高中數學第三章不等式3.4.2簡單的線性規劃教學實錄北師大版必修5課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、設計思路本節課以“高中數學第三章不等式3.4.2簡單的線性規劃”為主題，結合北師大版必修5教材內容，通過實際問題引入，引導學生掌握線性規劃的基本概念和方法。課程設計注重理論與實踐相結合，通過實例分析和小組合作，讓學生在解決實際問題的過程中，深入理解線性規劃的應用，提高數學思維能力。二、核心素養目標培養學生數學建模、邏輯推理、直觀想象和數學運算的核心素養。通過線性規劃問題的解決，提升學生分析實際問題、構建數學模型的能力，增強學生運用數學知識解決實際問題的意識，培養學生在數學思考中形成的批判性和創新性思維。三、學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生已具備不等式、函數、方程等相關知識，能夠理解和運用這些基本概念進行問題分析。此外，學生對坐標系和線性方程的解法有一定了解，為線性規劃的學習奠定了基礎。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

學生對數學學科興趣濃厚，具備較強的邏輯思維能力和空間想象力。在學習風格上，部分學生傾向于通過直觀圖像理解問題，而另一些學生則更偏好通過文字和公式推導。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

學生在學習線性規劃時，可能難以將實際問題轉化為數學模型，對約束條件和解的判別可能存在理解困難。此外，學生可能對線性規劃的實際應用場景感到陌生，難以將所學知識應用于實際問題的解決。四、教學資源-教學軟件：幾何畫板、數學繪圖軟件

-教學平臺：多媒體教學平臺、在線教學平臺

-信息化資源：線性規劃相關教學視頻、在線習題庫

-教學手段：實物教具（如線性規劃模型）、多媒體課件、白板或電子白板五、教學過程一、導入新課

（教師）同學們，今天我們來學習第三章不等式中的3.4.2節——簡單的線性規劃。在日常生活中，我們經常會遇到需要做出最優選擇的問題，比如如何安排時間、如何分配資源等。這些問題都可以通過線性規劃來解決。那么，什么是線性規劃呢？今天我們就一起來探究這個問題。

二、新課講授

1.線性規劃的基本概念

（教師）首先，我們來了解一下線性規劃的基本概念。線性規劃是研究線性方程組或線性不等式組在滿足一定條件下，目標函數取得最大值或最小值的方法。目標函數和約束條件都是線性的。

（學生）線性規劃是研究線性方程組或線性不等式組在滿足一定條件下，目標函數取得最大值或最小值的方法。

2.線性規劃問題的建模

（教師）接下來，我們來看一個例子。假設有一個農場，農場主想種植兩種作物A和B，其中作物A每畝收入為1000元，作物B每畝收入為800元。農場的土地資源有限，每畝地種植作物A需要2噸肥料，每畝地種植作物B需要1.5噸肥料。農場現有肥料總量為30噸，土地資源為20畝。請問，農場主應該如何安排種植作物A和B，才能使收入最大化？

（學生）首先，我們需要建立目標函數。在這個例子中，目標函數為收入最大化，即1000A+800B。然后，我們需要建立約束條件。根據題目，我們可以得到以下約束條件：2A+1.5B≤30（肥料約束）和A+B≤20（土地資源約束）。

3.線性規劃問題的求解

（教師）接下來，我們將利用線性規劃方法求解這個問題。首先，我們需要將約束條件轉化為標準形式。對于肥料約束，我們可以將其乘以2，得到4A+3B≤60。然后，我們將目標函數和約束條件轉化為標準形式，即最大化目標函數1000A+800B，滿足約束條件4A+3B≤60，A+B≤20，A≥0，B≥0。

（學生）通過求解線性規劃問題，我們得到最優解為A=10，B=10，即農場主應種植作物A10畝，作物B10畝，以實現收入最大化。

4.線性規劃的實際應用

（教師）線性規劃在實際生活中有著廣泛的應用。例如，在工業生產中，企業可以通過線性規劃來確定生產方案，以降低成本；在交通運輸中，可以通過線性規劃來優化運輸路線，提高運輸效率。同學們，課后可以思考一下，線性規劃在我們生活中還有哪些應用？

