三角函數：三角函數的圖像與性質專項訓練考點一考點一已知解析式求三角函數的性質1．（2025·山東日照·一模·多選）已知函數，則下列說法中正確的有（

）A．的圖象關于直線對稱B．的圖象關于點對稱C．在上單調遞增D．若，則的最小值為【答案】BCD【詳解】A選項，時，，因為不是的對稱軸，故A錯誤；B選項，時，，因為是的對稱中心，故B正確；C選項，時，，因為在上單調遞增，故C正確；D選項，因為，由得，所以的最小值即為兩條相鄰對稱軸之間的距離，即為，因為，所以的最小值為.故選：BCD.2．（24-25高一上·廣東深圳·期末·多選）已知函數，則下列結論正確的是（

）A．函數的最小正周期是B．函數在區間上是增函數C．直線是函數圖象的一條對稱軸D．函數的圖象可以由函數的圖象向左平移個單位長度而得到【答案】ACD【詳解】對于A，易知函數的最小正周期是，可得A正確；對于B，當時，，易知在上不單調，所以函數在區間上不單調，即B錯誤；對于C，因為，因此直線是函數圖象的一條對稱軸，即C正確；對于D，將的圖象向左平移個單位長度可得，因此D正確.故選：ACD3．（24-25高三下·河南·階段練習·多選）已知函數，則（

）A．的最小正周期為2B．為圖象的一條對稱軸C．在區間上先單調遞增后單調遞減D．在區間上恰有8個零點【答案】BCD【詳解】對于A，的最小正周期為，A錯誤；對于B，，則為圖象的一條對稱軸，B正確；對于C，當時，，函數在上遞增，在上遞減，因此在區間上先單調遞增后單調遞減，C正確；對于D，由，得，解得，由，解得，而，，因此的整數值有8個，D正確.故選：BCD4．（24-25高三下·廣東廣州·開學考試·多選）對于函數和，下列說法中正確的有（

）A．與有相同的最小正周期B．圖象可由圖象向左平移個單位得到C．與存在相同的零點D．與的圖象存在相同的對稱軸【答案】AB【詳解】對于，的最小正周期為，的最小正周期為，所以與有相同的最小正周期，故正確；對于，圖象向左平移個單位，可得，故正確；對于，令，，則，，所以的零點為，，，故錯誤；對于，的對稱軸方程為，，所以，，所以，故錯誤.故選：.5．（2025·云南曲靖·一?！ざ噙x）已知函數，則（

）A．的最小正周期為 B．在上單調遞增C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱【答案】ABD【詳解】對于A，的最小正周期為，故A正確；對于B，，，由的單調性可知，在上單調遞增，故B正確；對于C，將代入解析式得，所以不是的對稱軸，故C錯誤；對于D，當時，，所以的圖象關于對稱，故D正確.故選：ABD.6．（24-25高三下·山西·開學考試·多選）已知函數，函數，則（

）A．與的對稱中心相同B．與有相同的周期C．與在上有1個交點D．函數在（）的值域為【答案】CD【詳解】對于A，令，得，令，得，的對稱中心為，的對稱中心為，故與的對稱中心不相同，A錯誤；的最小正周期為，不是的周期，故與的周期不相同，B錯誤；畫出與的圖象可得兩函數在有1個交點，C正確；，且，令，即，在內單調遞減，故，D正確．故選：CD．7．（2025·山西·一?！ざ噙x）已知函數，則（

）A．為函數圖象的對稱軸B．為函數圖象的對稱中心C．函數在上單調遞增D．函數在的值域為【答案】BCD【詳解】對于A，當時，函數取不到最值，則不是函數圖象的對稱軸，故A錯誤；對于B，由題意得，即為函數圖象的對稱中心，故B正確；對于C，時，令，由正弦函數性質得在上單調遞增，則函數在上單調遞增，故C正確；對于D，當時，令，由正弦函數性質得在上單調遞增，在上單調遞減，則，即，則值域為，故D正確．故選：BCD

