第二章：導數及其應用題型一平均變化率、瞬時變化率1．物體運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），若，則下列說法中正確的是（

）A．18m/s是物體從開始到3s這段時間內的平均速度B．18m/s是物體從3s到這段時間內的速度C．18m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度D．18m/s是物體從3s到這段時間內的平均速度【答案】C【分析】由瞬時變化率的物理意義判斷．【詳解】是物體在這一時刻的瞬時速度，是物體從到這段時間內的平均速度的極限值，即是是物體在這一時刻的瞬時速度.故選：C2．函數在區間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平均變化率的定義即可求得.【詳解】由平均變化率定義得，故選：C3．函數從到的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平均變化率的定義直接進行計算即可求解.【詳解】由題得所求平均變化率為.故選：C.4．（多選）一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離（單位：）與時間（單位：）之間的函數關系為，則下列說法正確的是（）A．前內球滾下的垂直距離的增量 B．在時間內球滾下的垂直距離的增量C．前內球在垂直方向上的平均速度為 D．在時間內球在垂直方向上的平均速度為【答案】BC【分析】利用函數關系式計算可判定A、B，由平均速度、瞬時速度的求法可判定C、D選項.【詳解】前內，，，故A錯誤；此時球在垂直方向上的平均速度為，故C正確；在時間內，，，故B正確，此時間內球在垂直方向上的平均速度為，故D錯誤.故選：BC．題型二導數的概念及其意義1．（多選）已知函數.則（

）A．是的對稱軸 B．的最小正周期為C．在區間上單調遞減 D．在點處的切線方程為【答案】BD【分析】化簡可得，再根據余弦函數的性質逐項分析判斷ABC即可；由導數的意義可得D正確.【詳解】，對于A，由于，則不是的對稱軸，故A錯誤；對于B，函數的最小正周期為，故B正確；對于C，當時，，由余弦函數的性質可知，在區間上單調遞增，故C錯誤；對于D，，，則在點處的切線方程為，故D正確．故選：BD2．曲線過坐標原點的兩條切線的方程為．【答案】，【分析】分兩種情況，分別設切點再結合切線斜率相等得出切點，最后應用點斜式即可得出切線方程，最后結合對稱性得出時切線.【詳解】先求當時，曲線過原點的切線方程，設切點坐標為，則由，得切線斜率為，又切線的斜率為，所以，解得，代入，得，所以切線斜率為，切線方程為．因為為偶函數，所以時切線與的切線關于軸對稱，可求得當時的切線方程為．綜上可知，兩條切線方程為．故答案為：．3．已知為正實數，直線與曲線相切，則的最小值為.【答案】9【分析】先設切點坐標，再根據切點在直線和曲線上列式求參，最后應用基本不等式計算求解.【詳解】設切點為，又因為曲線，則，直線斜率為1，所以，又因為，所以，所以，因為為正實數，所以，當且僅當，即時，則取最小值為9.故答案為：9.4．曲線上的點到直線的最短距離是．【答案】【分析】求出和平行的直線和相切，求函數的導數，利用導數的幾何意義求出切點坐標即可得到結論.【詳解】與平行的直線和相切，則斜率為，因為，所以，令，解方程得，代入直線方程得切點，則點到直線的距離就是曲線的點到直線的最短距離，由點到直線的距離公式知，故答案為：.題型三導數的計算1．設函數在處的導數存在，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據導數的定義求得正確答案.【詳解】.故選：D2．（多選）下列求導數運算正確的有（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據常見基本初等函數的求導法則得到答案.【詳解】A選項，，故A正確；B選項，，故B正確；C選項，，故C錯誤；D選項，，故D錯誤．故選：AB3．求下列函數的導數：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由導數的四則運算求解即可；（2）由導數的四則運算求解即可；（3）法一，法二：由導數的四則運算求解即可；【詳解】（1），（2）（3）方法一：，；方法二：；4．