切線、公切線問題分類專項訓練解析版一、目錄二、分類專項訓練（1）求在某點處的切線1．函數在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，求在處的切線，則為切點，斜率，所以，即.故選：A.2．曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，所以，所以曲線在點處的切線斜率為，由點斜式可得，化簡可得.即曲線在處的切線方程為.故選：D.3．已知，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題可得，則，故切點為，切線在該點處的斜率為，故曲線在點處的切線方程為，即.故選：A.4．已知函數，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，所以，得，所以，，，，故所求切線方程為，即.故選：A.5．若函數的導函數是偶函數，則在點處的切線方程為.【答案】【詳解】函數，則為偶函數，則，所以，，于是，，所以在點處的切線為：，即.故答案為：.6．已知函數，則曲線在點處的切線方程為．【答案】【詳解】已知函數，則，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即得.故答案為：（2）求過某點的切線1．過點作曲線的切線，切點為，則點的橫坐標不可能是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】設切點為，而切線也過點，由斜率公式得，因為，所以，由導數的幾何意義得，故成立，化簡得，得到，即，顯然是方程的根，則方程可化為，解得或，而原方程最多有三個根，則不可能是原方程的根，即點的橫坐標不可能是.故選：B2．過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設，由，得，曲線在點處的切線方程為，把代入切線方程，得，化簡得，同理可得曲線在點處的切線方程為，都滿足直線，直線的方程為.故選：A3．已知曲線經過點，則過點的曲線C的切線方程是【答案】【詳解】因為曲線經過點，所以，解得，則曲線方程為，，設切點為，切線斜率為，由導數的幾何意義得，則切線方程為，又切線經過點，則，解得，則切線方程為，即.故答案為：.4．已知(1)當時，過原點作函數的切線l，求切線l的方程；(2)討論函數的導函數的單調性.【答案】(1)；(2)答案見解析【詳解】（1）當時，，，設切點為，切線方程為，因為切線過原點，所以，即，解得；所以，因此；即切線方程為；（2）易知，令，則，①當時，，則在R上遞減；②當時，令，可得；同理的解是，所以在區間上單調遞增，在上單調遞減；③當時令，即；同理的解是，所以在區間上單調遞減，在上單調遞增．綜上，當時，在R上遞減；當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減；當時，在區間上單調遞減，在上單調遞增．5．已知函數，其中.(1)若的圖象在處的切線經過點，求a的值；(2)討論的單調性.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1），因為，，所以的圖象在處的切線方程為，將代入得，解得；（2），當時，，令，得；令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.當時，，所以在上單調遞增.當時，令，得或；令，得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減.當時，令，得或；令，得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.6．已知函數.(1)當時，求曲線過點的切線方程;(2)當時，，求a的取值范圍.【答案】(1)或；(2)【詳解】（1）當時，函數，求導得，而，當為切點時，，切線方程為；當不為切點時，設切點為，，則，整理得，令，求導得，當時，，當時，，函數在上遞減，在上遞增，，即，因此，，切點為，切線方程為，所以曲線過點的切線方程為，或.（2）函數，求導得，且，當時，，則當時，恒成立，函數在R上單調遞增，，因此；當時，令，求導得，由，得，若，則，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞減，當時，，不符合題意；若，恒成立，函數在上單調遞增，恒成立，因此，所以實數a的取值范圍是7．已知函數.(1)當時，求經過點且與曲線相切的切線方程；(2)若存在實數，使得，則稱為函數的不動點.已知函數有3個不動點，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【詳解】（1）當時，，則，設切點為，，所以切線斜率，解得，即，所以切線方程為，即為所求切線方程.（2）由題意得，方程有個不同實數根，令，則函數有3個零點，，當時，，在R上單調遞增，所以只有1個零點，不符合題意：當時，令，得，則，隨著的變化情況如下表，單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增由函數有3個零點，根據上表可得，解得，綜上可得，的取值范圍.