試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廣東省湛江市2025年普通高考測試（一）數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合A=xx2+2xA．?1,0 B．?2,12．已知向量a=?1,12，b=A．3 B．2 C．5 D．53．在等比數列an中，a3?a5=49A．?567 B．567 C．451 4．一組數據1，3，7，9，mm>0的中位數不小于平均數，則mA．5,7 B．5,15 C．5．一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為3，圓心角為2π3的扇形，在該圓錐內有一個體積為V的球，則該球的體積V的最大值是（A．2π B．23π C．26．已知函數f(x)=sin(2A．7π6 B．π C．π37．已知A?1,0，B1,0，點P滿足PA．334 B．324 C．8．已知定義在R上的函數fx為奇函數，且當x>0時，fx=ex?aA．?2025 B．2025 C．e2二、多選題9．已知A1,6，B2,4，C3,4，D

A．樣本相關系數r變大B．殘差平方和變小C．決定系數R2D．若經驗回歸直線過點3.5,2.810．復數z1，z2滿足z1+zA．z1?zC．z1+z11．設定義在R上的函數fx和gx，記gx的導函數為g′x，且滿足fx+A．f2+fC．n=12025三、填空題12．已知等差數列an的前n項和為Sn，且滿足S2n?1=13．已知tanα+π1214．已知橢圓A:x2a12+y2b12=1a1>b1>0與雙曲線B:x2a22四、解答題15．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且3asinB+bcos(1)求∠B(2)若AD=158，16．已知函數fx=a(1)若a=?8(2)當a<?217．如圖，四棱錐S?ABCD的底面是邊長為2的正方形，每條側棱的長都是底面邊長的2倍，P為側棱S(1)求證：AC(2)求直線SB到平面P(3)請判斷在平面PAC上是否存在一點E，使得△ESB是以S18．已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，A，B分別為C上的點（點A在點B上方）．過點A，B分別作C的切線l1(1)求拋物線C的方程；(2)若直線AB經過點F，求動點P的軌跡以及點P到直線A19．甲參加了一場智力問答游戲，每輪游戲均有兩類問題（難度系數較低的A類問題以及難度系數較高的B類問題）供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個問題．甲遇到每類問題的概率均為12，甲遇到A類問題時回答正確的概率為12，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到B類問題時回答正確的概率為14(1)當進行完2輪游戲時，求甲的總分X的分布列與數學期望．(2)設甲在每輪游戲中均回答正確且累計得分為n分的概率為Gn（ⅰ）證明：Gn（ⅱ）求Gn的最大值以及對應n答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《廣東省湛江市2025年普通高考測試（一）數學試題》參考答案題號12345678910答案ACBBDADDBCDABD題號11答案ABC1．A【分析】解不等式確定集合A，然后由交集定義計算．【詳解】因為A=xx所以A∩故選：A．2．C【分析】根據垂直向量的數量積以及其坐標表示，建立方程，求得參數，利用模長公式，可得答案.【詳解】因為a⊥b，所以a?b=故選：C．3．B【分析】由已知根據等比中項可得a4【詳解】因為a3?a當a4=?7時，故a4=7，所以7所以a8故選：B.4．B【分析】先計算這組數據的平均數，由平均數可得這組數據的中位數只可能是m或7，分兩種情況分別求解即可.【詳解】因為這組數據的平均數為1+所以這組數據的中位數只可能是m或7，若這組數據的中位數是m，則4+m5若這組數據的中位數是7，則4+m5綜上所述，m的取值范圍為5≤故選：B.5．D【分析】根據圓錐側面展開圖可得圓錐的半徑和高，由三角形面積公式即可求解內切球半徑，進而由球的體積公式求出答案.【詳解】由題意得，扇形的弧長l=所以該圓錐的底面圓的半徑r=所以該圓錐的高h=設該圓錐內的球的最大半徑為R，圓錐的軸截面如圖所示：則依題意得S△所以R=所以該球的體積V的最大值是43故選：D6．A【分析】在指定區間內求出相位的范圍，再結合極大值點的意義列出不等式求解.【詳解】當x∈(0,m)時，得π2<2所以m的最大值為76故選：A7．D【分析】由PA=3PB可得點P軌跡方程，然后由直線A【詳解】設Px,y，由P即x?22+y2=當直線AP與圓D相切時，∠PA又PD=3，A又AB=2故選：D．8．D【分析】利用奇函數的性質求出fx的解析式，再按a的不同取值分類討論fx在【詳解】因為定義在R上的函數fx為奇函數，且當x>0所以當x<0時，?x>0，f令ex?a因為ex+e?x若a≤1，則函數fx又x?a?即f?x+若a>1，則a?1>又f?x+可理解為函數fx?a所以由圖象可得a?1≥令ga則g2025=2ge故選：D9．BCD【分析】根據散點圖的性質可知去掉E后相關性變強判斷A選項；殘差平方和以及決定系數判斷BC選項；根據回歸直線的求法和性質判斷D.【詳解】對于選項A：由圖可知，變量x與變量y是負相關，且將數據E5,4所以r變小，故選項A錯誤；對于選項B：將數據E5,4去掉后，變量x所以殘差平方和變小，決定系數R2對于選項D：設經驗回歸方程為y=bx且x=2.5，y=4，可得所以經驗回歸方程是y=故選：BCD．10．ABD【分析】由題意根據韋達定理建立一元二次方程，求得復數，根據模長公式以及復數四則運算，可得答案.