2024年山東省淄博市桓臺縣中考數學一模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.|一2|等于（）

A.-2B-C.2

2.如圖，吏線CD,EF被射線04OB所截，CD//EF,若N1=108。，則42的度數

為（）

A.52°

B.62°

C.72°

D.82°

3.2023年淄博市經濟運行呵I升向好.全年全市生產總值約為4561億元.按不變價格計算，比上年增長5.5%.將

4561億用科學記數法表示為（）

A.4561x108B.4.561x1011C.4.561xIO10D.456.1x109

4.下列立體圖形中，主視圖是圓的是（）

5.將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60。和

45c角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合

的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于48兩點,

則48的長是（）

A.2-/3B.2/3-2C.2D.2/3

6.如圖，。。的直徑48與弦OE交于點C,且。。=CO.若弧49的度數為40。，則弧

4E的度數為（）

A.50°

B.60°

E

C.75°

D.85。

7.計算去-巖的結果等于（）

1

A.-1B.x-1D.

c?六X2-1

8.如圖，在中，ABAC=90°,AB=AC,8C=2.點。在BC上，且BD：

CD=1：3.連接ID,線段4D繞點4順時針旋轉90。得到線段4E,連接BE,DF.MA

8DE的面積是（）

AqB-8CyD.|

9.關于x,y的方程組二:晨\的解為｛；二:若點P（a，b）總在直線y=%上方，那么A的取值范圍

是（）

A.k>1C.k<1D.k<-1

10.如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，04=08=3，虧，點C為平面內一

動點，連接AC,點M是線段AC上的一點，且滿足CM：MA=1：2.當

線段OM取最大值時，點M的坐標是（）

A.36、

c（4）

D.（|75,^/5）

二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。

11.分解因式：m3—4m2+4m=____.

2

12.若實數a、b分別滿足M-3Q+2=0,b—3b+2=0,且aHb,

13.如圖，在平面直角坐標系中，△48C與△4當G位似，原點0是位

AR

似中心，且病=3.若4（9,3）,則4點的坐標是_____.

14.如圖，點4B,C在數軸上，點A表示的數是一1,點8是AC的中點,ABC

線段48=，！，則點C表示的數是_____.-10

15.如圖，在平面直角坐標系中，△4。。的邊。4在y軸上，點C在第一象限

內，點B為4C的中點，反比例函數y=：O>0)的圖象經過B,C兩點.若△

40C的面積是6,則k的值為.

三、解答題：本題共8小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題10分)

(1)計算：V8+(7T+1)°+^+|3-/5|-(i)-1；

f2(x+2)>x4-3

(2)解不等式組：

17.(本小題10分)

已知：如圖，點。為c45。。對角線AC的中點，過點。的直線與力。，分別相交于點E,F.求證：DE=

18.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標系中，反匕例函數y=(Q>0)的圖象經過點為(2,6),將點川句右平移2個單位，再

向下平移a個單位得到點8,點B恰好落在反比例函數y=；(x>0)的圖象上，過A,B兩點的直線與y軸交

于點C.

(1)求k的值及點C的坐標；

(2)在y軸上有一點。(0,5),連接AD,BD,求△A8。的面積.

19.（本小題10分）

暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區登山.需要登頂60（hzi高的山峰，由山底力處先步行300m到達8

處，再由8處乘坐登山纜車到達山頂。處.己知點4,B,D,E,F在同一平面內，山坡48的坡角為30。，纜

車行駛路線與水平面的夾角為53。（換乘登山纜車的時間忽略不計）.

⑴求登山纜車上升的高度DE；

（2）若步行速度為30m/m沅，登山纜車的速度為求從山底4處到達山頂D處大約需要多少分鐘（

結果精確到O.lmln）.

（參考數據:sin53°?0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33）

20.（本小題12分）

6月5日是世界環境日，為提高學生的環保意識，某校舉行了環俁知識競賽，從全校學生的成績中隨機抽取

了部分學生的成績進行分析，把結果劃分為4個等級：做優秀）；B（良好）；。（中）；D（合格）.并將統計結果

繪制成如圖兩幅統計圖.

