2025年四年級數學奧數專題訓練～高斯求和[同步鞏固演練]1、數列4，7，10，…，295，298中，298是第幾項？2、數列7，15，23，…，799中，799是第幾項？3、從自然數4開始數，每后面一個數比前一個數大1，數到100時，一共數了多少個數？4、數列的公差是5，第50項是700，首項是多少？5、求數列1，3，5，7，…的第20項。6、求數列1，4，7，…的第21項。7、求數列3，10，17…的第15項。8、在數列7，10，13，16，…中，907是第幾個數？第907個數是多少？9、求出下列各題的值：（1）從1到100的所有單數的和；（2）從1到100的所有雙數的和；（3）從51到121的所有單數的和。10、求出0至100（包括0與100）內所有4的倍數所組成的和。11、自1開始，每隔兩個數寫出一個數來，得到數列：1，4，7，10，13，…，求出這個數列前100項之和。12、自然數中所有三位數之和是多少？13、一只小蟲沿筆直的樹干跳著往上行，每跳一次都上升4厘米，它從離地面10厘米處開始跳，如果把這一處稱為小蟲的第一落腳點，那么它的第100個落腳點正好在樹梢，這棵樹高多少厘米？14、如圖，一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往一每一層都比它下面一層多放1支，最上面一層是120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆？第14題15、有12個同學聚會，如果見面時每個同學都和其余的人握手1次，那么一共握手多少次？16、按一定規律排列的算式：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…，那么第100個算式是什么？17、小剛練習口算，他按照自然數的順序從1開始求和，當加到某個數時，和是1300，在驗算時發現，他重復加了一個數，問這個數是多少？18、把1988表示成28個連續偶數之和，其中最大的偶數是多少？19、編號為1~9的九個盒中共放有351粒米，已知每個盒子都比前一個盒子多同樣粒米，如果1號盒子內放了11粒米，問后面的盒子比前一號的盒子多放幾粒米？[能力拓展平臺]1、七個人的年齡各不相同，和是99歲，其中最大的年齡是18歲，那么最小年齡至少是多少歲？2、在兩位數10，11，…，98，99中，將每個被2除余2的數的個位與十位之間添加一個小數點，其余的數不變，問：經過這樣改變之所，所有數的和是多少？3、有一列數1，1993，1992，1，1991，1990，1…，從第三個數起，每個數都是它前面兩個數中大數減小數的差，求從第一數起到1993個數，這1993個數之和。4、有10個盒子，44只乒乓球，把這44只乒乓球放到盒子中，能不能使每個盒中的球數都不相同（每個盒子中至少要放一個球）？5、影劇院共有25排座位，第一排有20個座位，以后每排比前一排多2個座位，最后一排有75個座位，問：影劇院共有多少個座位？6、力學小學的禮堂里共有30排座位，從第一排開始，以后每排比前一排多2個座位，最后一排有75個座位，問：這個禮堂共有多少個座位？7、7條直線最多能把一個長方形分成多塊？8、如圖是一個五邊形點陣，中心是一個點為第一層，第二層每邊為兩個點（五邊形頂點處的一個點為相鄰兩邊所公用），第三層每邊3個點，第四層每邊4個點……其余類推，如果這個五邊形點陣共有30層，那么點陣中一共有多少個點？第8題9、兩條直線相交可得1個交點，在同一平面上6條直線最多可得多少個交點？10、如圖所示為切大餅的示意圖，切一刀只有一種切法，切兩刀有兩種切法，切三刀有4種切法……問切十一刀有多少種切法（規定：三刀或三刀以下不能切在同一點上，如圖所示）？第10題11、有11個連續單數的和是1911，這11個數中最小的是多少？12、下表中30個格子中各有1個數，除最上面一行和最左邊一列的格子內已寫上數外，其它格子的數等于同一行最左邊一個數與同一列最上面一個數之和（例如a=16+19=35），求方格內30個數的和。101113151719121416a1813、盒子里放有1只球，一位魔術師第一次從盒子里將這1只球拿出，變成3只球后放回盒子里；第2次從盒子里拿出2只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里；如此繼續下去，最后第10次從盒子里拿出10只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里，這時盒子里共有多少只球？14、在1~100內所有不能被5或9整除的數的和是多少？15、已知一串數：1，2，2，2，3，3，3，3，3，…，試問：（1）10是這串數中的第幾到幾個數？（2）這串數中的第80個數是幾？（3）這串數中前80個數的和是多少？16、下面方陣中所有數的和是多少。