【詳解】依題意得，復數z1，z2是方程x2?4解得x=4±4i所以z1z1z1z1故選：ABD．11．ABC【分析】利用已知得出g′(x)的圖象關于1,0對稱，又得出【詳解】由fx+g又fx?1?g所以g′x關于1,又因為gx是奇函數，故g′x是偶函數，所以g對于選項A，因為g′4=所以f2f2025因為g′3=所以n=對于選項D，g′故選：ABC．12．a【分析】設出公差，根據S3=15【詳解】設an的公差為d因為S2所以S3又S3=a1+a2又a1=1故答案為：a13．45【分析】利用同角關系式可求得cos2α+【詳解】tanα+π又cos2α+所以sin=cos故答案為：4514．3【分析】法一：由題意可得焦點三角形為直角三角形，根據橢圓的定義、雙曲線的定義與勾股定理，建立方程組，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由題意可得焦點三角形為直角三角形，根據橢圓與雙曲線焦點三角形面積的二級結論，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.【詳解】法一：因為OP=1設PF1=m，PF依題意有m+n=2a所以22當且僅當e22=所以2e12法二：因為OP=1對于焦點三角形△F1P根據雙曲線的性質可得S=b2所以a12?所以22當且僅當e22=所以2e12故答案為：3215．(1)∠(2)15【分析】1由正弦定理得3sin∠BAC2由題意可得S△ABC=S△【詳解】（1）由正弦定理得3sin又因為sinB≠0所以sin∠∴∠BAC+∴∠BAC又∵∠BA（2）∵AD∴∠∵S所以121所以34即bc=由余弦定理得72即49=b將①代入②得8b所以b+c=所以△ABC16．(1)單調遞減區間為1,3(2)兩個零點，證明見解析【分析】（1）利用導數求得fx（2）先判斷2是fx的一個零點，利用分類討論法，對a【詳解】（1）由題知x>1，當a=?8令f′x=0，得當x∈1,3時，f′當x∈3,+∞時，f（2）解法一：因為f2=0令f′x=0，解得當x∈1,x2當x∈x2,+當a<?2時，xf1下面先證明當x≥1時，令gx=x故gx在1所以gx因為?a>2易知1?a>x2，所以f所以當a<?2時，f解法二：當x=2時，f2令f′x=0，又當x∈1,x0當x∈x0,+所以x=x0當a<?2時，x下證lnx令gx=x當x∈0,1時，g′x<0，從而gx所以當x>1時，所以aln即fx令x1>2?a易得當a<?2時，2?a綜上，當a<?2解法三：令fx當x=2時，f2當x≠2時，令gx易得gx在1,2因為limx所以當x∈2,故當a<?2時，a而當x∈1,故當a<?2綜上可知，當a<?2【點睛】方法點睛：求函數單調區間時，先求函數的導數，令導數為0求出關鍵點，再根據導數在不同區間的正負確定函數的單調區間，這是解決函數單調性問題的基本方法.判斷函數零點個數，先找出一個已知零點，再通過求導確定函數的單調性和極值，然后構造函數證明相關不等式，進而判斷在其他區間是否存在零點，這種方法綜合運用了函數的導數性質和不等式證明.17．(1)證明見解析(2)6(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據線線垂直可證明AC⊥平面（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可利用點面距離的向量法求解.（3）根據線面平行的性質，結合（2）可知Q到平面PAC的距離為62【詳解】（1）證明：如圖，連接BD設AC交BD于點O，連接SO，由S在正方形ABCD又SO∩BD=O，SO又因為SD?平面SB（2）連接PO，因為SB∥平面PAC，SB?所以SB在△SBD中，O為BD的中點，所以點易知直線SO，AC，BD因為正方形AB所以A0,?2,0，C0設平面PAC的一個法向量為m=所以22y=令x=32因為SB∥平面PAC，所以直線SB到平面PBC在法向量m上的投影的模為B所以直線SB到平面PAC（3）不存在．理由如下：根據第（2）問可得直線SB到平面PAC又因為SB∥平面PAC，設點Q為SB的中點，所以點Q假設在平面PAC上存在點E，使得△ESB則有EQ因為EQ=18．(1)y(2)軌跡為直線x=【分析】（1）由題意作圖，根據正三角形的性質與拋物線的性質，可得點的坐標，代入拋物線方程，可得答案；（2）設出直線方程，并聯立拋物線方程，寫出韋達定理，設出切線方程，聯立拋物線方程，寫出根的判別式為零，進而求得切線的交點的坐標，利用點到直線距離公式，可得答案.【詳解】（1）因為△OAB為正三角形時，其面積為483，可得根據正三角形以及拋物線的對稱性，可知此時點A，B關于x軸對稱，所以點A的坐標為12,將點A代入拋物線的方程可得48=24p所以拋物線C的方程為y2（2）易得F1,0．設直線A聯立直線AB與拋物線C的方程可得yΔ=設點A，B的坐標分別為y124根據韋達定理可得y1+y設直線l1的方程為x因為l1是拋物線C的切線，所以l1與聯立兩個方程可得y2Δ=16m所以直線l1的方程為x同理可得直線l2的方程為x計算l1與l2的交點可得y2所以動點P的軌跡為直線x=將點P的橫坐標代入直線l1及l2，可得其縱坐標為y=兩者相加可得2y=y所以點P的坐標為?1所以點P到直線AB的距離d當且僅當m=所以點P到直線AB19．(1)分布列見解析，1(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）當n=1時，G【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分別求解概率即可得分布列和期望；（2）（ⅰ）根據等比數列的定義證明即可；由（ⅰ）可證Gn+1【詳解】（1）X可以取0，1，2，3，4，每次回答A類問題且回答正確的概率為12回答A類問題且回答不正確的概率為12每次回答B類問題且回答正確