城廂區2024-2025學年度上學期期末試卷九年級數學（滿分：150分；考試時間：120分鐘）友情提示：本試卷分為“試題”和“答題卡”兩部分，答題時，請按答題卡中的“注意事項”認真作答，答案寫在答題卡上的相應位置．一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.博物館已逐漸成為公共文化服務和城市旅游的重要陣地與有效載體．下列四幅圖是我國部分博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.下列關于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A. B. C. D.3.如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，點在線段上．若，則和的周長之比為（）A. B. C. D.4.如圖，的半徑為6，直角三角板角的頂點落在上，兩邊與分別交于兩點，則弦的長為（）A.3 B. C. D.65.某品牌新能源汽車2022年的銷售量為28萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2024年的銷售量比2022年增加了36.6萬輛．如果設從2022年到2024年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為，那么可列出方程是（）A. B.C. D.6.關于反比例函數，下列說法正確的是（）A.該函數圖象在一、三象限B當時，隨增大而減小C.若在該函數圖象上，則D.若點和點在該函數圖象上，且，則有且僅有7.如圖，在一張紙片中，，，，是它內切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（）A.19 B.17 C.22 D.208.如圖，正五邊形的五個內角都相等，五條邊都相等，連接對角線，線段分別與和相交于點，．下列結論中錯誤的是（）A. B. C. D.9.圖是型號為24英寸（車輪的直徑為24英寸，約）的自行車，現要在自行車兩輪的陰影部分（分別以，為圓心的兩個扇形）裝上擋水的鐵皮，量出四邊形中，，那么安裝單側（陰影部分）需要的鐵皮面積約是（）A. B. C. D.10.二次函數的圖象過，兩點，其中，則下列說法一定正確的是（）A.若時，則B.若時，則C.若時，則D.若時，則二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．11.點關于原點對稱的點的坐標是________．12.體育課籃球項目中，“投籃命中率”是一項重要的考核指標．如圖是小強在平時運動過程中的投籃記錄，請結合圖示，估計現階段小強隨機投籃一次正好命中的概率約為_____．13.如圖，A是反比例函數上任意一點，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA，若△OAB的面積為4，則k是的值為______．14.若一個二次函數的對稱軸為直線，則該二次函數的解析式可以是_____（寫出一個符合題意的解析式）．15.在認識圓錐主題活動課上，芳芳用一塊扇形材料制作了一個圓錐模型（如右圖所示），根據測量數據推算，該圓錐模型的側面積為_____．16.如圖，在中，以點為圓心作與直線相切，點是上一個動點，連接交于點，則最大值是_____．三、解答題：本大題共9小題，共86分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17解方程：．18.如圖，AE平分，DAE上一點，．（1）求證：；（2）若D為AE中點，，求CD的長．19.團體操是集體表演的體操項目，它和音樂、舞蹈、美術有密切的聯系，打破學科壁壘，加強協同育人，全面提升學生素質．某校團體操表演隊伍有6行8列，后又增加了51人，若增加的行、列數相同，則增加了多少行?20.已知關于的方程有兩個不相等的實數根．（1）求的取值范圍；（2）是否存在實數，使此方程的兩個實數根的倒數和等于0？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．21.已知拋物線過點，頂點為．拋物線．（1）求的值和點的坐標．（2）求證：無論為何值，將的頂點向左平移2個單位長度后一定落在上．22.如圖，平面直角坐標系中，，，，．已知線段繞著點順時針旋轉得到線段，其中是點的對應點．（1）用尺規作圖的方法確定旋轉中心，并直接寫出點的坐標；（要求保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若以為圓心的圓與直線相切，求的半徑．23.某校組織九年級學生開展以“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學活動，策劃了四條研學線路供學生選擇：閩中革命烈士陵園，閩中游擊區革命紀念館，閩中支隊司令部舊址，澳柄宮革命舊址，每名學生只能任意選擇一條線路．（1）曉紅選擇線路的概率為；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求曉紅和小明選擇同一線路的概率．24.用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．科學原理：如圖2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為（單位：），如果在離水面豎直距離為（單位：）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）（單位：）與的關系式為．應用思考：現用高度為的圓柱體塑料水瓶做相關研究，水瓶直立地面，通過連續注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距離處開一個小孔．（1）寫出與的關系式；并求出當為何值時，射程有最大值，最大射程是多少?（2）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程達到，求墊高的高度．25.如圖，在中，于點于點，線段與交于點．的外接圓與的延長線交于點，點是上的點，且滿足，連接BH，FH．（1）求證：；（2）請判斷四邊形的形狀，并證明結論；（3）已知的直徑長為，當，時，求弦的長度．

