2025年大學統計學期末考試：抽樣調查方法實驗設計與試題解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、概率與隨機變量要求：本部分考查學生對概率與隨機變量的理解，包括概率的基本概念、隨機變量的分布類型及其性質，要求學生能夠正確運用概率論的知識解決實際問題。1.設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，求以下各事件的概率：（1）P{X=1}（2）P{X>2}（3）P{1<X≤3}（4）P{X≤5|X>1}（5）P{X=0|P{X>1}=0.6}（6）求X的分布函數F(x)。2.已知隨機變量X的密度函數為：f(x)={kx^2,x∈[0,1]{0,x?[0,1]}（1）求常數k。（2）求X的分布函數F(x)。（3）求P{X≤1/2}。（4）求X的期望E(X)。3.隨機變量X~N(μ,σ^2)，求以下各事件的概率：（1）P{X≤μ+σ}（2）P{μ-σ<X<μ+2σ}（3）P{μ-2σ<X<μ}（4）求X的分布函數F(x)。（5）求X的期望E(X)。（6）求X的方差Var(X)。二、參數估計要求：本部分考查學生對參數估計的理解，包括最大似然估計和矩估計，要求學生能夠運用這兩種方法對參數進行估計。1.設總體X的密度函數為：f(x;θ)={θx^θ-1,x>0{0,x≤0}（1）求參數θ的最大似然估計量θ?。（2）求參數θ的矩估計量θ?。（3）求參數θ的矩估計量θ?的方差。2.設總體X的分布函數為：F(x;θ)={0,x≤0{1-e^(-θx),x>0}（1）求參數θ的最大似然估計量θ?。（2）求參數θ的矩估計量θ?。（3）求參數θ的矩估計量θ?的方差。3.設總體X服從參數為λ的指數分布，已知樣本容量為n=10，樣本數據如下：1.2,2.3,1.5,1.8,2.0,2.1,2.2,1.9,2.0,1.7（1）求參數λ的最大似然估計量λ?。（2）求參數λ的矩估計量λ?。（3）求參數λ的矩估計量λ?的方差。三、假設檢驗要求：本部分考查學生對假設檢驗的理解，包括正態總體和獨立樣本的假設檢驗，要求學生能夠運用這些方法進行假設檢驗。1.設總體X服從正態分布N(μ,σ^2)，已知樣本容量為n=15，樣本均值x?=10，樣本方差s^2=4，顯著性水平α=0.05。（1）假設μ=9，求拒絕域。（2）根據樣本數據，檢驗假設H0：μ=9。（3）根據樣本數據，檢驗假設H0：μ≤9。2.設兩個獨立樣本X和Y分別來自正態分布N(μ1,σ1^2)和N(μ2,σ2^2)，已知樣本容量分別為n1=10和n2=12，樣本均值分別為x?1=20和x?2=22，樣本方差分別為s1^2=9和s2^2=16，顯著性水平α=0.01。（1）假設H0：μ1=μ2，求拒絕域。（2）根據樣本數據，檢驗假設H0：μ1=μ2。（3）根據樣本數據，檢驗假設H0：μ1≤μ2。四、回歸分析要求：本部分考查學生對回歸分析的理解，包括線性回歸、非線性回歸和回歸診斷，要求學生能夠運用這些方法分析數據，并解釋回歸結果。1.設有如下線性回歸模型：y=β0+β1x1+β2x2+ε其中，x1和x2是自變量，y是因變量，ε是誤差項。已知樣本數據如下：|x1|x2|y||----|----|---||1|2|3||2|3|5||3|4|7||4|5|9||5|6|11|（1）求線性回歸方程的系數β0、β1和β2。（2）求回歸方程的殘差平方和SSE。（3）求回歸方程的R2值。（4）求回歸方程的預測標準誤差。2.設有如下非線性回歸模型：y=β0+β1x1^2+ε其中，x1是自變量，y是因變量，ε是誤差項。已知樣本數據如下：|x1|y||----|---||1|2||2|4||3|8||4|16||5|32|（1）求非線性回歸方程的系數β0和β1。（2）求非線性回歸方程的殘差平方和SSE。（3）求非線性回歸方程的R2值。（4）求非線性回歸方程的預測標準誤差。五、方差分析要求：本部分考查學生對方差分析的理解，包括單因素方差分析和雙因素方差分析，要求學生能夠運用這些方法分析數據，并解釋方差分析結果。1.設有三個獨立的樣本，分別來自正態分布N(μ1,σ^2)、N(μ2,σ^2)和N(μ3,σ^2)，樣本容量分別為n1=10、n2=10和n3=10，樣本均值分別為x?1=20、x?2=22和x?3=18，樣本方差分別為s1^2=9、s2^2=16和s3^2=25。（1）進行單因素方差分析，檢驗三個總體均值是否相等。（2）求單因素方差分析中的F統計量。（3）求單因素方差分析中的p值。2.設有兩個因素A和B，每個因素有三個水平，樣本數據如下：|A|B|y||---|---|---||1|1|2||1|2|4||1|3|6||2|1|3||2|2|5||2|3|7||3|1|1||3|2|3||3|3|5|（1）進行雙因素方差分析，檢驗因素A、因素B以及A與B的交互作用對y的影響。（2）求雙因素方差分析中的F統計量。（3）求雙因素方差分析中的p值。六、時間序列分析要求：本部分考查學生對時間序列分析的理解，包括自回歸模型、移動平均模型和季節性分解，要求學生能夠運用這些方法分析時間序列數據，并預測未來值。1.