第三章剛體的定軸轉動習題:3－2，3-7

，3－8，3－9。3-0第三章教學基本要求3-1剛體定軸轉動的動能定理和轉動定律3-2定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律第三章剛體的定軸轉動教學基本要求一、掌握描述剛體定軸轉動的角位移、角速度和角加速度等概念.二、掌握力對固定轉軸的力矩的計算方法，了解轉動慣量的概念(72學時不要求用積分計算轉動慣量).三、理解剛體定軸轉動的動能定理和剛體服從質點組的功能轉換關系.四、理解剛體定軸轉動定律.五、理解角動量的概念,理解剛體定軸轉動的角動量守恒定律.七、能綜合應用轉動定律和牛頓運動定律及質點、剛體定軸轉動的運動學公式計算質點剛體系統的簡單動力學問題.六、會計算力矩的功(72學時只限于恒定力矩的功)、定軸轉動剛體的轉動動能和對軸的角動量.八、能綜合應用守恒定律求解質點剛體系統的簡單動力學問題.明確選擇分析解決質點剛體系統力學問題規律時的優先考慮順序.3-1剛體定軸轉動的動能定理和轉動定律預習要點注意描述剛體定軸轉動的運動學方法.閱讀附錄1中矢量乘法.力對轉軸的力矩如何計算?領會剛體定軸轉動的動能定理的意義.注意區分平動動能和轉動動能的計算式.注意力矩的功的計算方法.轉動慣量的定義是什么?轉動慣量與哪些因素有關?剛體定軸轉動定律的內容及數學表達式如何?注意它的應用方法.一、剛體及剛體定軸轉動

剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發生變化的物體（任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）.剛體的運動形式：平動、轉動.平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同.

轉動：剛體中所有的點都繞同一直線作圓周運動.轉動分定軸轉動和非定軸轉動.

轉軸不動,剛體繞轉軸運動叫剛體的定軸轉動；垂直于轉軸的平面叫轉動平面.二、描述剛體定軸轉動的物理量角位移角坐標角速度角加速度O

定軸(Oz軸)條件下，由Oz軸正向俯視，逆時針轉向的取正，順時針取負.三、剛體定軸轉動的力矩和力矩的功P*O(:力臂)剛體繞Oz軸旋轉,O為軸與轉動平面的交點，力作用在剛體上點P,

且在轉動平面內,為由點O到力的作用點P的位矢.對轉軸z的力矩1.力矩力矩的功2.力矩作功四、剛體定軸轉動的轉動動能和轉動慣量1.轉動動能剛體內部質量為的質量元的速度為動能為剛體定軸轉動的總能量（轉動動能）定義轉動慣量相當于描寫轉動慣性的物理量.2.轉動慣量單位：kg·m2（千克·米2）.剛體定軸轉動動能計算式：對質量連續分布的剛體，任取質量元dm，其到軸的距離為r，則轉動慣量與平動動能比較轉動動能設棒的線密度為，取一距離轉軸OO′

為處的質量元求質量為m、長為l的均勻細長棒，對通過棒中心和過端點并與棒垂直的兩軸的轉動慣量.O′OO′O如轉軸過端點垂直于棒剛體的轉動慣量與剛體的質量m、剛體的質量分布和轉軸的位置有關.3.轉動慣量的計算舉例4.部分均勻剛體的轉動慣量薄圓盤轉軸通過中心與盤面垂直2r球體轉軸沿直徑l細棒轉軸通過中心與棒垂直l細棒轉軸通過端點與棒垂直五、剛體定軸轉動的動能定理剛體是其內任兩質點間距離不變的質點組，剛體做定軸轉動時，質點間無相對位移，質點間內力不作功，外力功為其力矩的功；并且剛體無移動，動能的變化只有定軸轉動動能的變化.由質點組動能定理

合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量.得剛體定軸轉動的動能定理注意:

2.剛體的定軸轉動的動能應用計算.1.如果剛體在運動過程中還有勢能的變化，可用質點組的功能原理和機械能轉換與守恒定律討論.總之，剛體作為特殊的質點組，它服從質點組的功能轉換關系.六、剛體定軸轉動的轉動定律由動能定理：取微分形式：兩邊除dt由于故得剛體定軸轉動定律：剛體作定軸轉動時，合外力矩等于剛體的轉動慣量與角加速度的乘積.七、牛頓定律和轉動定律的綜合應用如果在一個物體系中，有的物體作平動，有的物體作定軸轉動，處理此問題仍然可以應用隔離法.但應分清哪些物體作平動，哪些物體作轉動.把平動物體隔離出來，按牛頓第二定律寫出其動力學方程；把定軸轉動物體隔離出來，按轉動定律寫出其動力學方程.有時還需要利用質點及剛體定軸轉動的運動學公式補充方程，然后對這些方程綜合求解.例解法提要分別畫轉動和平動隔離體受力圖,然后列方程求1((2((3((物體的加速度a繩中張力滑輪對軸正壓力NT1T2,例已知O勻質滑輪rm輕繩不伸長輪繩不打滑m1m2m2m1輪軸有無摩擦力矩Mr滑輪對圓心軸的轉動慣量為2o21JmraaABT1T1T2T2ABm1gm2gaaONmgyMr+設rb轉動:T2rT1rMroJb平動:A:B:T1m1gm1agaT2m2m2((角量與線量關系:arb將上述四個關系式聯立解得1((a(m2m1(gMrrm1+m2+oJr2(m2m1(gMrrm1+m2+2m(m2m1(gMrrm1+m2+2m2((T1gm1a(+(m1((gMrrm2+2m2m1+m2+2mT2gm2a((m2((gMrrm1+2m2m1+m2+2m3((Nmg+T1T2+232g+2(m2m1(g+m+4m1m2gm1+m2+2m續上求1((2((3((物體的加速度a繩中張力滑輪對軸正壓力NT1T2,1((a(m2m1(gMrrm1+m2+oJr2(m2m1(gMrrm1+m2+2m(m2m1(gMrrm1+m2+2m2((T1gm1a(+(m1((gMrrm2+2m2m1+m2+2mT2gm2a((m2((gMrrm1+2m2m1+m2+2m3((Nmg+T1T2+232g+2(m2m1(g+m+4m1m2gm1+m2+2m討論:當mMr0,0時a(m2m1(gm1+m2T1m1gm22m1+m2T2NT12m1gm24m1+m2這就退回到質點動力學的結果.解法提要例已知O勻質滑輪rm輕繩不伸長輪繩不打滑m1m2m2m1輪軸有無摩擦力矩Mr滑輪對圓心軸的轉動慣量為2o21JmraaABT1T1T2T2ABm1gm2gaaONmgyMr+設rb