考點考點二先求解析式，進而求三角函數的性質1．（24-25高三上·云南昭通·階段練習·多選）已知函數，則（

）A．是奇函數B．的最小正周期為C．在上單調遞增D．把圖象上點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位長度得到的函數解析式為【答案】AD【詳解】對于A，函數定義域為，有，所以是奇函數，A正確；對于B，，最小正周期為，故B錯誤；對于C，因則，故C錯誤；對于D，由C，圖象上點的橫坐標縮短為原來的倍對應解析式為：，再向左平移個單位長度得到的函數解析式為：可知D正確.故選：AD.2．（24-25高三上·浙江紹興·期末·多選）已知函數的最大值為，則下列說法中，正確的是（

）A． B．函數的最小正周期為C．函數圖象的一個對稱中心為 D．函數在區間上單調遞減【答案】AB【詳解】，，其中，因為的最大值為2，所以，所以，得，因為，所以，所以A正確，所以，對于B，由于，所以的最小正周期為，所以B正確，對于C，令，則，當時，，所以圖象的一個對稱中心為，所以C錯誤，對于D，由，得，則，因為在上遞減，所以在上單調遞增，所以D錯誤.故選：AB3．（2025·四川南充·二模·多選）如圖所示為函數（，）的部分圖象，則下列說法正確的是（

）A．B．在區間上單調遞增C．將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象D．方程在上有三個根【答案】AC【詳解】觀察圖象，得的最小正周期，解得，由，得，而，解得，對于A，，A正確；對于B，當時，，當，即時，取得最大值，因此在區間上不單調，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，當時，，由，得或，因此方程在上有2個根，D錯誤.故選：AC4．（2025·黑龍江大慶·模擬預測·多選）已知函數，其中，且．若函數在區間內無零點，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關于對稱B．在上單調遞增C．直線是的一條切線D．若在區間上的圖象與直線有且只有三個交點，則實數m的取值范圍為【答案】AC【詳解】由且，都有同號可知，,又，由得，由知關于對稱，故A正確．當時，，此時先增后減，故B錯誤．．令得或，其中，時在處得切線為，故C正確．由得．由正弦函數圖象知道，得．故D錯誤．故選：AC．5．（2025·安徽·模擬預測·多選）已知函數，則下列說法正確的是（

）A．函數的最小正周期為B．函數在區間上單調遞增C．函數的圖象的一條對稱軸方程為D．函數的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到【答案】AD【詳解】對于A，，函數的最小正周期，故A正確；對于B，因為，∴，而函數在上不單調，故在區間上不單調，故B錯誤；對于C，由（），得（），不可能取到，故C錯誤；對于D，由的圖象向左平移個單位長度，得，故D正確.故選：AD6．（2025·湖北武漢·二模·多選）函數，則下列關于的說法中正確的是（

）A．最小正周期是 B．最大值是2C．是區間上的減函數 D．圖象關于點中心對稱【答案】AC【詳解】，則的最小正周期是，故選項A正確；由三角函數的性質可知，即的最大值是，故選項B錯誤；時，，因為在上單調遞減，故是區間上的減函數，故選項C正確；令，解得，故的圖象的對稱中心為，，令得，所以的圖象不關于點中心對稱，故選項D錯誤.故選：AC7．（24-25高三下·河北張家口·開學考試·多選）已知函數，則下列說法正確的是（

）A．函數的最小正周期為B．函數在上的值域為C．將函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，則函數的圖象關于y軸對稱D．若方程在上恰好有一個根，則m的取值范圍為【答案】BCD【詳解】函數，對于A，函數的最小正周期為，A錯誤；對于B，當時，，，則，B正確；對于C，，是偶函數，C正確；對于D，當時，，函數在上遞增，函數值從1增大到，在上遞減，函數值從減小到，程在上恰好有一個根，即直線與函數在上的圖象只有一個交點，，即，D正確.故選：BCD8．（2025·貴州畢節·一?！ざ噙x）已知函數，則（

）A．B．的圖象的一個對稱中心為C．的單調遞增區間是，D．當在上的最大值為1時，正實數的最小值為1【答案】AD【詳解】因為，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，令，解得，所以的單調遞增區間是，故C錯誤；對于D，當時，，因為在上的最大值為1，所以，解得，所以正實數的最小值為1，故D正確．故選：AD．9．（24-25高三下·江蘇常州·開學考試·多選）記函數的最小正周期為，若，且在上的最大值與最小值的差為3，則（

