試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025屆河北省邢臺市名校協作高三一模數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若，則復數z的虛部是（

）A． B． C． D．3．已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于4，則橢圓的標準方程是（

）A． B．C． D．4．已知為等比數列，為數列的前n項和，，則（

）A．3 B．18 C．54 D．1525．已知，，則（

）A． B． C． D．6．設函數，則不等式的解集為（

）.A． B．C． D．7．已知，若，則（

）A． B． C．15 D．358．存在使不等式成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若（為的離心率），則（

）A． B．的虛軸長為C． D．的一條漸近線的斜率為10．將函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，則（

）A．為函數圖象的一條對稱軸B．C．函數在上單調遞增D．函數的圖象與函數的圖象交點個數為511．如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點滿足：到點與到點的距離之積為4，則下列結論正確的是（

）A．點在曲線上B．點在上，則C．點在橢圓上，若，則D．過作軸的垂線交于兩點，則三、填空題12．若向量，滿足，，則．13．已知底面半徑為3的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個內接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱的側面積為.14．已知，則的最大值為．四、解答題15．某社區組織居民開在垃圾分類知識競賽活動.隨機對該社區名居民的成績進行統計，成績均在內，將成績分成組進行統計分析：第組有人，第組有16人，第組有人，第組有人，第組有人.現使用分層隨機抽樣的方法在第，組共選取人參加垃圾分類志愿者工作.(1)對該社區名居民進行問卷調查，部分數據如下表所示，補全表格數據，并依據小概率值的獨立性檢驗，分析能否認為居民喜歡垃圾分類與性別有關；不喜歡垃圾分類喜歡垃圾分類合計男女合計(2)若從參加垃圾分類志愿者工作的人中隨機選取人參加垃圾分類知識宣講工作，記來自第組的人數為，求的分布列及數學期望.附：，.16．已知函數．(1)時，求的極值；(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍．17．在直三棱柱中，，分別為，的中點，且，．(1)求證：；(2)求二面角的正弦值．18．已知動點M與兩個定點O(0，0)，A(3，0)的距離的比為，動點M的軌跡為曲線C．(1)求C的軌跡方程，并說明其形狀；(2)過直線x＝3上的動點P(3，p)(p≠0)分別作C的兩條切線PQ、PR(Q、R為切點)，N為弦QR的中點，直線l：3x＋4y＝6分別與x軸、y軸交于點E、F，求△NEF的面積S的取值范圍．19．已知函數．(1)若，證明：；(2)記數列的前項和為．（i）若，證明：．（ii）已知函數，若，，，證明：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025屆河北省邢臺市名校協作高三一模數學試題》參考答案題號12345678910答案BBACCBAAABACD題號11答案ACD1．B【分析】先求出集合元素的范圍，再結合交集運算得到結果.【詳解】，又，所以.故選：B.2．B【分析】根據復數的除法運算可得，即可得虛部.【詳解】因為，則，所以復數z的虛部是.故選：B.3．A【分析】由橢圓的離心率和長軸長，結合可得橢圓標準方程.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓方程為：，故選：A.4．C【分析】根據題設有且，即可得公比為3，首項為2，利用通項公式求對應項.【詳解】由題設得，作差可得，即，又為等比數列，故其公比為3，且，即，所以.故選：C5．C【分析】根據得到，結合題目條件可得，利用倍角公式可計算的值.【詳解】∵，∴.∵，∴，∴，即，解得或（舍），∴.故選：C.6．B【分析】首先判斷函數的奇偶性與單調性，根據奇偶性與單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】函數的定義域為，且，即為偶函數，當時與，與均在上單調遞增，所以與均在上單調遞增，所以在上單調遞增，則不等式等價于，即，解得或，即不等式的解集為.故選：B.7．A【分析】利用賦值法可求的值，再利用二項式展開通項公式即可得解.【詳解】令，可得，解得，，展開式中的系數為.故選：A.8．A【分析】根據絕對值的三角不等式和一元二次不等式計算即可.【詳解】存在,不等式成立，變形即成立，由于，因此有，兩邊平方，解得或.故選：A.9．AB【分析】由雙曲線方程可求焦點，的坐標，結合離心率定義求離心率，根據求，再求虛軸長，由此判斷ABC，再由漸近線方程的定義求漸近線，由此確定漸近線的斜率判斷D.【詳解】由，知，，，由，得，即，，所以的虛軸長為，故A，B正確，C錯誤；由的漸近線方程為，得兩條漸近線的斜率分別為，，故D錯誤．故選：AB．10．ACD【分析】利用三角函數平移的性質求得，進而利用三角函數的對稱性判斷A，同時判斷B，利用三角函數的單調性與整體法判斷C，利用三角函數與對數函數的圖象，數形結合判斷D，從而得解.【詳解】對于A，將函數的圖象向左平移個單位，可得到函數的圖象，則，所以為函數圖象的一條對稱軸，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，當時，，而在上單調遞增，所以在上單調遞增，故C正確；對于D，對于，其周期為，最大值為，令，則，令，則，且，因為的定義域為，且，作出與在上的大致圖象，如圖，結合圖象可知，的與函數的圖象交點個數為5，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】由“雙紐線”定義判斷A；由“雙紐線”定義得到，再計算判斷B；由“雙紐線”定義和橢圓定義判斷C；設，由勾股定理得到，再解方程判斷D.【詳解】對于A，，由定義知，A正確；對于B，由點在上，得，化簡得，解得，，B錯誤；對于C，橢圓的焦點坐標恰好為與，則，由，得，則，，C正確；對于D，設，則，而，則，又，則，化簡得，解得，，因此1，，D正確.故選：ACD12．【分析】由兩邊平方結合數量積運算律可求，再結合關系求結論.【詳解】因為，，所以，所以，所以，所以．故答案為：．13．【分析】作出圓錐的軸截面，求出圓錐的高，利用三角形相似求出圓柱的高，再根據側面積公式計算可得.【詳解】如圖作出圓錐的軸截面，根據題意可知,,所以可得,根據三角形相似可得,所以,可求得,根據圓柱側面積公式可得.故答案為：