1）系統對軸的轉動慣量J是桿的轉動慣量J1與小球的轉動慣量J2之和.例:一根質量均勻分布的細桿，一端連接一個大小可以不計的小球，另一端可繞水平轉軸轉動.某瞬時細桿在豎直面內繞軸轉動的角速度為，桿與豎直軸的夾角為.設桿的質量為、桿長為l，小球的質量為.求：1）系統對軸的轉動慣量；

2）在圖示位置系統的轉動動能；

3）在圖示位置系統所受重力對軸的力矩.解:l2）系統的轉動動能為：3）系統所受重力有桿的重力和小球的重力.則系統所受重力對軸的力矩的大小為：l小實驗長的易控些，理由見下頁長的易控些，理由見下頁長桿哪個易控些？為什么？短鉛筆小實驗小實驗例例已知qqmB()A()LmLL2LOO兩勻直細桿地面q從小傾角處開始靜止釋放求aa兩者瞬時角加速度之比1L1LLL2213singmLq1mLsingmLq1mL32122解法提要aaaJJJM根據MM短桿的角加速度大且與勻質直桿的質量無關3-2定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律預習要點認識質點對定點的角動量的定義，剛體對轉軸的角動量如何計算?剛體定軸轉動的角動量定理的內容及數學表達式是怎樣的?角動量守恒定律的內容及守恒定律的條件是什么?一、角動量1.質點的角動量質量為

的質點以速度在空間運動，某時刻相對原點O

的位矢為，質點相對于原點的角動量大小的方向符合右手法則.單位或質點對定點O的角動量在某坐標軸Oz上的投影稱為該質點對軸Oz的角動量.

質點作圓運動時，其對過圓心O且運動平面垂直的軸Oz的角動量：

或又故得（取正號LZ與Oz同向，負號反向）2.剛體的角動量O剛體作定軸轉動時，其內所有質點都在與軸垂直的平面內作圓周運動，剛體對軸的角動量為其所有質點對同一軸的角動量之和.即L為正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz負向.對剛體組合系統，總角動量為各部分對同軸角動量之和.二、剛體定軸轉動時的角動量定理剛體所受的外力矩等于剛體角動量的變化率.將上式變形后積分角動量定理:作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量.由剛體定軸轉動定律表示作用在剛體上的合外力矩的時間積累,稱為沖量矩.角動量守恒定律:

當剛體轉動系統受到的合外力矩為零時，系統的角動量守恒.三、角動量守恒定律若，花樣滑冰跳水運動員跳水注意1.對一般的質點系統，若質點系相對于某一定點所受的合外力矩為零時，則此質點系相對于該定點的角動量始終保持不變.2.角動量守恒定律與動量守恒定律一樣,也是自然界的一條普遍規律.則常量.（1）解：桿和球在豎直方向所受重力和支持力與軸平行，對軸無力矩；桌面及軸皆光滑，無摩擦力矩；軸對桿的反作用力過軸也無力矩.因此，球與桿在碰撞過程中，所受外力矩為零，在水平面上，碰撞過程中系統角動量守恒.即：例：在光滑水平桌面上放置一個靜止的質量為m’、長為2l、可繞過與桿垂直的光滑軸中心轉動的細桿.有一質量為m的小球以與桿垂直的速度

與桿的一端發生完全彈性碰撞，求小球的反彈速度及桿的轉動角速度

.彈性碰撞動能守恒（2）其中聯立(1)、(2)式求解例解法提要在鉛直位置，兩種碰撞過程的角動量都守恒。但機械能守恒，不守恒。((ab((對角動量守恒O+1mlv0=1mlv1+J0w機械能守恒+211mv20=211m2v1+21J0w2解得O=w21mv((1m+m3lv1=1m+m3((1mm3-vm31m若鋼珠碰后反跳。例下述兩種情況，碰撞階段剛結束時求Omvl1m彈性碰撞w=桿的角速度w=鋼珠的速度v1？？非彈性碰撞Omlv1mw桿、彈系統的角速度碰撞過程的機械能損失量=w？=？EDk((ab((J0=31ml2J0=31ml2+1ml2對角動量守恒O+1mlv0=wJ0解