（3）已知切線求參數1．已知函數的圖象在處的切線過原點，則所在的區間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以.因為的圖象在處的切線過原點，則，即，即.設，因為在上均單調遞增，且函數值為正，所以在上單調遞增，且，，所以.故選：.2．若曲線只有一條過原點的切線，則的值為．【答案】或【詳解】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,∴切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵曲線只有一條過坐標原點的切線切，∴,解得或,∴或,故答案為：或3．已知函數(1)若的圖象在點處的切線方程為，求a與b的值；(2)若在處有極值，求a與b的值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由函數解析式求導，利用導數求得切線斜率，由函數解析式求得切點，根據切線方程，建立方程組，可得答案；（2）由函數解析式求導，根據極值與導數的關系，結合函數解析式，建立方程組，可得答案.【詳解】（1）因為，所以，所以，，因為切線方程為，所以，解得，所以.（2）函數在處有極值且或恒成立，此時函數無極值點，此時1是極值點，滿足題意，所以.4．已知函數在處的切線方程為.(1)求實數的值；(2)已知，函數，若，求證：.【答案】(1)1(2)證明見解析【詳解】（1）當時，，顯然不是的切線，不合題意；當時，由題意，即，解得.（2），則，因為，則得；得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，由，當且僅當，即，所以，設，則得；得，在上單調遞增，在上單調遞減，，所以，所以.5．已知函數.(1)若，證明：；(2)若存在過點的直線與曲線相切，求實數a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）當時，，，則，，令，.則，所以函數在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以函數在上單調遞減；當時，，即，所以函數在上單調遞增，所以當時，，所以.（2）設過點的直線與曲線相切于點，，則，則切線方程為，又該切線經過點，所以，即，整理得，即，即，即，顯然當時，不合題意；則，令，，則，當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減；所以函數在時取得最大值，且當時，，當時，，所以，即，解得或，所以實數的取值范圍為.（4）切線的條數問題1．已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【詳解】設切點為，由已知得，則切線斜率，所以切線方程為，因為直線過點，則，化簡得，又因為切線有且僅有1條，即，解得或2，故選：A2．若過點可以作曲線的三條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，設切點為，則，整理得，由題意知關于的方程有三個不同的解.設，，由得或，又，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，且，.又易知在上單調遞減，在上單調遞增，開口向上，所以當趨向于負無窮或正無窮時，都趨向于正無窮.而當趨向于負無窮時，趨向于正無窮，故也就趨向于正無窮；當趨向于正無窮時，趨向于正無窮且增長速率遠遠超過，故且趨向于零，又，，函數的大致圖象如圖所示.

因為的圖象與直線有三個交點，所以，即.故選：D.3．若過點可以作的三條切線，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，設切點坐標為，由，求導得，則函數的圖象在點處的切線方程為.由切線過點，得.令，依題意，直線與函數的圖象有3個公共點.，當或時，，函數在上單調遞減；當時，，則函數在上單調遞增；當時，函數取得極小值，當時，函數取得極大值，且當時，恒有.又，，如圖，作出函數的大致圖象，由形可知，當時，直線與函數的圖象有3個公共點，所以實數的取值范圍是.故選：B.4．（多選）已知函數.若曲線存在兩條過點的切線，則實數的可能取值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】BCD【詳解】當時，，，，當時，，，，由題意得，過點的兩條切線與曲線的切點橫坐標分別在區間和內，當切點橫坐標在區間內時，設切點為，則切線斜率，∴切線方程為，∵切線過點，∴，∴，∵，∴，故.當切點橫坐標在區間內時，設切點為，則切線斜率，∴切線方程為，∵切線過點，∴，∴，∵，∴，故，綜上得，.∵，∴符合題意的選項為B、C、D.故選：BCD.5．若過點可以作曲線的兩條切線，則實數的取值范圍是．【答案】【詳解】設切點為，由題得：，故切線的斜率為，切線方程為：，因切線經過點，則，故有兩個不同的實數根.不妨設，則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.故，則，即，所以實數的取值范圍為.