三、課堂練習

1.請同學們根據以下條件，建立線性規劃模型，并求解最大化目標函數：

（1）目標函數：最大化利潤=5x+4y；

（2）約束條件：2x+3y≤12，x+y≥3，x≥0，y≥0。

2.請同學們思考以下問題：

（1）線性規劃在實際應用中，如何處理非線性問題？

（2）線性規劃在解決實際問題時，有哪些局限性？

四、課堂小結

（教師）今天我們學習了簡單的線性規劃，了解了線性規劃的基本概念、建模方法和求解過程。在解決實際問題時，我們要學會將問題轉化為數學模型，并運用線性規劃方法進行求解。希望同學們課后能夠多思考、多練習，提高自己的數學建模能力。

五、課后作業

1.完成課堂練習中的問題；

2.閱讀教材相關內容，了解線性規劃在實際生活中的應用。六、教學資源拓展一、拓展資源

1.線性規劃的案例分析

-介紹不同行業的線性規劃案例，如生產計劃、運輸調度、庫存控制等，以幫助學生理解線性規劃在現實世界中的應用。

-提供線性規劃的經典案例，如背包問題、分配問題、生產問題等，通過案例學習加深對線性規劃概念和方法的理解。

2.線性規劃的軟件工具

-介紹用于線性規劃分析的軟件工具，如LINDO、MATLAB、ExcelSolver等，展示如何使用這些工具解決實際問題。

3.線性規劃的數學理論

-深入探討線性規劃的理論基礎，包括對偶理論、靈敏度分析、參數線性規劃等，以幫助學生建立更全面的知識體系。

4.線性規劃的擴展內容

-討論非線性規劃的基本概念，介紹如何將線性規劃的問題轉化為非線性規劃問題，以及解決非線性規劃問題的方法。

二、拓展建議

1.學生可以通過在線課程或開放課程網站學習線性規劃的高級內容，如在線開放課程中的線性規劃專題講座。

2.鼓勵學生參與數學建模競賽，通過實際案例的解決來提升線性規劃的應用能力。

3.學生可以閱讀相關書籍，如《線性規劃與矩陣論》、《現代優化方法》等，以獲得更深入的數學理論知識和應用技巧。

4.在課后，學生可以嘗試解決一些非線性規劃問題，如通過編程實現非線性規劃的迭代算法，如梯度下降法、牛頓法等。

5.學生可以組織小組討論，分享各自在學習線性規劃過程中的心得體會，以及在實際問題解決中遇到的問題和解決方案。

6.教師可以推薦一些實際應用的案例研究報告，讓學生通過閱讀了解線性規劃在各個領域的具體應用。

7.學生可以通過模擬軟件或在線實驗平臺進行線性規劃的模擬實驗，直觀地感受線性規劃模型的變化對結果的影響。七、課后作業1.作業題目：

一個工廠生產兩種產品A和B，生產產品A需要2小時機器時間和3小時人工時間，生產產品B需要1小時機器時間和2小時人工時間。工廠每天有8小時機器時間和10小時人工時間。如果產品A每件利潤為100元，產品B每件利潤為200元，求每天生產產品A和產品B的最優數量，以實現最大利潤。

作業答案：

設生產產品A的數量為x，生產產品B的數量為y，則目標函數為最大化利潤=100x+200y。

約束條件為：

2x+y≤8（機器時間約束）

3x+2y≤10（人工時間約束）

x≥0，y≥0

解得：x=2，y=2，最大利潤為600元。

2.作業題目：

一個農民有20畝土地，種植小麥每畝收入為1000元，種植玉米每畝收入為1500元。種植小麥每畝需要1噸肥料，種植玉米每畝需要0.8噸肥料。農民有15噸肥料。求農民種植小麥和玉米的最優面積，以實現最大收入。

作業答案：

設種植小麥的面積為x畝，種植玉米的面積為y畝，則目標函數為最大化收入=1000x+1500y。

約束條件為：

x+0.8y≤15（肥料約束）

x+y≤20（土地資源約束）

x≥0，y≥0

解得：x=10，y=10，最大收入為25000元。

3.作業題目：

一家工廠生產兩種產品，生產產品A需要3小時機器時間和2小時人工時間，生產產品B需要2小時機器時間和3小時人工時間。工廠每天有12小時機器時間和15小時人工時間。如果產品A每件成本為50元，產品B每件成本為70元，求每天生產產品A和產品B的最優數量，以實現最小成本。

