PAGE1-四、應用性——融入素養特色顯明數學的實際應用基本思想數學學問應用高考數學中應用性包含兩層意思，一層是應用數學學問解決社會生活中的實際問題，另一層是應用數學學問解決相關的數學問題，數學試題從頭到尾到處都體現數學學問的應用，解決問題時留意以下兩點：(1)將實際問題建立數形模型進行求解，理清建模過程和數據處理，利用數據說話．(2)應用數學學問解決相關數學問題時，留意分析問題，構建條件與結論的最短(最佳)解題鏈，堅持條件與結論的和諧相融．應用性命題目標真題回顧素養清單數學的實際應用統計圖的基本學問，統計在實際生活中的應用及運算求解實力1.[2024·全國卷Ⅰ]某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番．為更好地了解該地區農村的經濟收入改變狀況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是()A．新農村建設后，種植收入削減B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上C．新農村建設后，養殖收入增加了一倍D．新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半解析：設新農村建設前，農村的經濟收入為a，則新農村建設后，農村經濟收入為2a故選A.[數據分析][邏輯推理][數學運算]用樣本估計總體，邏輯思維實力在實際生活中的應用2.[2024·全國卷Ⅱ]我國高鐵發展快速，技術先進．經統計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為________．解析：依題意知，經停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.答案：0.98[數據分析][邏輯推理]基本思想莖葉圖、中位數與獨立性檢驗思想，統計學問在實際生活中的應用，推斷與運算求解實力3.[2024·全國卷Ⅲ]某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產方式，其次組工人用其次種生產方式．依據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)依據莖葉圖推斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由．(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：超過m不超過m第一種生產方式其次種生產方式(3)依據(2)中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析：(1)其次種生產方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用其次種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘．因此其次種生產方式的效率更高．(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘，用其次種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5分鐘．因此其次種生產方式的效率更高．(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；用其次種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘．因此其次種生產方式的效率更高．(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用其次種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區間相同，故可以認為用其次種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少．因此其次種生產方式的效率更高．以上給出了4種理由，考生答出其中隨意一種或其他合理理由均可得分．(2)由莖葉圖知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.列聯表如下：超過m不超過m第一種生產方式155其次種生產方式515(3)由于K2＝eq\f(4015×15－5×52,20×20×20×20)＝10>6.635，所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異.[數據分析][邏輯推理][數學運算]基本思想頻率分布直方圖，學生識圖實力、閱讀實力4.[2024·全國卷Ⅲ]為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比．依據試驗數據分別得到如下直方圖：記C為事務：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，依據直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)解析：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.[數據分析][邏輯推理][數學運算]高考小題集訓(四)1．[2024·湖南衡陽聯考]已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|log2(3－x)>0}，則A∩B的子集個數為()A．2B．3C．4D．8解析：由已知可得B＝{x|x<2}，所以A∩B＝{0,1}，所以A∩B的子集個數為22＝4.故選C.答案：C2．[2024·天津模擬]已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，則a，b，cA．c<b<aB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b解析：本題考查指數函數與對數函數的圖象和性質；通過對對數式的估算或適當“縮放”考查學生的直觀想象與邏輯推理的核心素養．明顯c＝0.30.2因為log33<log38<log39，所以1<b<2.因為log27>log24＝2，所以a>2.故c<b<a.選A.答案：A3．[2024·江西第一次大聯考]已知命題p：“對隨意的x≥1，lnx≥0”的否定是“存在x0≥1，lnx0<0”，命題q：“0<k<1”是“方程x2＋y2＋eq\r(3)x＋ky＋k2＝0表示圓”的充要條件，則下列命題為真命題的是()A．p∨qB．p∧qC．綈p∨qD．綈p∧q解析：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以易得命題p是真命題；若方程x2＋y2＋eq\r(3)x＋ky＋k2＝0表示圓，則k2＋(eq\r(3))2－4k2>0，解得－1<k<1，所以命題q是假命題．所以命題p∨q為真命題，命題p∧q，綈p∨q，綈p∧q均為假命題，故選A.答案：A4．[2024·湖南長沙長郡中學調研]沈老師告知高三文數周考的附加題只有6名同學A，B，C，D，E，F嘗試做了，并且這6人中只有1人答對了．同學甲揣測：D或E答對了．同學乙揣測：C不行能答對，同學丙揣測：A，B，F當中必有1人答對了．同學丁揣測：D，E，F都不行能答對．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜對，則此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：若甲猜對，則乙也猜對，與題意不符，故甲猜錯；若乙猜對，則丙也猜對，與題意不符，故乙也猜錯；若丙猜對，則乙也猜對，與題意不符，故丙猜錯；因為甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜對，所以丁猜對，故選D.答案：D5．[2024·福建福清期中]若f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度后所得的圖象關于原點對稱，則φ可以是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(2π,3)解析：通解f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度得到函數g(x)＝sin(2x－eq\f(π,3)＋φ)的圖象，∵g(x)＝sin(2x－eq\f(π,3)＋φ)的圖象關于原點對稱，∴sin(φ－eq\f(π,3))＝0，∴φ可以是eq\f(π,3)，故選B.優解∵f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度后所得的圖象關于原點對稱，∴f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象關于點(－eq\f(π,6)，0)對稱，∴sin(φ－eq\f(π,3))＝0，∴φ可以是eq\f(π,3)，故選B.