求下列函數的導數：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由復合函數的求導法則求解即可；（2）由復合函數的求導法則求解即可；（3）由復合函數的求導法則求解即可；【詳解】（1）函數可以看作函數和的復合函數，由復合函數的求導法則可得：.所以；（2）函數可以看作函數和的復合函數，由復合函數的求導法則可得：.所以（3）函數可以看作函數和的復合函數，，所以.題型四導數求單調性1．已知函數的圖象如圖所示，不等式的解集是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根據的正負分情況討論，再結合函數圖象判斷的正負，進而求解不等式.【詳解】1.當時，此時不等式等價于.從函數圖象可知，當，函數單調遞增時.觀察圖象，在上單調遞增，即此時當時，滿足題意.2.當時，此時不等式等價于.由函數單調性與導數的關系，當，函數單調遞減時.觀察圖象，在上單調遞減，即此時當時，，滿足題意.綜上，不等式的解集是，故選：B.2．函數的單調遞減區間為．【答案】/【分析】先求出導函數，再根據，計算求解即可.【詳解】因為函數，定義域為，所以，令，所以，的單調遞減區間為.故答案為：或.3．設函數.(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若為增函數，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由導數的幾何意義即可求解；（2）法一：參變分離得到在上恒成立，構造函數求最值即可；法二：構造函數，通過分類討論求最值即可求解；【詳解】（1）當時，，所以，，，∴曲線在處的切線方程為，整理得，，∴曲線在處的切線方程為.（2），，是增函數，即在上恒成立，方法一：即在上恒成立，所以，設，，則，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴當時，取得極大值，也是最大值，∵，∴的取值范圍是.方法二：即在上恒成立，所以，設，，則，，①若，則，在上單調遞增，當趨近于0時，趨近于，即不恒成立，所以在上不單調遞增，與題意不符，舍去.②若，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則當時，取得極小值，也是最小值，∴，解得，∴的取值范圍是.4．已知函數.(1)為的導函數，則當時，求的值；(2)證明：有且僅有一條圖象的切線過坐標原點；(3)討論函數的單調性.【答案】(1)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）求導函數即可；（2）先設切點，求曲線在切點處的切線方程，再將點代入得出關于的方程，求證該方程僅有一解即可；（3）求導，分類討論的正負性.【詳解】（1）當時，，故，故.（2）證明：函數的定義域為，而，設為切點，則切線的斜率，切線方程為，若切線過點，則，化簡得，方程只有一解為，所以有且僅有一條圖象的切線過坐標原點.（3）當時，則，函數在上單調遞增；當時，令，解得，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，綜上，當，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.題型五導數求極值、最值1．在等比數列中，是函數的極值點，則（

）A． B．4 C．3 D．【答案】D【分析】首先通過函數求導得出極值點所滿足的方程，利用韋達定理得到與的乘積和和，再根據等比數列的性質求出的值，結合的正負確定的值.【詳解】已知，對求導可得.因為，是函數的極值點，所以，是方程的兩個根.所以，.所以，則.由，且，可知與同號，又因為，所以，.在等比數列中，奇數項的符號相同，所以，因此.故選：D.2．（多選）定義在區間上的函數的導函數圖象如圖所示，下列結論正確的是（

