寒假學習成果檢驗一、選擇題（共10小題）1.如圖為一個積木示意圖，這個幾何體的左視圖為（）A. B. C. D.2.關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且3.數學課上，王老師與學生們做“用頻率估計概率”的試驗：不透明袋子中有8個白球、6個紅球、4個黑球和2個黃球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出一個球，某一顏色的球出現的頻率如圖所示，則該球的顏色最有可能是（）A.黑色 B.紅色 C.黃色 D.白色4.如圖，，，，則的長是（）A.20 B.12 C.8 D.65.在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是（）A. B.C D.6.如圖，在中，，，，則的長是（）A. B. C. D.7.已知反比例函數和的部分圖象如圖所示，是軸正半軸上一點，過點作軸，分別交兩個圖象于點，．若，則的值為（）A.6 B. C. D.8.如圖，菱形的對角線，相交于點O，E是的中點．若，則的長為（）A.4 B.3 C. D.29.如圖，，分別與相切于，兩點．若，則的度數為（）A. B. C. D.10.已知二次函數的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤，（的實數）．其中正確結論個數有（）A1個 B.2個 C.3個 D.4個二．填空題（共5小題）11.三個頂點的坐標分別為，，，以原點為位似中心，相似比為，將縮小，則點的對應點的坐標是________．12.已知二次函數中，函數y與自變量x的部分對應值如表：x…345678…y…14415041m…則表格中m的值是_______．13.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，E為BC延長線上一點，∠A=50°，則∠DCE度數為________．14.如圖，反比例函數的圖象經過正方形的頂點A和中心E，若點D的坐標為，則k的值為________．15.矩形紙片中，，，點在邊所在的直線上，且，將矩形紙片折疊，使點與點重合，折痕與，分別交于點，，則線段的長度為______．三．解答題16.（1）解方程：；（2）計算：．17.某景區檢票口有A，B，C共3個檢票通道，甲，乙兩人到該景區游玩，兩人分別從3個檢票通道中隨機選擇一個檢票.（1）甲選擇A檢票通道的概率是___________;（2）求甲，乙兩人選擇的檢票通道恰好相同的概率.18.隨著傳統能源的日益緊缺，太陽能的應用將會越來越廣泛，如圖①是一款太陽能路燈實物圖，圖②是某校興趣小組測量太陽能路燈電池板距離地面高度的方案示意圖，其中測角器的高在點C處安置測角器，測得點A的仰角，在與點C相距的點D處安置測角器，測得點A的仰角（點C，D，B在同一條直線上）．（1）設，用含x的代數式表示的長；（2）求電池板距離地面的高度的長．（結果精確到；參考數據：）19.如圖，在中，兩條對角線交于點O，且平分．（1）求證：四邊形是菱形：（2）作于H，交于E．若，，求菱形的邊長及面積．20.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，求：（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？21.如圖，內接于是的直徑，點在上，平分，過點作交的延長線于點，延長交的延長線于．（1）求證：是的切線；（2）若，求長．22.如圖1，中，，若點C在射線上移動，將線段繞點C逆時針旋轉，點B的對應點為D，過點D作于點E．（1）求證：；（2）如圖2，若，在延長線上取點M，連接，過點D作于點F，過點C作于點H，已知，求四邊形的面積；（3）如圖3，若，在延長線上取點M，連接，在延長線上取一點P，連接，已知，且，求的長．23.定義：若函數和函數的圖象關于直線對稱，則稱函數和關于直線互為“友好函數”，函數和的圖象交點叫做“友好點”．例如：函數關于直線的“友好函數”為，“友好點”為．（1）求函數關于直線的“友好函數”的表達式及“友好點”的坐標；（2）函數關于直線的“友好點”的縱坐標為，當時，求的取值范圍；（3）函數關于直線的“友好函數”為，“友好點”為．函數的圖象的頂點為，與軸交點為，函數的圖象的頂點為，與軸交點為，函數與的圖象組成的圖形記為．①若，判斷的形狀，并說明理由；②若，求的值；③點，點，若與線段有且只有兩個交點，直接寫出的值或取值范圍．