）A．B．C．在區間上單調遞減D．直線是曲線的切線【答案】ABD【詳解】由，又，可得，又，則，所以.下面分類討論.（1）若在上單調，則，即，令，則，在上單調，又因為,所以在上單調遞減，所以，所以，此時，，此時，不符合題意.（2）在上不單調，即在上不單調.又，由于余弦函數在長度為一個周期的閉區間上的值域為，即函數在長度為的區間上值域為，其最大值與最小值的差為4，大于在上的最大值與最小值的差3，所以區間長度，所以，所以，.①若，即，則，此時由，所以，所以，且至少有一個式子取等號.解不等式組得，若，舍去；，解得，符合題意.②若，即時，，，所以，所以，，無解.綜上可得，，即.對于A，，故A正確；對于B，，，故B正確；對于C，當，則，且在上先遞減后遞增，故C錯誤；對于D，因為，所以，，可得是在處的切線，故D正確；故選：ABD10．（24-25高三下·江蘇揚州·期末·多選）已知函數，則下列判斷正確的是（

）A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱C．在區間上單調遞增 D．當時，【答案】ABD【詳解】，對于A選項，當時，，故的圖象關于直線對稱，故A正確；對于B選項，當時，，故的圖象關于點對稱，故B正確；對于C選項，時，，因為在上不單調，故在區間上不單調，故C錯誤；對于D選項，時，，故，故D正確.故選：ABD11．（24-25高三上·湖南婁底·期末·多選）已知函數，將的圖象向左平移個單位長度后與函數的圖象重合，則關于函數，下列結論正確的是（

）A．函數的最小正周期為B．函數圖象關于點對稱C．函數圖象關于直線對稱D．函數在區間上單調遞減【答案】ABD【詳解】因為將的圖象向左平移個單位長度得到，對于A，函數的最小正周期，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，令，整理得，所以單調遞減區間為，顯然時，單調遞減區間為，因為，故D正確.故選：ABD.12．（24-25高三上·重慶長壽·期末）已知函數的最小正周期為．(1)求和的對稱中心；(2)求在上的最值并求相應的的值．【答案】(1)，(2)時，取得最小值；時，取得最大值3．【詳解】（1）因為的最小正周期為，所以，則，所以，由得，，所以的對稱中心．（2）由（1）知，因為，所以，所以，所以，當，即時，取得最小值；當，即時，取得最大值3．13．（24-25高三上·上海楊浦·期末）已知的最小正周期為．(1)求的值以及函數的單調減區間；(2)函數的導函數是，求函數的最小值，以及取最小值時自變量的取值．【答案】(1)，(2)最小值為，對應的取值為【詳解】（1）由題意得，，∴.由得，，∴函數的單調減區間為.（2）由（1）得，，∴，∴函數的最小值為，由得，，綜上得，函數的最小值為，對應的取值為.14．（24-25高一上·江蘇·期末）已知函數，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且經過點．(1)求函數的解析式；(2)當，方程有解，求實數的取值范圍；(3)若方程在區間上恰有三個實數根，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設的最小正周期為，由題意得，得周期，所以，得，因為，所以，所以，因為的圖象過點，所以，得，因為，所以，故．（2），即有解，由，得，所以，所以，所以，即．（3），設，則，由“方程在區間上恰有三個實數根”，得“方程在區間上恰有三個實數根”，則的圖象如下：即，由圖得，，，即，綜上．15．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函數.(1)求函數的圖象的對稱中心；(2)求的單調遞增區間；(3)若函數在上有且僅有兩個零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)，(3)【詳解】（1）因為，令，，得，，所以的圖象的對稱中心為，.（2）令，，得，，所以，函數的單調遞增區間為，.（3）當時，，令，，因為函數在上有且僅有兩個零點，則必有函數在上有且僅有兩個零點，即，即，所以，函數與直線有兩個交點，如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，函數與直線有兩個交點，因此，實數的取值范圍是.