環保知識我加年.成績條形統iI圖環保知識競賽學生成版形統計圖

請根據統計圖提供的信息，解答下列問題:

(1)本次抽樣調查的學生共有名;

(2)補全條形統計圖;

(3)該校共有1200名學生，請你估計本次競賽獲得8等級的學生有多少名？

(4)在這次競賽中，九年一班共有4人獲得了優秀，4人中有兩名男同學，兩名女同學，班主任決定從這4人

中隨機選出2人在班級為其他同學做培訓，請你用列表法或畫樹狀圖法，求所選2人恰好是一男一女的概

21.(本小題12分)

某企業準備對48兩個牛.產性項目進行投資，根據其生產成本、銷售情況等因素進行分析得知：投資4項

目一年后的收益以(萬元)與投入費金%(萬元)的函數表達式為：yA=lx,投資8項目一年后的收益y。(萬元)

2

與投入資金雙萬元)的函數表達式為：yB=-^x+2x.

(1)若將10萬元資金投入4項目，一年后獲得的收益是多少？

(2)若對4B兩個項目投入相同的資金m(m>0)萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？

(3)2023年，我國對小微企業施行所得稅優惠政策.該企業將根據此政策獲得的減免稅款及其他結余資金共

計32萬元，全部投入到43兩個項目中,當力，8兩個項目分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和

最大？最大值是多少萬元？

22.(本小題13分)

如圖，在等邊中，AD工BC于點D,E為線段4D上一動點(不與4,D重合)，連接BE,CE,將CE繞

點C順時針旋轉60。得到線段C凡連接4尸.

(1)如圖1,求證：JLCBE=￡CAF-,

(2)如圖2,連接3尸交力。于點G,連接OG,EF,E尸與。G所在直線交于點H,求證：EH=FH；

(3)如圖3,連接8F交4c于點G,連接。G,EG,將△AEG沿4G所在直線翻折至△48C所在平面內，得到△

APG,將aOEG沿OG所在直線翻折至△48。所在平面內，得到ADQG,連接PQ,QF.若43=4,直接寫出

PQ+Qr的最小值.

圖1圖2圖3

23.(木小題13分)

如圖1,拋物線G：y=-/+bx+c與％軸交于點力(一3,0),B(1,O)兩點，交y軸于點C,連接力C,點。為

4c上方拋物線上的一個動點，過點。作DE14C于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求線段0E的最大值；

(3)如圖2,將拋物線G沿V軸翻折得到拋物線。2,拋物線。2的頂點為幾對稱軸與工軸交丁點G,過點”(1,2)

的直線(直線產”除外)與拋物線交于人/兩點，直線用，燈分別交匯軸于點M,N,試探究GM-GN是否為定

值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

圖1

圖2

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由于|一2|=2,故選C.

根據絕對值的定義，可以得到|-2|等于多少，本題得以解決.

本題考查絕對值，解題的關鍵是叨確絕對值的定義.

2.【答案】C

【解析】解：如圖:

???CD//EF,

AZ2+Z3=180°,

zl=z3,

???/I+乙2=180°,

???zl=108°,

:.Z2=72°,

故選：C.

根據兩直線平行，同旁內角互補，得出42+N3=180。，由，1=N3,得出N1+43=180。，即可得答

案.

本題考查的是平行線的性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補，是解答此題的關鍵.

3.【答案】B

【解析】解：4561^=456100000000=4.561x1011,

故選:B.

將一個數表示成QX10〃的形式，其中lW|a|<10,n為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可

求得答案.

本題考查科學記數法表示較大的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

4.【答案】D

【解析】解.：4圓錐的主視圖是等腰三角形，因此選項A不符合題意；

比三楂柱的主視圖是矩形，因此選項8不符合題意；

C.圓柱的主視圖是矩形，因此選項。不符合題意；

。.球的主視圖是圓，因此選項。符合題意；

故選：D.

根據各個幾何體的主視圖的形狀進行判斷即可.

本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的定義，掌握各種幾何體的三視圖的形狀是正確判斷的前提.

5.【答案】B

【解析】解:在Rt△4中，Z.ACD=45°,

Z.CAD=45°=Z/ICD,

:.AD=CD=2cm,

C

在山△BCD中，/BCD=60。，

:.乙CBD=30°,

BC=2CD=4cm,

BD=y/BC2-CD2=V42-22=2/3(cm)?