寒假學習成果檢驗一、選擇題（共10小題）1.如圖為一個積木示意圖，這個幾何體左視圖為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查簡單組合體的三視圖，熟練掌握左視圖即從左邊看到的圖形，正視圖即從正面看到的圖形，俯視圖即從上面看到的圖形是解題的關鍵．根據左視圖是從左邊看到的圖形求解即可．【詳解】解：從左邊看這個幾何體，看到的圖形為．故選：A．2.關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根據一元二次方程有兩個實數根，可知且，求出解即可．【詳解】∵一元二次方程有兩個實數根，∴，且，解得且．故選：C．3.數學課上，王老師與學生們做“用頻率估計概率”的試驗：不透明袋子中有8個白球、6個紅球、4個黑球和2個黃球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出一個球，某一顏色的球出現的頻率如圖所示，則該球的顏色最有可能是（）A.黑色 B.紅色 C.黃色 D.白色【答案】A【解析】【分析】利用簡單地概率公式，求得各色球的概率，結合圖象，發現該球頻率穩定在，比較解答即可．本題考查了頻率估計概率，簡單地概率公式應用，熟練掌握公式，理解頻率估計概率意義是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意，得不透明袋子中有8個白球、6個紅球、4個黑球和2個黃球，這些球除顏色外無其他差別，故，，，，根據圖象，得該球頻率穩定在，故其概率約為．故選：A．4.如圖，，，，則的長是（）A.20 B.12 C.8 D.6【答案】A【解析】【分析】本題考查相似三角形性質及判定，平行線性質，解一元一次方程．根據題意證明，繼而利用相似得性質即可得到本題答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴設，則，∴，即：，故選：A．5.在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了平行投影特點，熟練掌握平行投影的特點是解題的關鍵；平行投影特點是在同一時刻，不同物體的影子同向，且不同物體的物高和影長成比例．根據平行投影特點結合選項判斷即可．【詳解】解：A、影子的方向不相同，故本選項錯誤；B、影子的方向不相同，故本選項錯誤；C、相同樹高與影子是成正比的，較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子，故本選項錯誤；D、影子平行，且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子，故本選項正確；故選：D．6.如圖，在中，，，，則的長是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握銳角三角形的定義．根據余弦的定義解答即可．【詳解】解：在中，，，，，故選：C7.已知反比例函數和的部分圖象如圖所示，是軸正半軸上一點，過點作軸，分別交兩個圖象于點，．若，則的值為（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數與幾何綜合，設點坐標為，則點坐標為，據此把代入中即可求出答案．【詳解】解：設點坐標為，則點坐標為，把代入得，，∴．故選：B．8.如圖，菱形的對角線，相交于點O，E是的中點．若，則的長為（）A4 B.3 C. D.2【答案】D【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，三角形的中位線的性質，由菱形的性質可得，由三角形中位線的性質可得，故可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∵點E是的中點，，∴，故選：D．9.如圖，，分別與相切于，兩點．若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了切線的性質、四邊形內角和定理，同弧所對的圓周角與圓心角的關系等知識．首先根據同圓中同弧所對的圓心角等于圓周角的倍，可以求出，再根據切線的性質可以得到，根據四邊形的內角和是求出的度數．【詳解】解：，，、是的切線，，在四邊形中，，，．故選：A

．10.已知二次函數的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤，（的實數）．其中正確結論個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．由開口方向，，以及拋物線與軸的交點在軸的上方即可判斷符號，即可判斷①；由于拋物線與x軸有兩個交點，則，即可判斷②；由拋物線與x軸一個交點橫坐標，而對稱軸為直線，則拋物線與x軸另一個交點，當，即可判斷③；由于時，，時，，則，運用平方差公式化簡判斷④；當時，，則，故，即可判斷⑤．【詳解】解：開口向下，；對稱軸在軸的右側，，則；拋物線與軸的交點在軸的上方，，∴，所以①正確；由于拋物線與x軸有兩個交點，∴∴，故②正確；∵拋物線與x軸一個交點橫坐標，而對稱軸為直線，∴拋物線與x軸另一個交點，∴當，故③正確；∵時，，時，，∴，∴，即，故④正確；∵拋物線開口向下，∴時，，∴當時，，∴∴，故⑤錯誤，∴正確的有4個，故選：D．二．填空題（共5小題）11.三個頂點的坐標分別為，，，以原點為位似中心，相似比為，將縮小，則點的對應點的坐標是________．【答案】（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）．【解析】【分析】根據位似變換的性質解答即可．【詳解】解：∵△AOB頂點B的坐標為（3，6），以原點O為位似中心，相似比為，將△AOB縮小，∴點B的對應點B′的坐標為（3×，6×）或（3×（-），6×（-）），即（2，4）或（-2，-4），故答案為：（2，4）或（-2，-4）．