城廂區2024-2025學年度上學期期末試卷九年級數學（滿分：150分；考試時間：120分鐘）友情提示：本試卷分為“試題”和“答題卡”兩部分，答題時，請按答題卡中的“注意事項”認真作答，答案寫在答題卡上的相應位置．一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.博物館已逐漸成為公共文化服務和城市旅游的重要陣地與有效載體．下列四幅圖是我國部分博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的知識，把一個圖形繞某一點旋轉180度后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．【詳解】解：A、該圖形不屬于中心對稱圖形，故該選項不符合題意；B、該圖形不屬于中心對稱圖形，故該選項不符合題意；C、該圖形屬于中心對稱圖形，故該選項符合題意；D、該圖形不屬于中心對稱圖形，故該選項不符合題意；故選：C．2.下列關于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關鍵．根據一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：A、中，未知數的次數是1，不符合題意；B、是一元二次方程，符合題意；C、中，含有兩個未知數，不是一元二次方程，不符合題意；D、中，含有分式，不是一元二次方程，不符合題意．故選：B．3.如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，點在線段上．若，則和的周長之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了位似圖形的性質，相似三角形的判定和性質，掌握相似圖形的周長比等于相似比是解題關鍵．由已知可得，再根據位似圖形的性質，易證，得到相似比，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵和是以點為位似中心的位似圖形，∴，∴，∴，∴和周長之比為，故選：D．4.如圖，的半徑為6，直角三角板角的頂點落在上，兩邊與分別交于兩點，則弦的長為（）A.3 B. C. D.6【答案】D【解析】【分析】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．連接，根據圓周角定理得到，得到是等邊三角形，即可得到答案．【詳解】解：連接，，是等邊三角形，．故：D．5.某品牌新能源汽車2022年的銷售量為28萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2024年的銷售量比2022年增加了36.6萬輛．如果設從2022年到2024年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為，那么可列出方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用—增長率問題．設年平均增長率為x，根據2022年的銷售量為28萬輛，到2024年銷量增加了36.6萬輛列方程即可．【詳解】解：設年平均增長率為x，由題意得，故選：D．6.關于反比例函數，下列說法正確的是（）A.該函數圖象在一、三象限B.當時，隨增大而減小C.若在該函數圖象上，則D.若點和點在該函數圖象上，且，則有且僅有【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質，根據反比例函數的圖象與性質逐一判斷即可，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵．【詳解】、由反比例函數可知，則該函數圖象在第二、四象限，故不符合題意；、當時，隨增大而增大，故不符合題意;、若在該函數圖象上，則，故符合題意；、若點和點在該函數圖象上，當或時，，當時，，故不符合題意；故選：.7.如圖，在一張紙片中，，，，是它的內切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（）A19 B.17 C.22 D.20【答案】D【解析】【分析】本題考查了三角形的內切圓與內心，勾股定理，切線的性質，解決本題的關鍵是掌握切線的性質．設的內切圓切三邊于點，連接，得四邊形是正方形，由切線長定理可知，根據是的切線，可得，，根據勾股定理可得，再求出內切圓的半徑，進而可得的周長．【詳解】解：如圖，設的內切圓切三邊于點、、，連接、、，∴四邊形是正方形，由切線長定理可知，∵是的切線，∴，，∵，，，∴，∵是的內切圓，∴內切圓的半徑，∴，∴，∴，∴的周長為：．故選：D．8.如圖，正五邊形的五個內角都相等，五條邊都相等，連接對角線，線段分別與和相交于點，．下列結論中錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了正多邊形的內角和問題，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理等知識．根據題意可得正五邊形的內角和等于180°，從而得到，，從而得到，再由三角形的內角和定理可得，據此分別求解即可判斷．