:.AR=RD-AD=(2/3-2)(cn).

故選:B.

根據等腰直角三角形的性質和勾股定理即可得到結論.

本題考查了勾股定理，等腰百.角三角形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

6.【答案】B

【解析】解：連接00,OE,

?.?弧4。的度數為40。，

:.Z.AOD=40°,

???CD=CO,

/.ODE=Z-AOD=40°,

GD=OE,

:.￡E=LD=40°,

乙DOE=180c_40c_40c=I。。、

A￡AOE=100°-40°=60°,

.??弧4E的度數是60。.

故選:B.

連接OD,OE,由弧4。的度數為40。，求出4力。。=40。，由等腰三角形的性質得到zE==4力。。=

40S求出匕DOE=180。-40。-40。=100。,即可得到%。。=100。-40。=60。,即可求出弧AE的度數

本題考查圓心角、弧、弦的關系，關鍵是由弧40的度數為40。，求出々100=40".

7.【答案】C

【解析】解：言—若

%+1______________2

-(%+1)(%-1)(%+1)(%-1)

x+1-2

=(x+l)(x-l)

X—1

=(%+1)(%-1)

1

=--■

X+1

故選：C.

由于是異分母的分式的加減，所以先通分，化為同分母的分式，然后進行加減即可.

本題主要考查了分式的加減，計算時首先判斷分母是否相同，然后利用分式加減的法則計算艮I：可.

8.【答案】B

【解析】解：???線段繞點4順時針旋轉90。得到線段4E,

：.AD=AE,LDAE=90°,

Z.EAB+乙BAD=90°,

在AABGf,/.BAC=90°,AB=AC,

/.BAD+Z.CAD=90°,zC=乙ABC=45°,

:.Z.EAB=乙CAD,

DAC(SAS),

ZC=Z-ABE=45°,CD=BE,

:.乙EBC=Z.EBA+^ABC=90°,

???BC=2,BD：CD=1：3,

i3

BD=右CD=BE=芯

11133

???SABD"卯

故選:B.

根據旋轉的性質得出AO=AE,/.DAE=90。，再根據S4S證明△EAB9>D4c得出乙C=乙ABE=45°,

CD=BE,得出乙EBC=90。，再艱據三角形的面積公式即可求解.

本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，根據SIS證明是解題的關健.

9.【答案】B

【解析】解:解方程組於：可得，

3,

X=--K—1

(y=/7+l，

???點P(a,b)總在直線y=x上方，

：*b>a,

解得Z>—If

故選:B.

將A看作常數，解方程組得到，y的值，根據P在直線上方可得到b>Q,列出不等式求解即可.

本題考查了解二元一次方程組，一次函數上點的坐標特征，解本題的關鍵是將攵看作常數，根據點在一次

函數上方列出不等式求解.

10.【答案】D

【蟀析】解：???點C為平面內一動點，BC=|,

.?.點C在以點B為圓心，|為半徑的圓3上，

在x軸的負半軸上取點。(一苧,0)，

連接BD,分別過。、M作ME1OA,垂足為F、E,

GA=OB=3/5，

AD=OD+OA=竽，

OA2

**■AD=3f

???CM：MA=1：2,

?.?-0-4=_-2=_-A-M?

AD3AC

vZ.OAM=乙DAC,

.*.△04Ms△l)AC,

?_O_M—_O_A——2

CD~AD~3

???蘭CD取得最大值時，OM取得最大值，結合圖形可知當D,B,C三點共線，且點8在線段DC上時，CD取

得最大值，

OA=OB=3/5，0。=等

BD=\JOB2+0D2=y,

CD=BC+BD—9,

,.OM_2

??~CD=3,

??.GM=6,

,??y軸_Lx軸，CF10A,

A/.DOB=Z.DFC=90°,

,:乙BDO=乙CDF,

???△BDOs>CDF,

.?.再=也，即迫

CFCD1CF-9

解得C/=竿，

同理可得，△AEMSAA/7C,

ME_AM_2ME_2

CF==3*即18門一§，

解得ME=華,

GE=y/OM2-ME2=等，

.??當線段。M取最大值時，點M的坐標是《西洋港)，

故選O.