作業答案：

設生產產品A的數量為x，生產產品B的數量為y，則目標函數為最小化成本=50x+70y。

約束條件為：

3x+2y≤12（機器時間約束）

2x+3y≤15（人工時間約束）

x≥0，y≥0

解得：x=2，y=3，最小成本為680元。

4.作業題目：

一個運輸公司負責從兩個倉庫向三個商店運送貨物。倉庫A有100噸貨物，倉庫B有150噸貨物。商店C需要50噸貨物，商店D需要70噸貨物，商店E需要80噸貨物。運輸成本為：從倉庫A到商店C每噸100元，從倉庫A到商店D每噸120元，從倉庫A到商店E每噸90元，從倉庫B到商店C每噸110元，從倉庫B到商店D每噸130元，從倉庫B到商店E每噸140元。求運輸方案，以實現最低成本。

作業答案：

設從倉庫A到商店C的貨物量為x噸，從倉庫A到商店D的貨物量為y噸，從倉庫A到商店E的貨物量為z噸，從倉庫B到商店C的貨物量為m噸，從倉庫B到商店D的貨物量為n噸，從倉庫B到商店E的貨物量為p噸，則目標函數為最小化成本=100x+120y+90z+110m+130n+140p。

約束條件為：

x+y+z+m+n+p=280（總貨物量約束）

x≤100，y≤100，z≤100，m≤150，n≤150，p≤150

解得：x=50，y=70，z=80，m=50，n=70，p=80，最低成本為8600元。

5.作業題目：

一家服裝店銷售兩種款式A和B的服裝，每件款式A的成本為100元，每件款式B的成本為150元。款式A的利潤為每件50元，款式B的利潤為每件70元。服裝店有1000元的預算用于購買服裝，并且需要保證至少銷售50件服裝。求購買款式A和款式B的最優數量，以實現最大利潤。

作業答案：

設購買款式A的數量為x件，購買款式B的數量為y件，則目標函數為最大化利潤=50x+70y。

約束條件為：

100x+150y≤1000（預算約束）

x+y≥50（銷售數量約束）

x≥0，y≥0

解得：x=10，y=40，最大利潤為3500元。八、課堂1.課堂評價：

在課堂教學中，我將采用多種評價方法來監測學生的學習進度和理解程度。

-提問：通過隨機提問和小組討論，我可以了解學生對線性規劃概念的理解程度，以及他們是否能夠將理論知識應用于實際問題。

-觀察：通過觀察學生的課堂參與度和互動情況，我可以評估他們的學習興趣和學習態度。

-測試：在課程結束時，我將進行小測驗或課堂練習，以評估學生對線性規劃基本概念、建模和解題方法的掌握情況。

為了及時發現問題并進行解決，我會在課后對學生的回答進行反思，并針對學生在課堂上的困惑進行個別輔導。

2.作業評價：

對于學生的課后作業，我將采取以下評價策略：

-認真批改：我會仔細檢查每個學生的作業，確保對每個問題的解答都進行了正確的評分。

-點評反饋：在批改作業的同時，我會給出詳細的點評，指出學生的優點和需要改進的地方。

-及時反饋：我會在作業完成后盡快將評分和點評反饋給學生，以便他們能夠及時了解自己的學習情況。

-鼓勵進步：在評價中，我會強調學生的進步和努力，鼓勵他們繼續努力，并對他們的成就給予肯定。

通過這些評價方法，我希望能夠幫助學生識別自己的學習強項和弱點，激發他們的學習動力，并促進他們在數學學習上的持續進步。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創新

1.案例教學：在講解線性規劃時，我嘗試引入實際案例，讓學生通過分析案例來理解線性規劃的應用，這種教學方法能夠激發學生的學習興趣，并幫助他們更好地將理論知識與實際相結合。

2.小組合作：我鼓勵學生進行小組合作，通過討論和協作解決問題，這種互動式學習不僅提高了學生的團隊協作能力，也促進了他們對線性規劃概念的理解。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生基礎差異：我發現學生在數學基礎和理解能力上存在較大差異，這導致他們在學習線性規劃時遇到的問題不同，個別學生可能難以跟上課程進度。

2.教學方法單一：在教學方法上，我主要依賴講解和演示，這可能限制了學生的主動性和創造性，需要尋找更多樣化的教學方法。

3.評價方式局限：目前的評價方式主要集中在作業和測試上，缺乏對學生實際應用能力的評估，需要改進評價方式，以更全面地評估學生的學習成果。

反思改進措施（三）

1.個性化教學：針對學生基礎差異，我將嘗試實施個性化教學，為不同水平的學生提供相應的學習資源和輔導，確保每個學生都