考點考點三利用三角函數的性質求參數1．（24-25高三下·廣東廣州·開學考試）已知函數在上僅有一個極值點，且，則的值為（

）A．6 B． C． D．【答案】C【詳解】當時，，因為函數在上僅有一個極值點，可得，所以．由于，故有兩種情況：①的圖象關于直線對稱，可得，解得，又，所以；②的最小正周期滿足，解得，由于，故不存在滿足條件的．綜上，．故選：C．2．（24-25高三下·河南·開學考試）已知函數在區間上單調，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由可知，解得又，故的取值范圍為故選:3．（24-25高三下·青海玉樹·開學考試）若函數在區間內有兩個零點，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設上有兩個零點，所以，可得.故選：B4．（24-25高三上·山西·期末）已知函數在區間內有最大值，但無最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以時，則有，因為在區間內有最大值，但無最小值，結合函數圖象，得，解得.故選：D.5．（24-25高三下·廣東·開學考試）已知函數在區間上單調，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由的定義域為，時，，結合正切函數的單調性可知，解得，由可知，由可知，即，即，而，故只能為0或1，時，結合可知；時，，于是.故選：D6．（24-25高三上·內蒙古·期末）已知函數，若在區間上有極大值無極小值，則的取值范圍是．【答案】【詳解】，因為，則，又，由題意得解得．故答案為：.7．（24-25高三上·江西·期末）函數在上的值域是，則的取值范圍是【答案】【詳解】當時，，當時，，則，所以α的取值范圍是故答案為：8．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）設函數在區間恰有三個極值點，兩個零點，則的取值范圍是.【答案】【詳解】因為，，函數在區間恰有三個極值點，兩個零點，所以，解得.故答案為：9．（24-25高三上·河南周口·期末）若函數的圖象經過點，且在區間上單調，則的取值范圍為.【答案】【詳解】由題可知，且，解得，又的圖象在上單調，且，可得，解得，故的取值范圍為.故答案為：10．（24-25高二上·貴州畢節·期末）已知函數．若方程在區間內無解，則的取值范圍是．【答案】【詳解】因為，，令，解得，所以的零點分別為，，，，，，因為方程在區間內無解，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：

考點考點四定義法求三角函數性質1．（2025·福建福州·模擬預測·多選）已知函數，則下列說法中正確的是（

）A．為奇函數 B．的一個周期是C．的一條對稱軸為 D．的值域是【答案】BD【詳解】對于A，函數的定義域關于數0對稱，，且不恒為0，則為偶函數，不為奇函數，A錯誤；對于B，，的一個周期是，B正確；對于C，，的圖象關于不對稱，C錯誤；對于D，當時，，其中銳角由確定，而，則，因此，由選項A知，當時，，由選項B知，在定義域上，于是的值域是，D正確.故選：BD2．（24-25高三下·甘肅白銀·階段練習·多選）已知函數，則（

）A．是非奇非偶函數B．直線不是圖象的對稱軸C．在區間上恰有8100個零點D．當時，方程在區間內最多有13個不等實根【答案】BCD【詳解】對于A，由，所以是偶函數，錯誤；對于B，，當時，，當時，，故不恒成立，即的圖象不關于直線對稱，正確；對于C，當時，，故當時，是周期函數，其中一個周期為，只需考察在上的情況，當時，，當時，，畫出在區間上的圖象，如下圖所示．由圖可知，在上恰有2個零點，由周期性知在上有4050個零點，由為偶函數得，在上也有4050個零點，故在區間上有8100個零點，正確；對于D，作出函數在上的圖象如下，令，，則方程可化為，當時，，不成立，當時，，等價于在時，直線與函數圖象的交點，而的圖象如下：由圖可知，當，即時，，由可知在上有13個不等實根；當，即時，，由知在上有12個不等實根；當，即時，，由可知在上有6個不等實根；當，即時，無實根．綜上，當時，方程在區間內最多有13個不等實根，正確．故選：BCD3．（2025·陜西安康·二?！ざ噙x）已知函數，則下列說法正確的是（

）A．此函數的周期為 B．此函數圖象關于直線對稱C．此函數在區間上有6個零點 D．此函數在區間上單調遞減【答案】BD【詳解】對于A，，函數周期不為，A錯誤；對于B，，圖象關于直線對稱，B正確；對于C，，由，得或，又，則，函數在區間上有7個零點，C錯誤；對于D，，當時，，，，因此，函數在區間上單調遞減，D正確.故選：BD4．（2025·廣東深圳·一?！ざ噙x）已知函數，則（

）A．為周期函數B．存在，使得的圖象關于對稱C．在區間上單調遞減D．的最大值為【答案】AC【詳解】由于，故，所以為的周期，A正確；函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以為奇函數，假設圖象關于對稱，則函數為偶函數，所以，故，所以，又，所以為函數的對稱軸，所以，但，，所以，