【詳解】解：五邊形是正五邊形，∴內角和為，，，，，，，，，故A正確，不符合題意；同理，，故B正確，不符合題意；，，，故D正確，不符合題意；∵，，∴，故C錯誤，符合題意；故選：C．9.圖是型號為24英寸（車輪的直徑為24英寸，約）的自行車，現要在自行車兩輪的陰影部分（分別以，為圓心的兩個扇形）裝上擋水的鐵皮，量出四邊形中，，那么安裝單側（陰影部分）需要的鐵皮面積約是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出圓心角，再運用扇形的面積公式計算即可．詳解】∵四邊形中，，，∴，∵車輪直徑為24英寸，約，∴需要的鐵皮面積約是，故選A．【點睛】本題考查了扇形的面積公式，平行線的性質，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關鍵．10.二次函數的圖象過，兩點，其中，則下列說法一定正確的是（）A.若時，則B.若時，則C.若時，則D.若時，則【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，求出對稱軸，進而求出拋物線與軸交于點，求出其關于對稱軸的對稱點為，根據二次函數的增減性，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，當時，，∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，拋物線與軸交于點，∴關于對稱軸的對稱點為，∵，在拋物線上，且，①當時，則：，當時，則：，如圖：∴，∴，∴，當時，則：，如圖：∴，∴，∴，②當時，則，當時，則：，如圖：∴，∴，∴，當時，則：，如圖：∴，∴，∴；綜上，選項A錯誤，選項B正確；當時，如圖：∵，∴，∴，∴，∴，∵可能大于也可能小于，則：或，故選項C錯誤；當時，如圖：∵，∴，∴，∴，∴，∵可能大于也可能小于，則：或，故選項D錯誤；故選：B．二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．11.點關于原點對稱的點的坐標是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標；根據關于原點對稱的兩點的橫縱坐標互為相反數得出答案．【詳解】解：點關于原點對稱的點的坐標是，故答案為：．12.體育課籃球項目中，“投籃命中率”是一項重要的考核指標．如圖是小強在平時運動過程中的投籃記錄，請結合圖示，估計現階段小強隨機投籃一次正好命中的概率約為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查利用頻率估計概率的知識．根據頻率估計概率的方法結合圖示的數據可得答案．【詳解】解：這名籃球運動員投籃一次，投中的概率約為．故答案為：．13.如圖，A是反比例函數上任意一點，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA，若△OAB的面積為4，則k是的值為______．【答案】8【解析】【分析】根據反比例系數k的幾何意義求得k即可．【詳解】解：設A點坐標為（x，y），

∴，

∵圖象在第一、三象限，

∴k=8．

故答案為：k=8．【點睛】本題考查反比例函數系數k的幾何意義，利用三角形的面積求解是解題的關鍵．14.若一個二次函數的對稱軸為直線，則該二次函數的解析式可以是_____（寫出一個符合題意的解析式）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了二次函數的性質．根據二次函數的圖象的對稱軸為直線，寫出二次函數的頂點式即可．【詳解】解：由題意，對稱軸為直線，這個二次函數的解析式可以是，故答案為：（答案不唯一）．15.在認識圓錐主題活動課上，芳芳用一塊扇形材料制作了一個圓錐模型（如右圖所示），根據測量數據推算，該圓錐模型的側面積為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查的是圓錐的側面積．先利用勾股定理求得母線長，進而根據側面積公式，即可求解．【詳解】解：圖知圓錐的高為，圓錐的底面直徑為，即底面半徑為，∴圓錐的母線長為，∴圓錐模型的側面積為（），故答案為：．16.如圖，在中，以點為圓心作與直線相切，點是上一個動點，連接交于點，則的最大值是_____．【答案】3【解析】【分析】設與直線切點為，連接，，，則，作，，垂足分別為，，證明，可列比例關系，則，證明，推出，進而可得．【詳解】解：設與直線切點為，連接，，，則，作，，垂足分別為，，如圖，∵，，∴，∴，設的半徑為，則，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最大值是3，故答案為：3．【點睛】本題考查切線的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，利用相似三角形的性質列比例式得是解決問題得關鍵．三、解答題：本大題共9小題，共86分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程的解法－因式分解法．根據因式分解法解一元二次方程的一般步驟解答即可．【詳解】解：，因式分解得，則或，解得，．18.如圖，AE平分，D為AE上一點，．（1）求證：；（2）若D為AE中點，，求CD的長．【答案】（1）證明見詳解；（2）CD的長為2．【解析】【分析】（1）由角平分線的定義可得，根據相似三角形的判定定理即可證明；（2）由中點的定義可得，再由（1）中結論相似三角形的性質即可得．【詳解】解：（1）證明∵AE平分，∴，在與中，∵，，∴；（2）∵D為AE中點，∴，∵，∴，∴，∴CD的長為2．【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質，角平分線和線段中點的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題關鍵．