故答案為：.6．從點可向曲線引三條不同切線，則的取值范圍為．【答案】【詳解】切點設為，其中有三個不同的解即有三個不同的解設，該函數有三個不同零點,，令，則或，令，則或，令，則，所以：函數在區間單調遞減，在區間上單調遞增，所以函數在和處取得極值，要想函數有三個不同零點，則，即所以：故答案為：7．曲線過坐標原點的兩條切線的方程為．【答案】，【詳解】先求當時，曲線過原點的切線方程，設切點坐標為，則由，得切線斜率為，又切線的斜率為，所以，解得，代入，得，所以切線斜率為，切線方程為．因為為偶函數，所以時切線與的切線關于軸對稱，可求得當時的切線方程為．綜上可知，兩條切線方程為．故答案為：．8．已知函數，點在第四象限內，過作圖象的切線，有且只有兩條，則的取值范圍為.【答案】【詳解】設切點為，，由題意可知，，，則切線方程為，因為切線過點，則，即方程有兩個解.令，或，由可得，所以，函數的增區間為、，減區間為，因為方程有兩個解，所以，或，當時，則有，即，合乎題意；當時，則，可得，由可得，所以，，則，綜上，，即的取值范圍是.故答案為：.9．若曲線與曲線有三條公切線，則的取值范圍是.【答案】【詳解】設公切線為是與的切點，由，得，設是與的切點，由，得，所以的方程為，因為，整理得，同理，因為，整理得，依題意兩條直線重合，可得，消去，得，由題意此方程有三個不等實根，設，即直線與曲線有三個不同的交點，因為，令，則，當或時，；當時，，所以有極小值為，有極大值為，因為，，，所以，當趨近于時，趨近于0；當趨近于時，趨近于，故的圖象簡單表示為下圖:所以當，即時，直線與曲線有三個交點，故答案為：（5）公切線問題1．若直線同時是曲線和曲線的切線，則斜率的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【詳解】設直線與曲線、曲線相切的切點分別為，求導得，，則，且，由，兩邊取對數整理得：，代入，可得，令，求導得，則當時，，當，，故函數在上單調遞減，在上單調遞增，，所以斜率的最小值為.故選：C2．（多選）若兩曲線與存在公切線，則正實數的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】解：設由兩曲線與分別求導得，所以，故在處切線為：，整理得：，在處切線為，整理得：，所以，解得，構造函數，，令，解得：，故在遞增，在遞減，故，∵正實數，∴的取值范圍是，故選：ABC3．若直線是曲線與曲線的公切線，則．【答案】【詳解】直線與曲線聯立，得，因為直線是曲線的切線，所以，解得，設與曲線相切于，由得曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為，即，因為直線是曲線與曲線的公切線，所以，解得，即.故答案為：.4．設函數，若曲線在點處的切線與拋物線也相切，則的值為．【答案】【詳解】由題意得，則，，所以曲線在點處的切線方程為，即，與拋物線方程聯立得，由，得，即，令，則，其中，當時，，遞增，當時，，遞減，則，且，則.故答案為：.5．若圓與曲線的公切線經過，求．【答案】【詳解】由題知，公切線斜率存在，設公切線方程為，則到公切線的距離等于半徑，即，解得，所以公切線方程為，對于，設切點為，所以，則可得，解得.故答案為：6．若函數與函數的圖象在公共點處有相同的切線.(1)當時，求函數與在公共點處的切線方程；(2)求的最小值：【答案】(1)(2)1【詳解】（1）當時，，設為與的一個公共點，因，則得，故切點為且，所以與在公共點處的切線方程為（2）設為與的一個公共點，因，則由②得，即，將其代入①中得，，即，令，則，則當時，在區間單調遞增；當時，在單調遞減，故，又因，故，當且僅當時取“”，故的最小值為.（6）切線垂直、平行問題1．曲線在，兩點處的切線互相垂直，則的值為（）A． B．0 C．1 D．【答案】A【詳解】由，不妨設，兩切線的斜率分別為，當時，則有，此時，顯然，因此不成立，不符合題意；當時，則有，此時，顯然，因此不成立，不符合題意；當，則有，此時，變形得．故選：A2．若函數（e為自然對數的底）的一條切線與x軸平行，則切點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設切點坐標為，函數，所以，因為切線與x軸平行，所以，解得，，故切點坐標為故選：B3．已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】由題意得，函數的定義域為，且，∴，∵曲線在點處的切線與直線垂直，∴，即，故.故選：D.4．（多選）已知函數，過點作平行于軸的直線交曲線于點，曲線在點處的切線交軸于點.則（

）A．當時，切線的方程為 B．當時，的面積為C．點的坐標為 D．面積的最小值為【答案】BCD【詳解】由已知得，，過點的切線方程為，當時，，則，故正確；當時，，則，以為切點的切線方程為，即，故錯誤；此時，的面積，故正確；因為，，，所以，，所以，令，所以，令，即，解得，當時，，所以函數在內單調遞減，當時，，所以函數在內單調遞增，所以當時，函數有最小值，最小值為，故正確.故選：.5．已知函數在處的切線與直線垂直.(1)求a的值；(2)求的單調區間和極值.【答案】(1)1；(2)答案見解析.【詳解】（1）由題意知，所以，又函數在點處的切線與直線垂