=60°

結論：EF=BE+CF

證明：延長4c至點G使得CG=8E,

易證：4DBE妾4DCG(SAS)-DE=DG,NFDG二/FDE=60°

易證：ADFEM&DFG(SAS)-EF=GF

綜上：EF=GF=GC+CF=BE+CF

(2)若點尸在AC的延長線上，EF、BE、。尸之間又有何數量關系？

二、典例精析

例一：如圖，正方形488的邊長為2,點E,F分別在邊AO,CD上，若NEBF=45。,

則的周長等于.

例二：已知如圖，在正方形八8a＞中，4)=4,E,尸分別是C￡＞,AC上的一點，且

N￡4尸=45。，EC=l,將A4QE繞點A沿順時針方向旋轉90。后與AABG重合，連接所，

過點4作8W//AG,交A廠于點則以下結論：①。E+M=EF,②=③

7

4尸=9,④S.郎=言中正確的是（）

A.①②③B.?@?C.①③④D.（D??

例三：如圖，已知正方形ABC。的邊長為mE為CO邊上一點（不與端點重合），將AAOE

沿AE對折至延長以7交邊BC于點G,連接AG,CF.

給出下列判斷：①NE4G=45°；②若DE=ga,則AG〃C/：③若E為C。的中點，則

△GFC的面積為④若b=FG,則。七=（3-W；⑤BGDE+AFGE=a?.

其中正確的是.（寫出所有正確判斷的序號）

三、中考真題演練

1.如圖，正方形A8CO中，E、尸分別在邊3C、CO上，.且N￡4b=45。，連接所，這

種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的分析思

路.例如圖中A4DF與AA8G可以看作繞點A旋轉90。的關系.這可以證明結論

“EF=BE+DF”,請補充輔助線的作法，并寫出證明過程.

（1）延長C8到點G,使。G=_。尸連接八G;

（2）證明：EF=BE+DF.

2.半角模型是指有公共頂點,銳角等于較大角的一半，旦組成這個較大角的兩邊相等.通

過翻折或旋轉，將角的倍分關系轉化為角的相等關系，并進一步構成全等或相似三角形，弱

化條件，變更載體，而構建模型，可把握問題的本質.

（1）問題背景：

如圖1,在四邊形ABCZ）中，AB=AD,Zfi4Z>=120°?ZB=ZADC=90°,E、尸分別是

BC、CD上的點，旦N￡4E=60。.探究圖中線段EF,㈤之間的數量關系；

（2）探索延伸：

如圖2,若在四邊形42CD中，AB-AD,NB+〃>—l80°.E、廠分別是AC、8上的

點，且/E4/=4N84O,上述結論是否仍然成立，并說明理由；

2

（3）結論應用：

如圖3,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中

心南偏東70。的8處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東

方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，

1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達K、尸處，且兩艦艇與指揮中心O之間

的夾角NEC力=70。，試求此時兩艦艇之間的距離；

（4）能力提高：

如圖，等腰直角三角形ABC中，NK4C=90°,AB=AC,點M、N在邊BC上,且

NM4N=45。，若BM=1,CN=3,試求出MN的長.

3.小明、小亮在共同學習的過程中經常會遇到一類幾何問題：兩個角度是一半關系，并且

這兩個角共頂點，他們稱之“半角問題”：常見的半角模型是90。含45。，120。含60。.

問題