由題意可得點C在以點8為圓心，;為半徑的圓B上，在X軸的負半軸上取點D(-挈,0)，連接BD,分別過C

4L

和M作6104ME10A,垂足為廣、E,先證△。4Ms/x。力心得器=券=|,從而當CD取得最大值

時，0M取得最大值，結合圖形可知當D,B,C三點共線，且點8在線段0C上時，CO取得最大值，然后分

別證△8OOsZkco凡LAEM^^AFC,利用相似三角形的性質即可求解.

本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質、圓的一般概念以及坐標與圖形，熟練掌握相似三角

形的判定及性質是解題的關鍵.

11.【答案】m(m-2)2

【解析】解：m3-4?n2+4m

=m(m2-4m+4)

=7n(m—2)2.

故答案為:7n(m-2產

先提取公因式機，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解.

本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方

法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

12.【答案】|

【解析】解：：。、b分別滿足a?-3a+2=0,b2-3b4-2=0,

a、b可以看作是一元二次方程必一3無+2=0的兩個實數根，

?，.Q+6=3,ab=2,

1,1a+b3

"abab2"

故答案為:|.

先根據題意把a、b看作是一元二次方程M—3無+2=0的兩個實數根，利用根與系數的關系得到Q+8=

3,ab=2,再根據工+1二岑進行求解即可.

abab

本題主要考查了分式的求值，一元二次方程根與系數的關系，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的

關鍵.

13.【答案】(3,1)

【解析】解：與△&B1G位似，且原點。為位似中心，且箱=3,點力(9,3),

,*9=3,1x3=l,

即4點的坐標是(3,1),

故答案為:(3,1).

根據位似變換的性質計算，得到答案.

本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，柱似比為M

那么位似圖形對應點的坐標的比等于〃或-k.

14.【答案】2/2-1

【解析】解：???點力表示的數是一1,線段人8二心，

.??點8表示的數是一1+，2

???點8是47的中點，

線段BC=AB=6

.??點C表示的數是：-1+一1,

故答案為：2/2-1.

先表示出點8表示的數，再根據點B是AC的中點進行求解.

此題考查了用數軸上的點表示實數的能力，關鍵是能準確理解并運用該知識.

15.【答案】4

【蟀析】解：過點。作COJLy軸于點0,如圖：

設點C的坐標為(Q,b),點4的坐標為(0,c),

???CD=a,OA=c,

/OC的面積是6,

???S.AOC=,OA=1ac=6,

???ac=12,

???點C(Q,8)在反比例函數y=+(x〉0)的圖象上，

???k=ab,

???點8為AC的中點，

???點%,竽)，

???點8在反比例函數y=>0)的圖象上，

:.k.=-a--b-+-c,

22

即：4k=a(b+c),

：?4k=ab+ac,

將GA=k,ac=12代入上式得：k=4.

故答案為:4.

過點C作。。J.y軸于點。，設點。的坐標為(a,b),點力的坐標為(0,c),則CD=Q,OA=C,由A40C的面

積是6得ac=18,將點C(a,8)代入反比例函數的表達式得k=Qb,然后根據點B為AC的中點得點

8(f,警)，將點B代入反比例函數表達式得A=].竿，據此即可取的值.

此題主要考查了反比例函數的圖象，解答此題的關鍵是理解函數圖象上的點滿足函數的解析式，滿足函數

解析式的點都在函數的圖象上.

16.【答案】解：(1)原式=2+1+0+3-門一2

=4.

(2(%+2)>X+3①

明祟②，

解不等式①：得

解不等式②：得XV3,

不等式組的解集是一1VXV3.

【解析】(1)首先根據立方根定義、零指數辱的性質、二次根式的化簡、絕對值的性質、負整數指數騫的

性質進仃計算，然后從左向右依次計算，求值即可.

(2)分別求解兩個不等式，得到不等式組的解集即可.

本題考查的是實數的運算、解一元一次不等式組，熟練運算法則是解題關鍵.

17.【答案】證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

/.AD=BC,AD//BC,

Z.EAO=Z.FCO,Z.OEA=Z.OFC?

???點。為對角線4c的中點，

???AO=CO,

在&AOE和△COF中，

(Z.EAO=Z.FCO

\z-OEA=Z.OFC,

(40=CO

:.△AOE@ACOF(AAS),

AE=CF,

?.AD-AE=BC-CF,

:?DE=BF.