【點睛】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．12.已知二次函數中，函數y與自變量x的部分對應值如表：x…345678…y…14415041m…則表格中m的值是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，利用二次函數圖象的對稱性可得答案．【詳解】解：由題意可得：拋物線的對稱軸為：直線，∴與關于對稱軸對稱，∴，故答案為：13.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，E為BC延長線上一點，∠A=50°，則∠DCE的度數為________．【答案】50°【解析】【詳解】解：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠A＋∠DCB＝180°，又∠DCE＋∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A＝50°，故答案50°．【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形的對角互補是解決此題的關鍵．14.如圖，反比例函數的圖象經過正方形的頂點A和中心E，若點D的坐標為，則k的值為________．【答案】【解析】【分析】根據題意可以設出點A的坐標，從而可以得到點E的坐標，進而求得k的值，從而可以解答本題．【詳解】解：設正方形ABCD的邊長為y∴，∵反比例函數的圖象經過正方形ABCD的頂點A和中心E，點D的坐標為，∴點E的坐標為，∴點E的坐標為

∵A、E在反比例函數的圖象上∴∴∴（舍去）∴∴故答案為：【點睛】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征、正方形的性質，解答本題的關鍵是明確反比例函數的性質，利用反比例函數的知識解答．15.矩形紙片中，，，點在邊所在的直線上，且，將矩形紙片折疊，使點與點重合，折痕與，分別交于點，，則線段的長度為______．【答案】或【解析】【分析】分點在點右邊與左邊兩種情況分別畫出圖形，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：∵折疊，∴，∵四邊形是矩形，∴∴，又∴∴，當點在點的右側時，如圖所示，設交于點，∵，，，∴中，，則，∵，∴∴，當點在點的左側時，如圖所示，設交于點，∵，，，∴中，則，∵，∴∴，綜上所述，的長為：或，故答案為：或．【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，勾股定理，分類討論是解題的關鍵．三．解答題16.（1）解方程：；（2）計算：．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解法、特殊角的三角函數、二次根式的運算．首先把一元二次方程配方得，分解因式得，把方程兩邊同時開平方求出方程的解即可；把物特殊角的三角函數值、、，代入算式可得：原式，然后再根據二次根式的運算法則進行計算．【詳解】解：移項得：，配方得：，分解因式得：，兩邊同時開平方得：，方程的解為，；解：，，，．17.某景區檢票口有A，B，C共3個檢票通道，甲，乙兩人到該景區游玩，兩人分別從3個檢票通道中隨機選擇一個檢票.（1）甲選擇A檢票通道的概率是___________;（2）求甲，乙兩人選擇的檢票通道恰好相同的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因為景區檢票口有A，B，C共3個檢票通道，所以供甲選擇的有三種可能，甲選擇A檢票通道的概率是；（2）利用樹狀圖把所有可能的情況一一列舉出來，然后利用概率公式求解即可.【小問1詳解】解：（1）∵景區檢票口有A，B，C共3個檢票通道，∴甲隨機選擇一個檢票共有三種等可能的情況.∴P（選擇A）=.故答案為：；【小問2詳解】由題意列樹狀圖得，由上圖可以看出，甲乙兩人分別從3個檢票通道中隨機選擇一個檢票共有9種等可能的情況，其中甲，乙兩人選擇的檢票通道恰好相同的情況共有3種，∴P（甲乙兩人選擇的通道相同）.【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法求事件發生的概率，熟練掌握列表法與樹狀圖法及概率公式是解題的關鍵.18.隨著傳統能源的日益緊缺，太陽能的應用將會越來越廣泛，如圖①是一款太陽能路燈實物圖，圖②是某校興趣小組測量太陽能路燈電池板距離地面高度的方案示意圖，其中測角器的高在點C處安置測角器，測得點A的仰角，在與點C相距的點D處安置測角器，測得點A的仰角（點C，D，B在同一條直線上）．（1）設，用含x的代數式表示的長；（2）求電池板距離地面的高度的長．（結果精確到；參考數據：）【答案】（1）（2）電池板距離地面的高度約為【解析】【分析】本題考查銳角三角函數的應用，構造直角三角形求解是解題的關鍵．（1）延長交于點M，設在中，利用求出結論；（2）在中，利用正切定義得出，求出x的值，即可解答．【小問1詳解】解：延長交于點M，，，∵，∴四邊形是矩形，米，，∴四邊形是矩形，，，設，則，在中，，，；【小問2詳解】在中，，，，，解得：經檢驗是原方程的解，且符合題意，答：電池板離地面的高度的長為米．