2023九年級數學下冊第二章二次函數4二次函數的應用第2課時利用二次函數解決利潤問題教學實錄（新版）北師大版課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、設計思路本節課以“利用二次函數解決利潤問題”為主題，結合北師大版九年級數學下冊第二章二次函數的相關知識，引導學生通過實際案例分析，運用二次函數模型解決實際問題。通過小組合作探究、師生互動等形式，提升學生的數學應用能力和創新能力，實現數學知識與生活實踐的緊密結合。二、核心素養目標1.提升數學建模能力，通過二次函數解決實際問題。

2.培養邏輯推理能力，理解函數與實際問題的關系。

3.強化數據分析意識，學會從數據中提取信息，進行問題解決。

4.增強應用意識，認識到數學在生活中的廣泛應用。三、教學難點與重點1.教學重點，

①理解二次函數與利潤問題之間的關系，能夠根據實際情況建立二次函數模型。

②掌握求解二次函數最值的方法，并能將其應用于解決利潤最大化或最小化問題。

③培養學生分析問題和解決問題的能力，能夠將實際問題轉化為數學模型。

2.教學難點，

①正確識別利潤問題的核心變量，如銷售價格、成本、需求量等，并建立合適的二次函數模型。

②理解二次函數圖象的開口方向、頂點坐標與利潤之間的關系，并能據此分析利潤變化趨勢。

③在實際情境中，能夠靈活運用二次函數解決復雜利潤問題，包括考慮多種因素對利潤的影響。四、教學資源準備1.教材：確保每位學生都有北師大版九年級數學下冊教材，以便查閱相關章節內容。

2.輔助材料：準備與二次函數相關的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，以增強直觀教學效果。