【解析】根據平行四邊形的性質得到｛0=8C，AD//BC,進而推出乙￡71。=4”。，乙OEA=LOFC,結

合4。=CO,利用44s證明△AOE^LCOF,根據全等三角形的性質及線段的和差求解即可.

此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，熟記平行四邊形的性質是解題的關鍵.

18.【答案】解：(1)把點力(2,6)代入y=mk=2x6=12,

.?.反比例函數的解析式為y=3

???將點4向右平移2個單位，

二%=4,

當x=4時，y==3,

/4

???8(4,3),

設直線的解析式為y=mx+n.

由題意可得《二：：：：

解得卜=-今

In=9

3

???y=-/+9,

當x=0時，y=9,

???C(0,9)；

(2)由(1)知CD=9-5=4,

?*-S“BD=SRBCD-SAACD=|CD-|XB|-|CD-|X^|=|X4X4-|X4X2=4.

【解析】(1)由點4(2,6)求出反比例函數的解析式為y=?,可得A值，進而求得8(4,3),由待定系數法求出

直線48的解析式為y=-1x+9,即可求出C點的坐標；

(2)由(1)求出CO，根據SAABD=SMCD—S“CD可求得結論.

本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，待定系數法求函數的解析式，三角形的面積的計算，求得直線

48的解析式是解題的關鍵.

19.【答案】解：(1)如圖，過點：8作BM_L4F于點M,由題意可知，Z/1=

30%乙DBE=53。DF=600〃i,AB=300〃，，

在班aABM中，LA=30°,AB=300zn,

BM=\AB=150nl=EF,

:.DE=DF-EF=600-150=450(m),

答：登山纜車上升的高度DE為45。血；

(2)在RCZkBOE中，Z.DBE=53°,DE=450m,

：，BD=sin乙DBE

~-4-5-0

0.80

=562.5(m),

需要的時間t=1步行+t纜車

300562.5

10+~60~

?19.4(min),

答：從山底4處到達山頂。處大約需要19.4分鐘.

【解析】(1)根據直角三角形的邊角關系求出BM,進而求出OE即可；

(2)利用直角三角形的邊角關系，求出8D的長，再根據速度、路程、時間的關系進行計算即可.

本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提.

20.【答案】60

【解析】(1)調查的學生共有=羲=60(名)；

故答案為：60；

(2)。合格的人數=60-24-18-3=15(名),

環保知識競賽學生成績條形統計圖

(3)1200x^=480(^),

答：估訂本次競賽獲得8等級的學生有480名:

(4)畫樹狀圖如下：

開始

/N/N/t\/N

男2女1女2男1女1女2男I男2女2男1男2女1

???一共有12中等可能的情況，其中一男一女的情況有8種，

???所選2人恰好是一男一女的概率為卷=I

JL4O

(1)由優秀的人數除以所占百分比即可；

(2)求出C合格的人數，補全條形統計圖即可；

(3)由該校共有學生人數乘以“良好”以上的學生所占的比例即可；

(4)畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中被選中的兩人恰好是一男一女的結果有6種，再由概率公式求

解即可.

此題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以

上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總

情況數之比.

21.【答案】解：(1)當x=10時，〃=：乂10=4(萬元)，

答：將10萬元資金投入4項目，一年后獲得的收益是4萬元；

(2)由題意得：當x=m時，yA=yB,

:，-2m=—~1m2￡+.02m,

力”=8,7712=0(舍去)，

：-m=8；

(3)設投入B項目的資金是t萬元，投入4項目的資金(32-￡)萬元，一年后獲利為十萬元，

由題意得，

W=-jt2+2t+|(32-t)=-1(t-4)2+16,

.?.當t=4時,W最大=16,

32-t=28,

???投入A項目的資金是28萬元，投入B項目的資金是4萬元時，一年后獲利最大.最大值是16萬元.

【解析】⑴把“10代入％從而求得結果；

2

(2)當％=m時，yA=yB^=-1m+2m,從而求得結果；

(3)設投入B項目的資金是t萬元，投入力項目的資金(32-￡)萬元，一年后獲利為W萬元，列出關系式W二

-\t2+2t+^(32-t)=-1(t-4)2+16,進一步得出結果.