19.如圖，在中，兩條對角線交于點O，且平分．（1）求證：四邊形是菱形：（2）作于H，交于E．若，，求菱形的邊長及面積．【答案】（1）見解析；（2）邊長為，面積為．【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質得，則，由平分，得，則，所以，即可證明四邊形是菱形；（2）由菱形的性質得，，，則，，所以，則，即可證明，得，求得，所以，，進而可求出答案．【小問1詳解】證明：∵四邊形平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．【小問2詳解】解：∵菱形的兩條對角線交于點O，∴，，，∴，，∵于H，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴菱形的面積為：，∴菱形的邊長為，面積為．【點睛】此題重點考查菱形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、菱形的面積公式等知識，證明，是解題的關鍵．20.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，求：（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？【答案】（1）每件襯衫應降價20元（2）每件襯衫降價15元時，商場平均每天贏利最多，最大利潤為1250元．【解析】【分析】此題考查的是一元二次方程的應用和二次函數的應用，掌握實際問題中的等量關系和利用二次函數求最值是解決此題的關鍵．（1）若設每件襯衫應降價x元，則每件所得利潤為元，但每天多售出件即售出件數為件，因此每天贏利為元，進而可根據題意列出方程求解．（2）列出商場平均每天贏利y與襯衫降價x之間的函數關系式，利用二次函數的性質即可解答．【小問1詳解】解：設每件襯衫應降價x元，根據題意得，整理得，解得，．因為要盡量減少庫存，在獲利相同的條件下，降價越多，銷售越快，故每件襯衫應降20元．答：每件襯衫應降價20元．【小問2詳解】解：設商場平均每天贏利y元，則；∵，∴當時，y取最大值，最大值為1250．答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天贏利最多，最大利潤為1250元．21.如圖，內接于是的直徑，點在上，平分，過點作交的延長線于點，延長交的延長線于．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了切線的判定，角平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，熟練掌握相關知識是解決問題的關鍵．（1）由角平分線的定義和等腰三角形的性質證明，得到，進而證得，根據切線的判定定理即可證得結論；（2）先根據勾股定理求出半徑，再根據面積相等得出，根據角平分線的性質得出，再求出，，最后根據勾股定理即可得出答案．【小問1詳解】證明：連接，，，平分，，，，，，，，是的半徑，∴EF是的切線，【小問2詳解】如圖，過作于，設，，在Rt中，，，，解得，，，，，平分，，，，在Rt中，根據勾股定理得，，22.如圖1，中，，若點C在射線上移動，將線段繞點C逆時針旋轉，點B的對應點為D，過點D作于點E．（1）求證：；（2）如圖2，若，在延長線上取點M，連接，過點D作于點F，過點C作于點H，已知，求四邊形的面積；（3）如圖3，若，在延長線上取點M，連接，在延長線上取一點P，連接，已知，且，求的長．【答案】（1）見解析（2）36（3）【解析】【分析】（1）利用旋轉得到，，利用垂直的定義和余角的性質得到，再利用“”即可求證；（2）過D點作于G，證明，得到，，令，得，表示出，和四邊形的面積，即可求解；（3）過M點作于K，設，則，，利用勾股定理表示出，，得出，再利用勾股定理得出，建立方程，解一元二次方程即可求解．【小問1詳解】證明：∵中，，∴,∵將線段繞點C逆時針旋轉，點B的對應點為D，∴，，∴，∴又∵，∴，∴，∴【小問2詳解】解：由（1）可知，如圖，過D點作于G，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，，令，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴四邊形的面積，∴四邊形的面積四邊形的面積；∴四邊形的面積為36；【小問3詳解】由（1）可知，∵將線段繞點C逆時針旋轉，點B的對應點為D，∴，，∵，∴，，∵，∴，∴，設，則，，過M點作于K，則，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，解得：（不合題意，舍去），∴的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理的應用、等腰直角三角形的判定與性質、旋轉的性質，涉及到了矩形的判定與性質，解題關鍵是正確作出輔助線，構造直角三角形．23.定義：若函數和函數的圖象關于直線對稱，則稱函數和關于直線互為“友好函數”，函數和的圖象交點叫做“友好點”．例如：函數關于直線的“友好函數”為，“友好點”為．（1）求函數關于直線的“友好函數”的表達式及“友好點”的坐標；（2）函數關于直線的