答案：B6．[2024·陜西渭南質檢]函數f(x)＝eq\f(x2,2)＋sinx＋2019，則f′(x)的大致圖象是()解析：f′(x)＝x＋cosx，當x＝－eq\f(π,2)時，f′(－eq\f(π,2))＝－eq\f(π,2)，則可解除C.當x＝eq\f(π,2)時，f′(eq\f(π,2))＝eq\f(π,2)，解除D.當x＝0時，f′(0)＝1，解除A.故選B.答案：B7．[2024·遼寧大連期中]已知O是△ABC的外心，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝2，則eq\o(AO,\s\up10(→))·(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝()A．8B．9C．10D．12解析：∵O是△ABC的外心，∴eq\o(AO,\s\up10(→))在eq\o(AB,\s\up10(→))上的投影為eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝2，eq\o(AO,\s\up10(→))在eq\o(AC,\s\up10(→))上的投影為eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝1，∴eq\o(AO,\s\up10(→))·(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AO,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝2|Aeq\o(B,\s\up10(→))|＋|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝10.故選C.答案：C8．[2024·江西贛州測試]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA＝eq\f(4,5)，b＝5c，則sinC的值為()A.eq\f(\r(2),10)B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(3),5)D.eq\f(\r(3),10)解析：∵cosA＝eq\f(4,5)，b＝5c，∴a2＝b2＋c2－2bc×eq\f(4,5)＝18c2，∴a＝3eq\r(2)c，又sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(3,5)，∴sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(2),10)，故選A.答案：A9．[2024·山東濟南外國語學校月考]在正項等比數列{an}中，存在兩項am，an，使得eq\r(aman)＝4a1，且a6＝a5＋2a4，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值是()A.eq\f(25,6)B.eq\f(7,3)C．2D.eq\f(3,2)解析：設數列{an}的公比為q，∵eq\r(aman)＝4a1且an>0，∴qm＋n－2＝16，又a6＝a5＋2a4，∴q2－q∵q>0，∴q＝2，∴m＋n＝6，∴eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,6)(m＋n)(eq\f(1,m)＋eq\f(4,n))＝eq\f(1,6)(5＋eq\f(4m,n)＋eq\f(n,m))≥eq\f(3,2)，當且僅當2m＝n∴eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為eq\f(3,2)，故選D.答案：D10．[2024·四川成都一診]在各棱長均相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M是棱BB1的中點，N是棱AC的中點，則異面直線A1M與A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(2),2)解析：通解取AA1的中點P，連接PN，PB，則由直三棱柱的性質可知A1M∥PB則∠PBN為異面直線A1M與BN設三棱柱的棱長為2，則PN＝eq\r(2)，PB＝eq\r(5)，BN＝eq\r(3)，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝eq\f(PN,BN)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，故選C.優解以N為坐標原點，NB，NC所在的直線分別為x軸，y軸，過點N且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設AB＝2，則N(0,0,0)，A1(0，－1,2)，B(eq\r(3)，0,0)，M(eq\r(3)，0,1)，所以eq\o(NB,\s\up10(→))＝(eq\r(3)，0,0)，eq\o(A1M,\s\up10(→))＝(eq\r(3)，1，－1)．設直線A1M與BN所成的角為θ則cosθ＝|cos〈eq\o(NB,\s\up10(→))，eq\o(A1M,\s\up10(→))〉|＝eq\f(|\o(NB,\s\up10(→))·\o(A1M,\s\up10(→))|,|\o(NB,\s\up10(→))|·|\o(A1M,\s\up10(→))|)＝eq\f(3,\r(3)×\r(5))＝eq\f(\r(15),5)，則sinθ＝eq\f(\r(10),5)，tanθ＝eq\f(\r(6),3)，故選C.答案：C11．[2024·福建廈門一模]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A在C上，AF的中點坐標為(2,2)，則C的方程為()A．y2＝4xB．y2＝8xC．y2＝10xD．y2＝16x解析：由拋物線y2＝2px(p>0)，可得F(eq\f(p,2)，0)，由線段AF的中點坐標為(2,2)，可得A(4－eq\f(p,2)，4)，又點A在拋物線C上，代入拋物線C的方程可得16＝2p(4－eq\f(p,2))，得p＝4，所以拋物線C的方程為y2＝8x，故選B.答案：B12．[2024·福建質量檢查]已知函數f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＋x，且f(a)＋f(a＋1)>0，則a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))解析：由eq\f(1＋x,1－x)>0，可得－1<x<1，即函數f(x)的定義域為(－1,1)，又f(－x)＝lneq\f(1－x,1＋x)＋(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1＋x,1－x)＋x))＝－f(x)，所以函數f(x)為奇函數，分析易得，f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＋x在(－1,1)上為增函數，f(a)＋f(a＋1)>0?f(a)>－f(a＋1)?f(a)>f(－a－1)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－a－1，,－1<a<1，,－1<－a＋1<1，))解得－eq\f(1,2)<a<0，即a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，故選B.答案：B13．[2024·重慶學業質量抽測]已知復數z1＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i，則z1·z2＝________.解析：由已知條件得z2＝2＋i－z1＝2＋i－(1＋2i)＝1－i，所以z1·z2＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i.答案：3＋i14．[2024·寧夏育才中學月考]已知圓x2＋y2－8x＝0上存在兩個不同的點關于直線2x－y＋m＝0對稱，則實數m＝________.解析：x2＋y2－8x＝0化為標準形式是(x－4)2＋y2＝16，則圓心坐標為(4,0)，半徑r＝4，由題意，知直線2x－y＋m＝0經過圓心(4,0)，所以2×4－0＋m＝0，解得m＝－8.答案：－815．[2024·廣東肇慶聯考]某汽車4S店銷售甲品牌A型汽車，在2024年元旦期間，進行了降價促銷活動，依據以往數據統計，該型汽車的價格與月銷售量之間有如下關系：價格/萬元2523.52220.5月銷售量/輛30333639已知A型汽車的月銷售量y(輛)與價格x(萬元)符合線性回來方程eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o(b,\s\up10(^))x＋80.若A型汽車價格降到19萬