1900190119021903…19491901190219031904…19501902190319041905…19511903190419051906…1952：：：：：1948194919501951…19971949195019511952…199817、把所有奇數排列成下面的數表，根據規律，請指出：①197排在第幾行的第幾個數？②第10行的第9個數是多少？１３５７91113151719212325272931333537394143454749……18、將自然數如下排列，12671516…358…49……11……在這樣的排列下，數字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，問：1993排在第幾行第幾列？[全講綜合訓練]1、求0至100內能夠被5整除的數的和。2、50把鎖鑰搞亂了，為了使每鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？3、5個連續整數的和為225，求這5個數的第一個數為多少？4、小張看一本故事書，第一天看了25頁，以后每天比前一天多看的頁數相同，第25天看了97頁剛好看完，問：這本書共有多少頁？5、已知數列：2，5，3，3，7，2，5，3，3，7，2，5，3，3，7，…這個數列的第30項是哪個數字？到第25項止，這些數的和是多少？6、一個劇場設置了22排座位，第一排有36個座位，往后每排都比前一排多2個座位，這個劇場共有多少個座位？7、求一切除以4余1的兩位數的和是多少？8、學校進行乒乓球選撥賽，每個參賽選手都要和其他所有選手各賽一場，一共進行了78場比賽，有多少人參加了選撥賽？9、時鐘每個整點敲該鐘點數，每半點敲一下，一晝夜共敲多少下？10、某小組有10個同學，放假時，握手告別，每兩人都握一次，問共握了多少次手？11、體育課上，同學們玩丟石子的游戲，從A點出發，先走1米放1個石子，再走5米放3個石子，接著走9米放5個石子，再接著走13米放7個石子，…，照此規律，最后到B點時需要放15個石子，問從A到B共有多少米？12、體育課上，教師讓全班45個同學站成一行，小王站在最后，老師讓第一個人報1，從第二個人開始，每后一個人都比前一個報的數要多3，小王應報幾？13、求自然數中所有三位數的和。14、從1開始，每隔兩個數寫出一個數來，得到數列：1，4，7，10，13，16，…，求前100個數的和。15、求從1開始的連續100個單數的和。16、求數列2，4，6，8，10，…，200的和。17、連續九個自然數的和為54，則以這九個自然數的末項作為首項的九個連續自然數之和是多少？18、一堆鋼管，最下面一層放137根，每往上一層，鋼管就少放一根，最上面一層放一根，這堆鋼管多少根？19、梯子最高的一級寬31厘米，最低一級寬110厘米，中間還有9級，各級的寬度成等差數列，中間一級寬多少厘米？20、在4與40之間插入哪8個數以后，能使這10個數成為等差數列？21、三個數成等差數列，它們的和是21，積是91，這三個數是多少？22、已知等差數列第1項是15，第6項是35，求公差。23、有5個數組成等差數列，數列中第三個數是5，求這五個數的和。24、有12個數組成等差數列，第六項與第七項的和是12，求這12個數的和。25、王師傅3月1日開始用新機器織布，第一天織10米，以后每天都比前一天多織2米，則3月31日那天織了幾米？3月份一共織了多少米？26、11至18這8個連續自然數的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8個連續數的和，這另外8個連續自然數中的最小數是多少？27、100個連續自然數（按從小到大的順序排列）的和是8450，取出其中第1個，第3個…第99個，再把剩下的50個數相加，得多少？28、把210拆成7個自然數的和，使這7個數從小到大成一行后，相鄰兩個數的差都是5，那么，第1個數與第6個數分別是多少？29、在1~2000以內的所有自然數中，既不能被8整除，也不能被12整除的數的和是多少？30、小咪家住在一條胡同里，胡同里的門牌號從1號開始挨著排下去。小咪將全胡同的門牌號進行口算求和，結果誤把1看成了10，得到的錯誤結果為100，那么實際上全胡同共有多少家？