19.團體操是集體表演的體操項目，它和音樂、舞蹈、美術有密切的聯系，打破學科壁壘，加強協同育人，全面提升學生素質．某校團體操表演隊伍有6行8列，后又增加了51人，若增加的行、列數相同，則增加了多少行?【答案】增加了3行．【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程的應用．設增加了x行，則增加的列數為x，用增加后的總人數?原隊伍的總人數列出方程求解即可．【詳解】解：設增加了x行，則增加的列數為x，根據題意，得，解得，（不符合題意，舍去），答：增加了3行．20.已知關于的方程有兩個不相等的實數根．（1）求的取值范圍；（2）是否存在實數，使此方程的兩個實數根的倒數和等于0？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）且；（2）不存在實數，使方程的兩個實數根的倒數和等于0．見解析【解析】【分析】本題考查了根的判別式以及根與系數的關系．（1）由二次項系數非零及根的判別式，即可得出關于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍；（2）假設存在，設方程的兩根分別為、，根據根與系數的關系結合，即可得出關于的方程，解之即可得出的值，再根據（1）的結論即可得出不存在實數，使方程的兩個實數根的倒數和等于0．【小問1詳解】解：關于的方程有兩個不相等的實數根，，解得：且；【小問2詳解】解：不存在假設存在，設方程的兩根分別為、，則，．，．且，不符合題意，舍去．假設不成立，即不存在實數，使方程的兩個實數根的倒數和等于0．21.已知拋物線過點，頂點為．拋物線．（1）求的值和點的坐標．（2）求證：無論為何值，將的頂點向左平移2個單位長度后一定落在上．【答案】（1），（2）見解析【解析】【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數的性質、坐標的平移，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）利用待定系數法求解即可得出，從而得出拋物線的解析式，再化為頂點式即可得解；（2）求出平移后的坐標為，再求出當時，的值，即可得證．【小問1詳解】解：∵拋物線過點，∴，∴，∴拋物線，∴；【小問2詳解】證明：將向左平移個單位長度得到對應點的坐標為，當時，，∴在拋物線上．22.如圖，平面直角坐標系中，，，，．已知線段繞著點順時針旋轉得到線段，其中是點的對應點．（1）用尺規作圖的方法確定旋轉中心，并直接寫出點的坐標；（要求保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若以為圓心的圓與直線相切，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）的半徑為．【解析】【分析】本題考查作圖，相似三角形的判定和性質，切線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．（1）作相對，的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點P即為所求；（2）作于E，證明，利用相似三角形的性質求出即可．【小問1詳解】解：如圖點P即為所求．；【小問2詳解】解：作于E，由（1）得，∵，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，∵以P為圓心的圓與直線相切，∴的半徑為．23.某校組織九年級學生開展以“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學活動，策劃了四條研學線路供學生選擇：閩中革命烈士陵園，閩中游擊區革命紀念館，閩中支隊司令部舊址，澳柄宮革命舊址，每名學生只能任意選擇一條線路．（1）曉紅選擇線路的概率為；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求曉紅和小明選擇同一線路的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了簡單概率公式的計算，列表或樹狀圖求概率，熟悉概率公式和列表或樹狀圖求概率是解題的關鍵，列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果數．（1）根據簡單概率的公式計算即可，概率=所求情況數與總情況數之比；（2）根據列表法即可求得概率．【小問1詳解】解：依題意，共四條研學線路，每條線路被選擇的可能性相同．曉紅選擇線路A的概率為；故答案為：；【小問2詳解】解：依題意，列表可得小明\曉紅ABCDABCD由列表可得，共有16種等可能性結果，其中相同線路的可能結果有4種，小明和曉紅選擇同一線路的概率為．24.用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．科學原理：如圖2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為（單位：），如果在離水面豎直距離為（單位：）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）（單位：）與的關系式為．應用思考：現用高度為的圓柱體塑料水瓶做相關研究，水瓶直立地面，通過連續注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距離處開一個小孔．（1）寫出與的關系式；并求出當為何值時，射程有最大值，最大射程是多少?（2）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程