）A．函數在區間單調遞減B．函數在區間單調遞減C．函數在處取得極大值D．函數在處取得極小值【答案】BD【分析】由導函數與原函數圖象間關系可判斷各選項正誤.【詳解】對于A，由圖，當時，，則在區間單調遞增，故A錯誤；對于B，由圖，當時，，則在區間單調遞減，故B正確；對于C，由圖，，則在處不取極值，故C錯誤；對于D，由圖，當時，；時，.則在區間上單調遞減，在上單調遞增，則在處取得極小值，故D正確.故選：BD3．設函數，曲線在處的切線方程為.(1)求實數，的值；(2)求的極值.【答案】(1)，(2)沒有極小值，沒有極大值【分析】（1）利用導數的幾何意義建立方程求解即可；（2）先根據導數符號與函數單調性之間的關系，求出函數的單調性，進而求的極值.【詳解】（1），，，曲線在處的切線方程為，整理得.曲線在處的切線方程為.，解得，.（2）由（1）得，定義域為，.，，在上單調遞減，沒有極小值，沒有極大值.4．已知函數的圖象與軸相交于點，的圖象在點處的切線方程為．(1)求，的值；(2)求函數的單調區間和極值．【答案】(1)，；(2)單調遞增區間為和，單調遞減區間為；極大值，極小值；【分析】（1）對函數求導，根據導數的幾何意義確定點坐標求出，代入函數解析式確定值；（2）對函數求導，根據導數的正負，確定函數的單調區間，進而確定函數的極值點求得極值.【詳解】（1）由已知可得，因為直線的斜率為，所以，所以．令中得，故，又，所以，所以．（2）函數的定義域為．由（1）知，，令，解得或，由得函數的單調遞增區間為和；由得函數的單調遞減區間為所以當時，函數取得極大值；當時，函數取得極小值.題型六導數的實際應用1．在等比數列中，是函數的極值點，則（

）A． B．4 C．3 D．【答案】D【分析】首先通過函數求導得出極值點所滿足的方程，利用韋達定理得到與的乘積和和，再根據等比數列的性質求出的值，結合的正負確定的值.【詳解】已知，對求導可得.因為，是函數的極值點，所以，是方程的兩個根.所以，.所以，則.由，且，可知與同號，又因為，所以，.在等比數列中，奇數項的符號相同，所以，因此.故選：D.2．（多選）定義在區間上的函數的導函數圖象如圖所示，下列結論正確的是（

）A．函數在區間單調遞減B．函數在區間單調遞減C．函數在處取得極大值D．函數在處取得極小值【答案】BD【分析】由導函數與原函數圖象間關系可判斷各選項正誤.【詳解】對于A，由圖，當時，，則在區間單調遞增，故A錯誤；對于B，由圖，當時，，則在區間單調遞減，故B正確；對于C，由圖，，則在處不取極值，故C錯誤；對于D，由圖，當時，；時，.則在區間上單調遞減，在上單調遞增，則在處取得極小值，故D正確.故選：BD3．設函數，曲線在處的切線方程為.(1)求實數，的值；(2)求的極值.【答案】(1)，(2)沒有極小值，沒有極大值【分析】（1）利用導數的幾何意義建立方程求解即可；（2）先根據導數符號與函數單調性之間的關系，求出函數的單調性，進而求的極值.【詳解】（1），，，曲線在處的切線方程為，整理得.曲線在處的切線方程為.，解得，.（2）由（1）得，定義域為，.，，在上單調遞減，沒有極小值，沒有極大值.4．已知函數的圖象與軸相交于點，的圖象在點處的切線方程為．(1)求，的值；(2)求函數的單調區間和極值．【答案】(1)，；(2)單調遞增區間為和，單調遞減區間為；極大值，極小值；【分析】（1）對函數求導，根據導數的幾何意義確定點坐標求出，代入函數解析式確定值；（2）對函數求導，根據導數的正負，確定函數的單調區間，進而確定函數的極值點求得極值.【詳解】（1）由已知可得，因為直線的斜率為，所以，所以．令中得，故，又，所以，所以．（2）函數的定義域為．由（1）知，，令，解得或，由得函數的單調遞增區間為和；由得函數的單調遞減區間為所以當時，函數取得極大值；當時，函數取得極小值.題型七導數求切線問題1．若直線是曲線的一條切線，則k的值為（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設出切點坐標，利用導數的幾何意義求得切線方程，解方程可得，可得結果.【詳解】設切點坐標為，易知，因此，所以切線方程為，即，可得，即，可得，所以.故選：D2．已知函數在上可導，其部分圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據導數的幾何意義及直線的斜率公式結合圖形可得結果.【詳解】根據導數的幾何意義，如圖，分別表示在點處切線的斜率,又，由圖可知，故選：B.3．若曲線在點處的切線方程是，則．【答案】【分析】利用導數的幾何意義求解即可.【詳解】函數的定義域為，由在點處的切線方程是得切線斜率為2，，由曲線，得，故，解得，又因為，故，所以，故答案為：4．已知點在曲線上，且曲線在點處的切線與曲線相切，則點的坐標為．【答案】或【分析】先根據題干中的題意求出曲線在點處的切線，又切線與曲線相切，聯立切線和曲線方程利用即可得到結果.【詳解】設，則，易得曲線在點處的切線的斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即．