第八講高斯求和[同步鞏固演練]1、99（290-4）÷3+1=992、100（799-7）÷8+1=1003、97（100-4）÷1+1=974、455700-（50-1）×5=4555、391+（20-1）×2=396、611+（21-1）×3=617、1013+（15-1）×7=1018、301，2725（907-7）÷3+1=301，7+（907-1）×3=27259、（1）2500（2）2550（3）3096（1）（1+99）×50÷2=2500（2）（2+100）×50÷2=2550（3）（51+121）×36÷2=309610、13004+8+12+…+96+98+100=（4+100）×25÷2=130011、14950第100項為1+（100-1）×3=298，和為（1+298）×100÷2=1495012、494550100+101+102+…+999=（100+999）×900÷2=49455013、406厘米10+（100-1）×4=406（厘米）14、7260支層數為（120-1）÷1+1=120（層），（1+120）×120÷2=7260（支）15、66次11+10+…+3+2+1=（1+11）×11÷2=66（次）16、103+596第一個加數為4+（100-1）×1=103，第二個加數為2+（100-1）×6=59617、251+2+3+…+50=1275，所以多加的數為1300-1275=2518、98（1）利用等差數列的知識求解，設最小的偶數為x，由于這28個連續偶數是公差為2的等差數列，所以最大的偶數，即第28個偶數為x+（28-1）×2=x+54根據題意，則有（x+x+54）×28÷2=1988（2x+54）×28÷2=19882×（x+27）×28÷2=1988x+27=1988÷28，即x+27=71得x=71-27，即x=44所以，最大的偶數是44+（28-1）×2=44+54=98（2）利用平均數的知識求解這28個偶數的平均數為1988÷28=71根據連續的偶數個偶數的特點可知，這28個連續偶數按著由小到大的順序排列，第15個偶數為71+1=72。所以第28個偶數，即最大的偶數為72+（14-1）×2=72+26=9819、7粒設每個盒子比前面一個盒子多放x粒米，則這9個盒子放和米數依次為：11，11+x，11+2x，…，11+8x。根據題意，有：（11+11+8x）×9÷2=351（22+8x）×9÷2=3512×（11+4x）×9÷2=35111+4x=351÷9即11+4x=394x=39-11即4x=28得x=28÷4x=7所以，每個盒子都比前面一個盒子多放7粒米。[能力拓展平臺]1、6歲要使最小年齡盡可能小，其余6人的年齡應尺可能大，又最大年齡是18歲，所以余下5個人的年齡應是17，16，15，14，13。因為18+17+16+15+14+13=（18+13）×6÷2=93，所以最小年齡為99-93=6（歲）2、4316.4原來的總和是：10+11+…98+99=（10+99）×90÷2=4905。被7除余2的兩位數是16，23，30，…，93，共12個數，這些數按題中要求添加小數點后，都變為原數的，因此使總和減少了：（16+23+…+93）-（1.6+2.3+…+9.3）=(16+93)×12÷2-(1.6+9.3)×12÷2=588.6所以，經過改變之后，所有數的和是：4905-588.6=4316.43、1766241我們按下列步驟分析求解：（1）第1993年數是多少？我們先把這列數分組，從頭開始每3個數一組，即（1，1993，1992），（1，1991，1990），（1，1989，1988），…。因為1993÷3=664余1，由此可知，由1992個數可分成644組，還剩下一個數，這個數是第655組的第一個數“1”，所以第1993個數是1。（2）第1992個數是多少？第1992個數是第664組數的第3個數，觀察整個數列我們看到，每組中的第3個數從左至右依次是1992，1990，1988，…，是個逐次少2的等差數列，所以第1992個數是1992-（644-1）×2=666。（3）這1993個數的和是多少？這1993個數之和，即數列1，1993，1992；1，1991，1990；1，…，666，1的所有項之和，不難看出，在這個數列中有“1”（644+1）=655個，其余的數依次是1993，1992，1991，1990，…，666。這是（1993-665）=1328個連續的自然數，利用等差數列求和公式很容易求和。這1993個數的和為：1+1993+1992+1+1994+1990+1+…+666+1=1×665+（1993+666）×1328÷2=665+2659×664=665+1765576=17662414、不能因為1+2+3+…+10=55，55比44大所以不能。5、1100個最后一排有20+（25-1）×2=68（個），共有座位（20+68）×25÷2=1100（個）6、1380個第一排座位有75-（30-1）×2=17（個），共有座位（17+75）×30÷2=1380（個）7、29塊1條直線分長方形為1+1=2（塊）；2條直線分1+1+2=4（塊）；3條直線分1+1+2+3=7（塊）；7條直線分1+1+2+3+4+5+6+7=29（塊）8、2176個第二層有（2-1）×5個點，第三層有（3-1）×5個點，依此類推，30層有（30-1）×5個點，（1+2+3+…+29）×5+1=2176（個）9、15二條直線一個交點，三條直線1+2=3個交點，四條直線1+2+3個交點，依次類推，六條直線有1+2+3+4+5=15（個）交點。