14．【分析】利用平方的非負性證明，即可得到，再給出的例子即可得到答案.【詳解】因為，所以，故.又因為，故，從而，這就得到.而當，時，有，且.所以的最大值為.故答案為：.15．(1)表格見解析，有關(2)分布列見解析，【分析】（1）根據題干完成聯表，進而求得，即可判斷相關性；（2）根據古典概型概率公式計算公式，進而可分布列與期望.【詳解】（1）補充列聯表如下所示，不喜歡垃圾分類喜歡垃圾分類合計男女合計零假設：居民喜歡垃圾分類與性別無關，則，所以依據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為喜歡垃圾分類與性別有關；（2）用分層隨機抽樣的方法在第，組抽取的人數分別是，，所以可能的取值為，，，，，，所以的分布列為.16．(1)函數取得極大值，無極小值；(2)【分析】（1）首先利用導數判斷函數的單調性，再求函數的極值；（2）利用參變分離，轉化為，恒成立，再轉化為利用導數求函數的最值問題.【詳解】（1）當時，，，，得，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以當時，函數取得極大值，無極小值；（2）由題意可知，，即恒成立，即，恒成立，設，，設，，，設，所以，得（負值舍去），當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的最大值為，即恒成立，所以單調遞減，且，所以當時，，即，單調遞增，當時，，即，單調遞減，所以的最大值為，所以.17．(1)證明見解析(2)．【分析】（1）依題意可得，，即可得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）因為為直棱柱，所以平面，又因為平面，所以，因為，為中點，所以，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以．（2）以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，所以，，設平面的法向量，則，取，又平面的法向量，記二面角為，則，則，即二面角的正弦值為．18．(1)(x＋1)2＋y2＝4，曲線C是以(－1，0)為圓心，2為半徑的圓(2)【分析】（1）設出點M的坐標，利用直接法建立關系式，化簡即可求解；（2）寫出以CP為直徑的圓的方程，然后利用Q，R是兩個圓的交點得到QR所在直線方程，聯立直線QR與圓C的方程，利用韋達定理求出點N的縱坐標，從而得出點N在以OC為直徑的圓上，求出該圓的圓心以及半徑，利用點，直線與圓的位置關系即可求解．【詳解】（1）設M(x，y)，由＝，得＝，化簡得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4，故曲線C是以(－1，0)為圓心，2為半徑的圓．（2）由（1）知C(－1，0)，又P(3，p)，(p≠0)，則線段CP的中點的坐標為，|CP|＝，故以線段CP為直徑的圓的方程為(x－1)2＋＝，整理得x2＋y2－2x－py－3＝0①．由題意知，Q、R在以CP為直徑的圓上，又Q、R在圓x2＋y2＋2x－3＝0②上，由②－①，得4x＋py＝0，所以弦QR所在直線的方程為4x＋py＝0，可得QR恒過坐標原點O(0，0)．由得(16＋p2)y2－8py－48＝0，設Q(x1，y1)，R(x2，y2)，則y1＋y2＝，所以點N的縱坐標＝＝，因為p≠0，所以≠0，所以點N與點C(－1，0)，O(0，0)均不重合．因為N為弦QR的中點，且C(－1，0)為圓C的圓心，所以CN⊥QR，即CN⊥ON，所以點N在以OC為直徑的圓上，該圓的圓心為G，半徑為．因為直線3x＋4y＝6分別與x軸、y軸交于點E、F，所以E(2，0)，F，因此|EF|＝，圓心G到直線3x＋4y＝6的距離d＝＝．設△NEF的邊EF上的高為h，則點N到直線3x＋4y＝6的距離h的最小值為d－r＝－＝1；點N到直線3x＋4y＝6的距離h的最大值為d＋r＝＋＝2．所以S的最小值＝××1＝，最大值＝××2＝．因此△NEF的面積S的取值范圍是．19．(1)證明見詳解(2)（i）證明見詳解；（ii）證明見詳解【分析】（1）先構造函數證明，，再由的單調性得出即可證明；（2）（i）利用錯位相減法求和后放縮即可得證；（ii）利用函數不等式可得，得出遞推關系，累乘后可得，求和即可得證.【詳解】（1）設，當時，，所以在上