又因為該直線與曲線相切，所以該直線與曲線只有一個公共點．由得，則，解得，則，所以點的坐標為或．故答案為：或題型八構造函數1．已知是定義在上的偶函數，當時，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】是定義在上的偶函數，說明奇函數，若時，，可得為增函數，若，為增函數，根據，求出不等式的解集；【詳解】解：∵是定義在上的偶函數，當時，，∴為增函數，為偶函數，為奇函數，∴在-∞,0上為增函數，∵，若，，所以；若，，在-∞,0上為增函數，可得，綜上得，不等式的解集是.故選：C.2．已知為偶函數，且，令，若時，，關于的不等式的解集為（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【分析】先對函數求導，根據題中條件，判定時，函數單調遞增，根據函數奇偶性，得到在上單調遞減；結合函數奇偶性與單調性，即可求出不等式的解集.【詳解】因為，則，當時，，所以，即函數在上單調遞增；又為偶函數，所以在上單調遞減；因為，所以，則不等式可化為，則，即，解得或.故選：A.【點睛】本題主要考查由導數的方法判定函數單調性，考查由函數奇偶性與單調性解不等式，屬于常考題型.3．已知函數f（x）的定義域為R，其導函數為f'（x），對任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，則不等式ef（x）＞ex的解集為（

）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]【答案】A【分析】首先根據ef（x）＞ex，構造函數，對其求導判斷單調性即可。【詳解】由題意得：令因為f'（x）＞f（x），所以，即在R上為增函數，因為ef（x）＞ex即,所以故選:A【點睛】本題主要考查了利用構造函數判斷函數單調性的問題，解決此類問題的關鍵是構造出新的函數，屬于中等題。4．已知函數的定義域為，其導函數是．若恒成立，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數，判斷函數為單調遞增函數，根據函數的單調性解不等式即可.【詳解】令，則，所以函數在定義域內為單調遞增，因為，所以關于的不等式可轉化為，即，因為，所以，即不等式的解集為.故選：A題型九零點問題1．（多選）（2024·內蒙古呼和浩特·模擬預測）設函數，則（

）A．有三個零點B．是的極大值點C．曲線為軸對稱圖形D．為曲線的對稱中心【答案】BD【分析】利用導數判斷出的單調性，求出極值可得的大致圖象可判斷ABC；求出可判斷D.【詳解】對于A，令，解得或，當時，，單調遞增，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以在處有極大值，為，在處有極小值，為，又，的大致圖象如下

所以有兩個零點，故A錯誤；對于B，由A選項可知是的極大值點，故B正確；對于C，由A選項可知，當時，，當時，，所以曲線不是軸對稱圖形，故C錯誤；對于D，，所以為曲線的對稱中心，故D正確.故選：BD.2．（2025·廣東·一模）函數與函數有兩個不同的交點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用參變分離將函數圖象有兩個交點問題轉化為和的圖象有兩個交點，由導數求得hx的單調性并求得最大值即可得出結論.【詳解】由得，則問題轉化為和的圖象有兩個交點，而，令h'x>0，解得，令h'故hx在上單調遞增，在單調遞減，則，hx

結合圖象可知，的取值范圍是故選：D3．（2024·江西撫州·三模）函數的導函數為，函數的導函數是，已知函數.(1)若，求的值和函數的單調區間；(2)若，討論的零點個數.【答案】(1)，單調遞減區間為，單調遞增區間為和.(2)當時，有三個零點；當時，有兩個零點；當時，有一個零點.【分析】（1）先得，，根據得，進而利用導函數求單調區間；（2）先由得，進而得函數的極小值為，極大值為，進而根據極小值與零比較可判斷零點個數.【詳解】（1）由題可知，，，，解得.所以，.令，得或；令，得，所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和.（2）由（1）可知，，，，所以.令，解得或；令，解得.所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為和，所以的極小值為，的極大值為.