本題考查了二次函數及其圖象性質，一元二次方程的解法等知識，解決問題的關鍵是根據題意列出函數關

系式.

22.【答案】(1)證明：??,△A8C為等邊三角形，

:.Z.ACB=60°,AC=BC,

???將CE繞點C順時針旋轉60。得到線段CF,

/.CE=CF,乙ECF=60°,

???△48。星等功三角形，

:.Z.BCA=乙ECF,

???Z.BCE=Z.ACF,

.^BCE^^ACF(SAS),

???“BE=Z.CAF；

(2)證明：如圖所示，過點尸作FK//AD,交。”點的延長線于點K,連接EK,FD,

?.△A8C是等邊三角形,

AB=AC=BC?

???AD1BC,

:，BD=CD,

???力。垂直平分BC,

EB=EC,

又A",

AF=BE,CF=CE,

-.AF=CF,

??.F在AC的垂直平分線上，

-AB=BC,

8在4c的垂直平分線上，

ABF垂直平分力C,

AC工BF,AG=CG=^AC,

Z.AGF=90°,

XvDG=^AC=CG,^LACD=60°,

.?.△OCG是等邊三角形，

:.Z.CGD=Z.CDG=60°,

:?乙AGH=Z.DGC=60°,

...￡KGF=LAGF-￡AGH=90°-60°=30°,

又??乙ADK=LADC-乙GDC=90°-60=30°,KF//AD,

:.乙HKF=乙4DK=30°,

Z.FKG=Z.KGF=30°,

:.FG=FK,

在與R%CGr中，

(CF=CE

(CD=CG'

:.Rt△CED/Rt△CFG,

???GF=ED,

???ED=FK,

???匹邊形EOPK是平行四邊形，

:.EH=HF；

(3)解：依題意，如圖所示，延長AP,DQ交于點R,

由(2)可知△OCG是等邊三角形，

:.Z.EDG=30°,

???將A/IEG沿4G所在直線翻折至△力BC所在平面內，得到A/IPG,將^QEG沿DG所在直線翻折至△4BC所

在平面內，得到ADQG,

A/.PAG=Z-EAG=30°,乙QDG=乙EDG=30°,

???￡PAE=乙QDE=60°,

.?.△4DR是等邊三角形，

:.“DC=匕ADC-乙ADQ=90°-60°=30°,

由Q)可得Rt△CED^Rt△CFG,

???DE=GF,

???DE=DQ,

???GF=DQ,

VLGBC=Z.QDC=30°,

/.GF//DQ,

???匹邊形GDQF是平行四邊形，

QF=DG=\AC=2,

由(2)可知G是/IC的中點，則G/l=GD,

:./.GAD=Z.GDA=30°,

，乙AGD=120°,

?.?折疊,

???￡AGP+乙DGQ=Z-AGE+乙DGE=Z.AGD=120°,

Z.PGQ=360°-2/.AGD=120°,

又PG=GE=GQ,

...PQ=CPG=V3GQ,

???蘭GQ取得最小值時，即GQ_LDR時，PQ取得最小值，此時如圖所示，

F

圖3

GQ=；GC=；DC=1,

PQ=G

PQ+Qf=C+2.

【解析】(1)根據旋轉的性質得出CE=CF,LECF=60°,進而證明ZiBCEg/lACRS/lS),即可得證；試

(2)過點F作FK/L4D,交DH點的延長線于點K,連接EK,FD,證明四邊形四邊形EDFK是平行四邊形，即

可得證；(3)如圖所示，延長4P,DQ交于前R,由(2)可知△OCG是等邊三角形，根據折疊的性質可得

乙PAG=Z.EAG=30°,乙QDG=LEDG=30°,講而得出△ADR是等功三角形，由(2)可得

RtACED^RtACFG,得出四邊形GOQF是平行四邊形，則QF=DC=-4C=2.進而得出。PCQ=360°-

2c4Go=120。，則PQ=43pG=J3GQ,當GQ取得最小值時，即GQJ.OR時，PQ取得最小值，即可求

解.(1)由“S/S”可證△ACFgdBCE,可得結論；

(2)

本題考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，軸對稱的性質，勾股定理，平行四邊形的性質與判定，全等

三角形的性