設有一個時間序列數據如下：|年份|降水量||------|--------||2010|150||2011|130||2012|160||2013|120||2014|140||2015|170||2016|110||2017|180||2018|160||2019|130|（1）建立自回歸模型AR(1)，求模型參數。（2）使用AR(1)模型預測2020年的降水量。（3）計算AR(1)模型的預測誤差。2.設有一個時間序列數據如下：|年份|氣溫||------|------||2010|15||2011|16||2012|14||2013|15||2014|17||2015|16||2016|14||2017|15||2018|16||2019|15|（1）建立移動平均模型MA(2)，求模型參數。（2）使用MA(2)模型預測2020年的氣溫。（3）計算MA(2)模型的預測誤差。3.設有一個時間序列數據如下：|季度|銷售額||------|--------||1|100||2|120||3|110||4|130||1|140||2|150||3|130||4|160|（1）對時間序列數據進行季節性分解。（2）求季節性因子。（3）預測下一個季度的銷售額。本次試卷答案如下：一、概率與隨機變量1.（1）P{X=1}=e^(-λ)*λ^1/1!=λ/e（2）P{X>2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-e^(-λ)-λ/e（3）P{1<X≤3}=P{X=2}+P{X=3}=λ^2/e^2+λ^3/e^3（4）P{X≤5|X>1}=(P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5})/(P{X>1})=(λ^2/e^2+λ^3/e^3+λ^4/e^4+λ^5/e^5)/(1-e^(-λ))（5）P{X=0|P{X>1}=0.6}=(P{X=0})/(P{X>1})=e^(-λ)/(1-e^(-λ))=0.6（6）F(x)=P{X≤x}=e^(-λ)*(1-e^(-λx))2.（1）k=1/e^2（2）F(x)={0,x≤0{1-e^(-kx^2),x>0}（3）P{X≤1/2}=1-e^(-k(1/2)^2)=1-e^(-1/4k)（4）E(X)=∫x*f(x)dx=∫x*kx^2dx=k*∫x^3dx=k*[x^4/4]=k/43.（1）P{X≤μ+σ}=Φ((μ+σ-μ)/σ)=Φ(1)（2）P{μ-σ<X<μ+2σ}=Φ((μ+2σ-μ)/σ)-Φ((μ-σ-μ)/σ)=Φ(2)-Φ(-1)（3）P{μ-2σ<X<μ}=Φ((μ-2σ-μ)/σ)-Φ((μ-σ-μ)/σ)=Φ(-2)-Φ(-1)（4）F(x)=Φ((x-μ)/σ)（5）E(X)=μ（6）Var(X)=σ^2二、參數估計1.（1）θ?=x?（2）θ?=(1/n)*Σx_i（3）Var(θ?)=σ^2/n2.（1）θ?=x?（2）θ?=(1/n)*Σx_i（3）Var(θ?)=σ^2/n3.（1）λ?=1/Σx_i/n（2）λ?=1/Σx_i/n（3）Var(λ?)=σ^2/n^2三、假設檢驗1.（1）拒絕域：|z|>z_α/2，其中z=(x?-μ)/(s/√n)，z_α/2是標準正態分布的臨界值。（2）檢驗統計量：z=(10-9)/(2/√15)=0.79（3）檢驗統計量：z=(10-9)/(2/√15)=0.792.（1）拒絕域：|t|>t_α/2,ν，其中t=(x?1-x?2)/√(s1^2/n1+s2^2/n2)，t_α/2,ν是t分布的臨界值。（2）檢驗統計量：t=(20-22)/√(9/10+16/12)=-1.63（3）檢驗統計量：t=(20-22)/√(9/10+16/12)=-1.63四、回歸分析1.（1）β0=1,β1=1,β2=1（2）SSE=Σ(y_i-y?_i)^2=(3-3)^2+(5-4)^2+(7-5)^2+(9-6)^2+(11-7)^2=8（3）R2=1-SSE/SST=1-8/20=0.6（4）預測標準誤差=√(SSE/n-(β1^2+β2^2)*Var(x1)*Var(x2))=√(8/5-1^2*1^2*1^2)=1.092.（1）β0=1,β1=1（2）SSE=Σ(y_i-y?_i)^2=(2-2)^2+(4-4)^2+(8-8)^2+(16-16)^2+(32-32)^2=0（3）R2=1-SSE/SST=1-0/20=1（4）預測標準誤差=√(SSE/n-(β1^2+β2^2)*Var(x1)*Var(x2))=√(0/5-1^2*1^2*1^2)=0五、方差分析1.（1）進行單因素方差分析，檢驗三個總體均值是否相等。（2）F統計量=(SStotal-SSbetween)/SSbetween/(n-1)=(9+16+25-9)/9/8=3.75（3）p值=P{F>3.75}，根據F分布表查得p值。2.（1）進行雙因素方差分析，檢驗因素A、因素B以及A與B的交互作用對y的影響。（2）F統計量=(SStotal-SSbetweenA-SSbetweenB-SSinteraction)/(SSbetweenA+SSbetweenB+SSinteraction)/(k-1)=(9+16+25-9-1