當時，，當時，，故當，即時，有三個零點；當，即時，有兩個零點；當，即時，有一個零點.4.（2018·全國·高考真題）已知函數．（1）設是的極值點．求，并求的單調區間；（2）證明：當時，．【詳解】（1）的定義域為，，則，解得：，故．易知在區間內單調遞增，且，由解得：；由解得：，所以的增區間為，減區間為．（2）［方法一］：【最優解】放縮法當時，.設，則.當時，；當時，.所以是的最小值點.故當時，.因此，當時，.［方法二］：【通性通法】隱零點討論因為，所以在區間內單調遞增．設，當時，，當時，，所以在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，且，所以．設，則．所以在區間內單調遞減，故，即成立．［方法三］：分離參數求最值要證時，即，則證成立．令，則．令，則，由知在區間內單調遞減，從而在內單調遞增，在區間內單調遞減．所以，而，所以恒成立，原命題得證．［方法四］：隱零點討論＋基本不等式，結合與的圖像，可知有唯一實數解，不妨設，則．易知在區間內是減函數，在區間內是增函數．所以．由，得．．當且僅當，即時，，所以．題型十極值點偏移問題1．（2024·廣東湛江·一模）已知函數．(1)討論的單調性；(2)若方程有兩個根，，求實數a的取值范圍，并證明：．【答案】(1)在上單調遞增，上單調遞減，(2)見解析【分析】（1）求出f'（2）由，得，設，畫出的圖象可得；由，設，對hx求導可得，又，再由在1,+∞上單調遞減，可得，即可證明.【詳解】（1）由題意可得，所以，的定義域為0,+∞，又，由，得，當時，f'x>0，則在0,1當時，f'x<0，則在1,+（2）由，得，設，，由，得，當時，，則在0,1上單調遞增，當時，，則在1,+∞上單調遞減，又，，且當趨近于正無窮，趨近于，的圖象如下圖，所以當時，方程有兩個根，證明：不妨設，則，，設，，所以hx在0,+∞又h1=0，所以，即，又，所以，又，，在1,+∞上單調遞減，所以，故.【點睛】關鍵點點睛：（1）解此問的關鍵在于求出的導數，并能根據導數的符號結合相關知識判斷出單調性；（2）解此問的關鍵在于把轉化為來證，又，構造，對hx求導，得到hx的單調性和最值可證得，即可證明.2．（2024·云南·二模）已知常數，函數.(1)若，求的取值范圍;(2)若、是的零點，且，證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數的定義域與導函數，即可得到函數的單調性，求出函數的最小值，依題意，即可求出的取值范圍；（2）由（1）不妨設，設，利用導數說明函數的單調性，即可得到，結合及的單調性，即可證明.【詳解】（1）由已知得的定義域為，且，當時，，即在上單調遞減；當時，，即在上單調遞增.所以在處取得極小值即最小值，，，，即的取值范圍為.（2）由（1）知，的定義域為，在上單調遞減，在上單調遞增，且是的極小值點.、是的零點，且，、分別在、上，不妨設，設，則當時，，即在上單調遞減.，，即，，，，，又，在上單調遞增，，即.【點睛】方法點睛：（1）給定函數比較大小的問題，需判斷函數單調性，根據單調性以及需要比較的數值構造函數，利用函數的單調性可比較大小；（2）極值點偏移法證明不等式，先求函數的導數，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據范圍以及函數值相等構造新的函數，研究新函數的單調性及最值，判斷新函數小于或大于零恒成立，即可證明不等式.題型四：極值點偏移-比（差）值換元1．（2024·云南昆明·二模）設，為函數（）的兩個零點．(1)求實數的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出定義域，求導，得到的單調性和極值情況，根據函數零點個數，得到，求出，結合題目條件，得到當時，，根據零點存在性定理得到在內存在唯一零點，同理得到在內存在唯一零點，從而求出答案；（2）設，由可得，令，故，，推出要證，即證，構造，，求導，對分子再構造函數，證明出，在定義域內單調遞減，故，即，證明出結論.【詳解】（1）的定義域為R，，當時，f'x<0，當時，f故在內單調遞減，在單調遞增，故要使有兩個零點，則需，故，由題目條件，可得，當時，因為，又，故在內存在唯一零點，又，故在內存在唯一零點，則在R上存在兩個零點，故滿足題意的實數的取值范圍為；（2）證明：由（1）可設，由可得，令，則，所以，故，所以，要證，即證，即證，因為，即證，即，令，，，令，則，當時，，當時，，故在0,1內單調遞減，在1,+∞單調遞增，所以，所以，令得，故，在定義域內單調遞減，故，即，，，則，證畢．