3.教學工具：準備計算器、投影儀等教學工具，便于展示解題過程和結果。

4.教室布置：布置教室環境，包括分組討論區，確保學生能夠進行有效互動和合作學習。五、教學過程1.導入（約5分鐘）

-激發興趣：通過展示實際生活中的利潤問題案例，如商家打折促銷等，引導學生思考如何用數學方法解決。

-回顧舊知：簡要回顧二次函數的基本性質，如開口方向、頂點坐標等，以及如何求解二次函數的最值。

2.新課呈現（約20分鐘）

-講解新知：詳細講解二次函數在解決利潤問題中的應用，包括如何建立二次函數模型，如何求解最大利潤或最小成本等。

-舉例說明：通過具體案例，如某商品的銷售價格與銷售量之間的關系，展示如何根據實際情況建立二次函數模型，并求解最大利潤。

-互動探究：分組討論，讓學生嘗試解決類似的問題，如不同成本和銷售價格下的利潤最大化問題。

3.鞏固練習（約15分鐘）

-學生活動：學生獨立完成練習題，包括計算最大利潤、最小成本等實際問題。

-教師指導：巡視課堂，針對學生的解答提供反饋和指導，糾正錯誤，幫助學生理解解題思路。

4.拓展延伸（約10分鐘）

-提出更高難度的練習題，如考慮市場飽和度、成本變化等因素的利潤問題。

-引導學生思考如何將二次函數應用于更廣泛的生活和經濟問題。

5.總結反思（約5分鐘）

-學生總結：讓學生分享在課堂上的學習體會，總結二次函數在解決利潤問題中的應用方法。

-教師總結：回顧本節課的重點內容，強調二次函數模型在解決實際問題中的重要性，并鼓勵學生在生活中繼續運用所學知識。

6.課后作業（約10分鐘）

-布置與利潤問題相關的課后作業，要求學生獨立完成，并鼓勵學生嘗試解決生活中的實際問題。六、知識點梳理1.二次函數的基本形式

-標準形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c為常數，且a≠0。

-拋物線性質：拋物線開口方向由a的符號決定，頂點坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。

2.二次函數的圖像

-拋物線的開口方向：a>0時開口向上，a<0時開口向下。

-頂點坐標：二次函數的頂點坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。

-對稱軸：拋物線的對稱軸為直線x=-b/2a。

3.二次函數的最值

-當a>0時，拋物線開口向上，函數有最小值，最小值為頂點的y坐標。

-當a<0時，拋物線開口向下，函數有最大值，最大值為頂點的y坐標。

4.二次函數與實際應用

-利潤問題：通過建立二次函數模型，求解最大利潤或最小成本。

-物理問題：拋物線運動軌跡、物體運動規律等。

-經濟問題：成本函數、需求函數等。

5.二次函數的圖像變換

-平移：拋物線沿x軸或y軸平移，改變頂點坐標。

-伸縮：拋物線沿x軸或y軸伸縮，改變開口大小和頂點坐標。

6.二次函數與一元二次方程

-二次函數的圖像與x軸的交點對應一元二次方程的解。

-通過解一元二次方程，可以找到二次函數與x軸的交點坐標。

7.二次函數與一元二次不等式

-二次函數的圖像與x軸的關系可以用來解決一元二次不等式問題。

-通過分析二次函數的圖像，可以確定不等式的解集。

8.二次函數與極值問題

-二次函數的極值點對應拋物線的頂點。

-通過求解二次函數的導數，可以找到極值點。

9.二次函數與實際問題

-將實際問題轉化為二次函數模型，求解實際問題。

-分析二次函數模型在實際問題中的應用，如優化生產、工程設計等。

10.二次函數與其他數學知識的聯系

-與代數知識的聯系：二次函數是代數中的一個重要內容，與一元二次方程、一元二次不等式等知識緊密相關。

-與幾何知識的聯系：二次函數的圖像是拋物線，與幾何圖形的性質、關系等知識相聯系。七、教學反思今天上了“利用二次函數解決利潤問題”這一課，我覺得整體上效果還不錯，但也有些地方需要反思和改進。

首先，我覺得課堂氛圍營造得還可以。我通過引入生活中的實例，比如商場打折促銷，讓學生們感受到了數學與生活的緊密聯系，激發了他們的學習興趣。學生們在討論和互動中表現得非常積極，這讓我很高興。

但是，在講解二次函數與利潤問題的關系時，我發現部分學生對這個概念的理解還不夠深入。我在課堂上多次強調了二次函數圖像的頂點坐標和開口方向對利潤的影響，但有些學生還是有些迷茫。這說明我在講解過程中可能沒有做到讓學生充分理解，或者我沒有用足夠直觀的方式去展示這個概念。

在課堂互動環節，我發現有些學生參與度不高，可能是由于他們對這個話題不太感興趣，或者是對數學本身就不太感冒。為了提高他們的參與度，我打算在今后的教學中嘗試更多樣的教學方法，比如小組合作、角色扮演等，讓每個學生都能在課堂上找到自己的位置。

此外，我還發現了一些學生在解題過程中的錯誤。比如，有些學生在建立二次函數模型時，沒有正確識別變量和系數，導致最終結果錯誤。這說明我在講解二次函數模型建立的過程中，可能沒有讓學生充分理解每個變量的含義和系數的確定方法。因此，我需要在今后的教學中，更加注重細節的講解，確保學生能夠準確掌握。

最后，我覺得自己在課堂管理上還有待提高。有些學生在課堂上分心，或者與同學交頭接耳，這影響了課堂秩序和教學效果。我需要在今后的教學中，更加關注課堂紀律，確保每個學生都能集中注意力聽講。八、重點題型整理1.**題型一：求最大利潤或最小成本**

-**題目**：某商品的成本函數為C(x)=-0.02x^2+2x+10（x為銷售數量），求該商品的最大利潤。

-**解題過程**：

-利潤函數為P(x)=收入-成本=(銷售價格)x-成本函數=(銷售價格)x-(-0.02x^2+2x+10)。

-設銷售價格為p，則P(x)=px-(-0.02x^2+2x+10)。

-求解P(x)的最大值，即求解P'(x)=p-0.04x+2=0。

-解得x=(p-2)/0.04。

-將x代入成本函數，得C(x)=-0.02((p-2)/0.04)^2+2((p-2)/0.04)+10。

-化簡得C(x)=-0.02(p^2-4p+4)/0.0016+(p-2)/0.04+10。

-最終求得最大利潤P_max。

2.**題型二：求解銷售數量與銷售價格的關系**

-**題目**：某商品的利潤函數為P(x)=-0.02x^2+4x-20，求當利潤為0時的銷售數量。

-**解題過程**：

-利潤為0時，P(x)=-0.02x^2+4x-20=0。

-解一元二次方程-0.02x^2+4x-20=0，得x=10或x=-10。

-因為銷售數量不能為負數，所以銷售數量x=10。

3.**題型三：分析價格變動對利潤的影響**

-**題目**：某商品的利潤函數為P(x)=-0.02x^2+6x-20，求當銷售價格上升10%時，利潤如何變化。

-**解題過程**：

-原銷售價格為p，上升10%后的銷售價格為1.1p。

-新的利潤函數為P_new(x)=-0.02x^2+1.1p*x-20。

-比較新舊利潤函數的頂點坐標，判斷利潤變化。

4.**題型四：考慮市場需求影響利潤**

-**題目**：某商品的銷售量為x，需求函數為Q(x)=-0.001x^2+0.05x+10，求當銷售量達到多少時，總收入達到最大。

-**解題過程**：

-總收入函數為R(x)=Q(x)*x=(-0.001x^2+0.05x+10)x。

-求解R(x)的最大值，即求解R'(x)=-0.002x+0.05=0。

-解得x=25。

-當銷售量x=25時，總收入達到最大。

5.**題型五：綜合應用二次函數解決實際問題**

-**題目**：某工廠生產一種產品，成本函數為C(x)=-0.0005x^2+0.4x+10（x為產量），市場需求函數為D(x)=-0.002x^2+0.1x+20（x為售