10、56種一刀有1種切法，二刀有1+1種切法，三刀有1+1+2種切法，四刀有1+1+2+3種切法，依此類推，11刀有1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56（種）11、1711991÷11=181，181-5×2=17112、745（12+14+16+18）×6+（11+13+15+17+19）×5+10=74513、111只一只球變3只球，實際上多了2只球。因為第幾次就拿出幾個球，所以第1次多了2×1只球，第2次多了2×2只球，…第10次多了2×10只球，總共有1+2×1+2×2+2×3+…2×10=111（只）14、35411~100內所有數的和為5050；1~100內所有5的倍數的和為：（5+100）×20÷2=1050；1~100內所有9的倍數和為：（9+99）×11÷2=594；1~100內所45的倍數只有45、90，所其和為135。因此，1~100內所有不能被5或9整除的數的和為：5050-1050-594+135=3541。15、（1）82到100（2）9（3）4872500（1）“9”這組數的個數為1+（9-1）×2=17（個），這串數中前9組數的個數為（1+17）×9÷2=81（個），“10”這組數共有19個，所以10是這串數中第82個到81+19=100（個）（2）這串數中、前組數的個數為1+3+5+7+9+11+13+15+17=81（個），所以第80個數是9。（3）前80個數的和為：1+2×3+3×5+4×7+5×9+6×11+7×13+8×15+9×16=516。16、4872500第1行數的和為：（1900+1949）×50÷2=96225，以后每一行比第1行多50，即：96225，96225-50，96225+50×2，…，96225+50×49，求和為：（96225+96225+50×49）×50÷2=4872500。17、（1）第10行第18個數，（2）179（1）因為197是奇數中的第99個數，1+3+5+7+9+11+13+15+17=81，所以第99個數在第10行99-81=18（個）（2）第10行的第9個數是奇數中第90個數，它是179。18、24行40列不難看出，數表的排列規律如箭頭所指，為研究的方便，我們不妨把原因順時針轉動450，就成為三角陣，（如右圖），三角陣中，第1行1個數，第2行2個數…第n行就有n個數，設1993在三角陣中的第n行，則：1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n，即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2，用試值的方法，可以求出n=63。又因為1+2+3+…62=1953，即第62行中最大的數為1953，三角陣中，奇數列的數字從左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角陣中第63行從左開始數起的第40個數（若從右開始數，則為第24個數）。把三角陣中與左圖比較，可以發現：①三角陣中每一行從左開始數起的第幾個數，就位于左圖的第幾列。②三角陣中第一行從右開始數起的第幾個數，就位于左圖的第幾行。由此，我們可知，1993位于原圖的24行40列。[全講綜合訓練]1、10505+10+15+…95+100=10502、1225次49+48+47+46+…+3+2+1=1225（次）3、43225÷5=45,45-2=434、1525頁（25+97）×25÷2=1525（頁）5、7，10030÷5=6，所以第30項的數字是7。（2+5+3+3+7）×25÷5=1006、1254個最后一排有座位36+（22-1）×2=78（個），共有座位（36+78）×22÷2=1254（個）7、1210被4除余1的兩位數有13，17，21，…，97共（97-13）÷4+1=22（個），和為（13+97）×22÷2=12108、13人用嘗試法，11個人賽1+2+3+4+…+9+10=55（場）12個人賽55+11=66（場），13個人賽66+12=78（場）9、180下把整點敲的加上半點敲的（1+2+3+…+12）×12+1×24=180（下）10、45次9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）11、120米先求是第幾次丟了15個石子：（15-1）÷2+1=8，從第7次丟石子到第8次，它們之間的距離是1+（8-1）×4=29（米），所以從A到B共有（1+29）×8÷2=120（米）12、1331+（45-1）×3=13313、494550100+101+102+…+999=（100+999）×900÷2=49455014、14950第100個數是1+