【點睛】導函數處理零點個數問題，由于涉及多類問題特征（包括單調性，特殊位置的函數值符號，隱零點的探索、參數的分類討論等），需要學生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負和函數的單調性判斷函數的走勢，從而判斷零點個數，較為復雜和綜合的函數零點個數問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，都是需要思考的地方2．（2024·河南·二模）已知函數．(1)若，討論的單調性．(2)已知關于的方程恰有個不同的正實數根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)在，上單調遞增，在上單調遞減(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求導后，根據的正負可確定的單調性；（2）（i）將問題轉化為與有兩個不同交點的問題，利用導數可求得的單調性和最值，從而得到的圖象，采用數形結合的方式可確定的范圍；（ii）設，根據：，，采用取對數、兩式作差整理的方式可得，通過分析法可知只需證即可，令，構造函數，利用導數可求得單調性，從而得到，由此可證得結論.【詳解】（1）當時，，則；令，解得：或，當時，；當時，；在，上單調遞增，在上單調遞減.（2）（i）由得：，恰有個正實數根，恰有個正實數根，令，則與有兩個不同交點，，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，又，當從的右側無限趨近于時，趨近于；當無限趨近于時，的增速遠大于的增速，則趨近于；則圖象如下圖所示，當時，與有兩個不同交點，實數的取值范圍為；（ii）由（i）知：，，，，，不妨設，則，要證，只需證，，，，則只需證，令，則只需證當時，恒成立，令，，在上單調遞增，，當時，恒成立，原不等式得證.【點睛】思路點睛：本題考查利用導數求解函數單調性、方程根的個數問題和極值點偏移問題的求解；本題求解極值點偏移的基本思路是通過引入第三變量，將問題轉化為單變量問題，進而通過構造函數的方式證明關于的不等式恒成立.3．（2024·全國·模擬預測）設函數.(1)若，求函數的最值；(2)若函數有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.【答案】(1)無最小值，最大值為(2)證明見解析【分析】（1）對函數求導后得，分別求出和的解集，從而可求解.（2）由有兩個極值點，從而要證，令，構建函數，然后利用導數求解的最值，從而可求解證明.【詳解】（1）由題意得，則.令f'x>0，解得；令f'∴fx在上單調遞增，在上單調遞減，，∴fx無最小值，最大值為（2），則，又有兩個不同的極值點，欲證，即證，原式等價于證明①.由，得，則②.由①②可知原問題等價于求證，即證.令，則，上式等價于求證.令，則，恒成立，在1,+∞上單調遞增，當時，，即，原不等式成立，即.【點睛】方法點睛：對于極值點偏移問題，首先找到兩極值點的相應關系,然后構造商數或加數關系；通過要證明的不等式，將兩極值點變形后構造相應的函數，利用導數求解出構造函數的最值，從而證明不等式或等式成立.4．（2024·全國·模擬預測）已知函數．(1)求的單調區間；(2)若有兩個零點，，且，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求出函數的導數，然后分類討論的取值情況，從而可求解.（2）結合（1）中結論可知，從而求出，，然后設并構造函數，然后利用導數求解，然后再構造函數證明，從而求解.【詳解】（1）因為函數的定義域是0,+∞，，當時，f'x<0，所以在0,+當時，令，解得，當時，f'x>0，單調遞增；當時，f'x<0綜上所述，當時，的減區間為0,+∞，無增區間；當時，的增區間為，減區間為．（2）因為是函的兩個零點，由（1）知，因為，設，則，當x∈0,1，，當x∈1,+∞，所以在0,1上單調遞增，在1,+∞上單調遞減，．又因為，且，所以，．首先證明：．由題意，得，設，則兩式相除，得．要證，只要證，即證．只要證，即證．設，．因為，所以在1,+∞上單調遞增．所以，即證得①．其次證明：．設，．