球溪高級中學學年（上）高二期末考試（火箭班）數學考生注意：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號寫在本試卷上無效回答非選擇題時，將答案寫在答題紙上寫在本試卷上無效.考試結束后，將本試卷與答題卡一并由監考人員收回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.拋物線的準線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出焦參數，根據焦點的位置確定準線方程．【詳解】由題意焦點在軸正半軸，，，所以準線方程為．故選：C．2.過、兩點的直線方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由截距式得到直線方程.【詳解】由截距式可得直線方程為，A正確，BCD錯誤.故選：A第1頁/共20頁3.已知直線，直線平行，則實數（）A.B.C.或D.不存在【答案】A【解析】【分析】根據兩直線的位置關系，直接求解參數即可.【詳解】由題可得，解得.故選：A4.已知，分別是平面，的法向量，若，則（）A.B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根據法向量定義得到，進而得到，得到方程，求出答案.【詳解】，故，故，解得.故選：A5.點到直線（為任意實數）距離的最大值為（）A.B.1C.D.2【答案】C【解析】到直線法二：利用幾何法即可求出最值.【詳解】法一：點到直線的距離為，第2頁/共20頁，令，當時，，當時，，由對勾函數的性質可知，所以，所以，所以.法二：易知直線過定點，則點到直線的距離最大值為定點到的距離，即.故選：C.6.在棱長為1的正方體中，為線段到平面）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求點到平面的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的一個法向量為，第3頁/共20頁，即，取，又，所以點到面的距離.故選：B.7.某圓拱橋的水面跨度1248為（，）.A.2.5米B.2.7米C.2.9米D.3.1米【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標系，設圖中矩形EFGH為船剛好能通過橋下時的位置，先求得圓的方程，再將代入求得縱坐標判斷.軸的直線為面直角坐標系，設圖中矩形EFGH為船剛好能通過橋下時的位置，則，，，，設圓拱橋所在圓的方程為，由已知得：；解得，.故圓的方程為第4頁/共20頁令，解得結合題意可得這條船能從橋下通過的水面以上最大高度為2.9故選：C.8.法國數學家加斯帕爾?.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程，，分別為橢圓P為蒙日圓CP作橢圓的兩條切線，與蒙日圓C分別交于A，B兩點，若面積的最大值為25，則橢圓的長軸長為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的離心率可得，分析可知為蒙日圓的直徑，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解.【詳解】如圖：因為橢圓的離心率，所以.因為，所以，所以橢圓的蒙日圓C的半徑為.因為，所以為蒙日圓的直徑，所以，所以.第5頁/共20頁因為，當時，等號成立.所以面積的最大值為：.由面積的最大值為25，得，得，進而有，，故橢圓的長軸長為.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于借助基本（均值）不等式分析在何時取得最大值.36分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.記方程所表示的曲線為，則下列命題正確的是（）A.曲線可能為圓B.曲線可能為等軸雙曲線C.若，則為焦點在軸上的雙曲線D.若，則為焦點在軸上的橢圓【答案】ACD【解析】【分析】易知當時，曲線為圓，即A正確，假設曲線為等軸雙曲線，但方程無解，B錯誤；再根據雙曲線標準方程定義可判斷C正確，又利用橢圓標準方程可得D正確.【詳解】對于A，易知當時，即時，曲線方程為，也即，表示圓，即A正確；對于B，若曲線可能等軸雙曲線可知，顯然此方程無解，因此曲線不可能為等軸雙曲線，即B錯誤；第6頁/共20頁對于C，若，可知，方程可化為，此時為焦點在軸上的雙曲線，即C正確；對于D，若，可得，且，所以為焦點在軸上的橢圓，即D正確.故選：ACD10.將25個數排成5行5列：已知第一行，，，，成等差數列，而每一列，，，，都成公比為的等比數列.若，，，則下列結論一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】首先利用等差數列和等比數列性質，列方程組求出公比，公差，進而求出第一行的值，再分類討論計算，逐個判定即可.【詳解】因為第一行成等差數列，設公差為，每列成等比數列，設公比為，則，，，變形三個方程，，，，后兩個聯立得到，即；(?)前兩個聯立得到，即；(??)第7頁/共20頁聯立得到的式子，可解得，即.故B正確.將代入前面式子，當此時，則；，則；，則；當此時，則；，則；，則；綜上所得，A，C錯誤，B，D正確.故選：BD.已知過拋物線焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，則下列結論正確的是（）A.