因為，所以φx在上單調遞減．所以，即．所以②．由①②可證得．題型十一恒成立、能成立問題1．若不等式對一切恒成立，其中，e為自然對數的底數，則的可能取值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先把不等式化簡轉化，再構造函數令，再求導函數得出切線計算化簡轉化求解.【詳解】不等式可化為，令，當時，，此時，直線恒過點，故只需直線為曲線在點處的切線即可，，此時．當時，曲線亦恒過點，為使，對一切恒成立，需曲線開口向下，且在點處與曲線有公切線即可，故，此時．綜上，的取值范圍是，所以的可能取值為.故選：A.2．已知函數若對于任意的都有成立，則實數a的取值范圍為.【答案】【分析】參變分離得到，構造函數，求導確定單調性，求得最小值即可求解.【詳解】對于任意的都有恒成立，等價于在上恒成立.令，則，，當時，，即在上遞增，故，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，所以實數的取值范圍是.故答案為：.3．已知函數（a為實常數）．(1)若，求證：在上是增函數；(2)當時，求函數在上的最大值與最小值及相應的x值；(3)若存在，使得成立，求實數a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）利用導數證明函數的區間單調性即可；（2）利用導數研究函數的單調性，進而求區間內最值即可；（3）將問題化為在上能成立，應用導數研究右側的單調性并求最小值，即可得參數范圍.【詳解】（1）由題設，則，則在上有，故在上是增函數，得證；（2）由題設，則，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以最小值為時，最大值為時；（3）由題設在上能成立，則，對于，則在上恒成立，故在上單調遞增，且時，即在上恒成立，所以在上能成立，令且，則，對于且，則，當時，，即在上單調遞減，當時，，即在上單調遞增，當，，即在上恒成立，在上恒成立，則在上單調遞增，故，所以.4．已知函數．(1)若在函數的圖象上，求函數在點P處的切線方程；(2)若在上單調遞增，求a的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將代入求出，對函數進行求導，從而可得在點P處的切線的斜率，利用直線的點斜式方程即可求解；（2）由題意在上恒成立，參數分類轉化為，利用函數的單調性求解最值即可求解a的取值范圍．【詳解】（1）將代入得，則，從而，由點斜式方程可得：，所以直線的方程為．（2），當是上的單調遞增函數時，在上恒成立，即，在上恒成立，轉化為，，令，則，函數對稱軸為直線，函數圖象開口方向向上，所以在上單調遞增，，．題型十二導數證明不等式1．已知函數，下面表述不正確的為（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【答案】B【分析】對函數求導，求出函數在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，再對每個選項逐一判斷即可.【詳解】對函數求導，得，令，解得：或；令，解得：，所以函數在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，如下圖：對于選項A：觀察圖像可知，選項A正確；對于選項B：當時，，且函數在區間上單調遞增，故，故選項B錯誤；對于選項C：當時，，且函數在區間上單調遞減，且，故，故選項C正確；對于選項D：當時，，由，得，故，故選項D正確；故選：B2．（多選）已知函數是其導函數.若存在且，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先求導函數，再根據函數圖象，結合單調性判斷A，再根據三角函數化簡求解得出進而判斷B，D，結合基本不等式計算求解C.【詳解】，數形結合，得到內的大致圖象為如圖所示，故，，A對.由得，即，由題意，則，，則，B正確.又，D正確.因為，從而C錯誤.故選：ABD.3．設函數．(1)當時，求的極值；(2)若當時，恒成立，求的取值范圍；(3)當時，若，證明：．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導，令，解得，進而可求得極小值；（2）令，求導，利用分類討論求得的取值范圍；（3）利用已知條件求得，利用分析法可知需證，利用換元法，進而構造函數證明即可.【詳解】（1）當時，，求導得，令，解得，當時，，當時，，所以時，取得極小值，極小值為，無極大值；（2）由，可得，令，則，令，則，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，所以，所以，所以，當時，所以，函數在單調遞增，則，所以不等式恒成立，當時，，所以函數在單調遞增，，所以不等式恒成立，當時，令，，令，，存在，使得，在，，則在上單調遞減，，，，則在上單調遞減，，即在，，則在上單調遞減，又，故不等式不恒成立，綜上所述：的取值范圍為；（3）因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，要證，即證，只需證明，即證，令，則需證，令，求導，因為，所以，所以，所以函數在上單調遞增，所以，所以，所以，所以成立.4．已知函數.(1)若有正零點，求實數的取值范圍；(2)若，求曲線在點處的切線方程，并證明：當時，恒成立.【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）令，得，依題意只需求滿足的的取值范圍，構造函數，利用導數說明函數的單調性，結合，即可得解；（2）求出函數的導函數，利用導數的幾何意義求出在點處的切線，即證明恒成立，設函數，利用導數說明函數的單調性，即可證明.【詳解】（1）令，得，故只需求滿足的的取值范圍.令，有，，故在上單調遞減，故當時，因此，的取值范圍是.（2）若，則，所以，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為.要證明恒成立，即證明恒成立.設函數，則，所以當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，，即當時，恒成立.題型十三函數的圖像與性質1．已知函數，下面表述不正確的為（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【答案】B【分析】對函數求導，求出函數在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，再對每個選項逐一判斷即可.【詳解】對函數求導，得，令，解得：或；令，解得：，所以函數在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，如下圖：對于選項A：觀察圖像可知，選項A正確；對于選項B：當時，，且函數在區間上單調遞增，故，故選項B錯誤；對于選項C：當時，，且函數在區間上單調遞減，且，故，故選項C正確；對于選項D：當時，，由，得，故，故選項D正確；故選：B2．（多選）已知函數是其導函數.若存在且，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先求導函數，再根據函數圖象，結合單調性判斷A，再根據三角函數化簡求解得出進而判斷B，D，結合基本不等式計算求解C.【詳解】，數形結合，得到內的大致圖象為如圖所示，故，，A對.由得，即，由題意，則，，則，B正確.又，D正確.因為，從而C錯誤.故選：ABD.3．設函數．(1)當時，求的極值；(2)若當時，恒成立，求的取值范圍；(3)當時，若，證明：．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導，令，解得，進而可求得極小值；（2）令，求導，利用分類討論求得的取值范圍；（3）利用已知條件求得，利用分析法可知需證，利用換元法，進而構造函數證明即可.【詳解】（1）當時，，求導得，令，解得，當時，，當時，，所以時，取得極小值，極小值為，無極大值；（2）由，可得，令，則，令，則，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，所以，所以，所以，當時，所以，函數在單調遞增，則，所以不等式恒成立，當時，，所以函數在單調遞增，，所以不等式恒成立，當時，令，，令，，存在，使得，在，，則在上單調遞減，，，，則在上單調遞減，，即在，，則在上單調遞減，又，故不等式不恒成立，綜上所述：的取值范圍為；（3）因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，要證，即證，只需證明，即證，令，則需證，令，求導，因為，所以，所以，所以函數在上單調遞增，所以，所以，所以，所以成立.4