若點，則的最小值為6B.若點N為線段AB中點，則點N的坐標可以是C.若直線的傾斜角為，則D.【答案】ACD【解析】AB計算面積判斷C，應用焦半徑公式計算判斷D.【詳解】對于A，過點A作垂直于準線，垂足，則，當且僅當，，三點共線時取等號，所以的最小值為6，故A正確；第8頁/共20頁對于B，假設點N的坐標是，則，，由直線交拋物線于A，B兩點，得，兩式相減得，即，所以，所以直線的方程為，將代入得，所以直線不過點，不符合題意，故B不正確；對于C，設直線方程為，設，，由得，所以，，所以，所以，故C正確；對于D，設直線方程為，設，，由得，所以，，，即，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知，，則________.第9頁/共20頁【答案】【解析】【分析】利用空間向量坐標運算求解即得.【詳解】.故答案為：13.已知兩直線，互相平行，則________.【答案】2【解析】【分析】本題主要利用兩直線平行的條件來建立關于的方程，進而求解的值.【詳解】因為直線與互相平行，可得.解得.故答案為：2.14.已知P是雙曲線P分別作CA，B，且，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設漸近線的傾斜角為，由，可得，即，設，可得，可得，結合對勾函數的單調性求解.【詳解】設漸近線的傾斜角為，則，，，，設，則，第10頁/共20頁則，，，，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓C的方程為.（1）求圓C關于直線對稱的圓的方程；（2）若點在圓C上運動，求的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值為，最小值為.【解析】1）由圓C標準方程得到圓心為，半徑為1，求得圓心關于對稱的點為即可；（2）由即為點P到原點的距離的平方，利用幾何法求解.【小問1詳解】第11頁/共20頁由圓C的標準方程為，可知圓心為，半徑為1.圓心關于對稱的點為，圓C關于直線對稱的圓的方程為.小問2詳解】即為圓上的點P到原點的距離的平方.圓心到原點的距離為，的最大值為，最小值為.16.已知等差數列的公差，，，成等比數列；數列的前項和，且滿足.（1）求數列，的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1），；（2）【解析】1）根據題目條件得到和，求出首項和公差，得到，再利用求出，為等比數列，故；（2）在（1）基礎上，利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】，故，，，成等比數列，故，即，化簡得，因為，所以，第12頁/共20頁將代入得，，，①中，令得，解得，當時，②，①②得，即，所以為首項為3，公比為3的等比數列，故；【小問2詳解】，故①，所以②，式子①②得，故.17.已知，是雙曲線4長的.（1）求雙曲線C的離心率；（2）直線與雙曲線交于A，B兩點，若四邊形的面積為，求.【答案】（1）（2）6【解析】1）根據條件可求的值，進而求雙曲線的離心率.第13頁/共20頁（2）根據雙曲線對稱性可得三角形的面積為，進而可得點的縱坐標，進而求.【小問1詳解】，，，.，.雙曲線的離心率.【小問2詳解】直線與雙曲線交于A，B兩點，如圖：兩點關于原點為O對稱，設，.又，三角形的面積為.，.又點在雙曲線上，則.所以，所以.18.如圖，等腰梯形ABCD中，，，，于E沿AE翻折至，使得.第14頁/共20頁（1）證明：；（2）求PC與平面PAD所成角的正弦值；（3）求平面PCD與平面PAD的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）.【解析】1）由，得到平面即可求證；（2EDD作于FECEAEP為軸軸軸建立空間直角坐標系，由線面夾角的向量法求解即可；（3）求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；【小問1詳解】，，又沿AE翻折至，，即.平面，平面，平面.又平面，.【小問2詳解】連接ED，過D作于，又四邊形等腰梯形，且，又，.第15頁/共20頁又且，即.又，，平面，平面平面.以E為坐標原點，分別以為軸軸軸建立空間直角坐標系，，，，，.設平面PAD的法向量為則，即令，則，，.設與平面所成角為則與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】設平面的法向量為則，即令，則，，.由（2）知平面的法向量為.平面與平面的夾角的余弦值為.第16頁/共20頁19.動點與定點的距離和P到定直線的距離的比是常數.（1）求動點P的軌跡方程E；（2）過F作斜率不為0的直線與E交于A，B兩點，①過原點O作的平行線與E交于Q點，證明：為定值；②設點，直線AG與E交于點C，BG與CF交于點D，求點D的縱坐標的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②.【解析】1）根據題意，由求解；（2）①設，，分別與橢圓方程聯立，由，，求解；②解法一：設，，，根據B，D，G共線，C，D，F共線，得到求解.解法二：由（2）得到，，兩式相除得到，然后由，結合B，D，G共線，C，D，F共線得到，再根據點在橢圓上求解.【小問1詳解】解：，.【小問2詳解】第17頁/共20