2024學年第一學期高一年級期末考試數學試題卷命卷人：高峰注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上）1.已知集合，則（）A. B.C. D.R2.函數定義域為（）A. B.C. D.3.已知p：θ為銳角，q：θ為第一象限角，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若，則（）A0 B.1 C. D.5.已知，且，則（）A. B. C. D.6.計算：（）A. B. C. D.7.函數的函數值表示不超過x的最大整數，例如，，則方程的零點個數為（）A.0 B.1 C.2 D.38.已知奇函數的圖象關于直線對稱，且在區間上單調，則的值是（）A B. C. D.2二、選擇題（本小題共3個小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數，則（）A.的最小正周期為 B.的最小正周期為πC.在區間上單調遞增 D.為奇函數10.已知，，且，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.11.已知函數，若方程，則（）A.當或時，方程有個解B.當時，方程有個解C.當或時，方程有個解D.當時，方程有個解三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分）12.已知點是角α的終邊上一點，則_____．13.已知函數為奇函數，則_____．14.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，C為扇形弧上的動點，矩形內接于扇形，則矩形的面積的最大值為_____．四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.求值（1）；（2）．16.已知為銳角，．（1）求證：；（2）的值．17.已知函數.（1）求的最小正周期和圖象的對稱軸方程；（2）當時，求最小值和最大值.18.已知函數（a為常數）是奇函數．（1）求a的值與函數的定義域．（2）若對任意的時，都有恒成立．求實數m的取值范圍．19.對于定義在區間D上的函數，若存在，對任意的，都有，則稱函數在區間D上有“下界”，把稱為函數在D上的“下界”.（1）分別判斷下列函數是否有“下界”？如果有，寫出“下界”，否則請說明理由；；（2）請你類比函數有“下界”的定義，寫出函數在區間D上有“上界”的定義；并判斷函數是否有“上界”，且說明理由.

2024學年第一學期高一年級期末考試數學試題卷命卷人：高峰注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上）1.已知集合，則（）A. B.C. D.R【答案】C【解析】【分析】求解一元二次不等式的解集，然后利用集合的交集運算求解即可.【詳解】或，，所以，故選：C2.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數的解析式有意義，可得不等式組，解之即得函數定義域.【詳解】由函數有意義，等價于，解得且，故函數的定義域為.故選：A.3.已知p：θ為銳角，q：θ為第一象限角，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由θ是銳角,則θ是第一象限角，反之不成立，可得結論.【詳解】由θ是銳角，則θ是第一象限角；反之不成立，例如是第一象限的角，但是不是銳角.所以p是q的充分不必要條件.故選：A.4.若，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數與指數冪的運算性質求解即可.【詳解】因為，所以，故，故選：D5.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函數的誘導公式和同角三角函數關系可得.【詳解】因為，所以，由平方關系可得，所以.故選：B6.計算：（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩角和的正切公式的逆用結合誘導公式求解即可.【詳解】，故選：D7.函數的函數值表示不超過x的最大整數，例如，，則方程的零點個數為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用的定義，進行分段討論，找出與圖象交點個數即可.【詳解】由題，，故時，，與沒有交點，當時，，與沒有交點，當時，，與有一個交點，當時，，與有1個交點，當時，，與沒有交點，故共有2個交點，故選：C.8.已知奇函數的圖象關于直線對稱，且在區間上單調，則的值是（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由條件結合余弦型函數的性質列關系式求.【詳解】因為函數為奇函數，所以，，又函數的圖象關于直線對稱，所以，，所以，，由函數為奇函數且在區間上單調，所以函數在區間，所以函數的周期，所以，又，所以，故選：C.二、選擇題（本小題共3個小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數，則（）A.的最小正周期為 B.的最小正周期為πC.在區間上單調遞增 D.為奇函數【答案】BC【解析】【分析】利用函數的周期定義易判斷AB項，利用正弦函數的單調性和絕對值函數的圖象變換可判斷C項，利用奇函數的定義可判斷D項.【詳解】對于AB，因，故的最小正周期不是，故A項錯誤；假設存在，對于，都有，不妨取，則，而因，，即不存在比更小的正周期，故的最小正周期是,故B項正確；對于C，當時，單調遞減，且為負值，將在上的圖象沿著軸翻折，即得在上的圖象，故在區間上單調遞增，故C項正確；對于D，因的定義域為，且，故不是奇函數，即D項錯誤.故選：BC.10.已知，，且，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A、B、D選項可直接利用基本不等式判斷是否正確，C選項可通過基本不等式進行計算并判斷出是否正確.【詳解】A．因為，所以，所以，取等號時，故正確；B．因為，取等號時，故正確；C．因為，取等號時，故錯誤；D．因為，所以，取等號時，故正確.故選：ABD.【點睛】本題考查基本不等式鏈的簡單運用，難度一般.當時，，當且僅當時取等號.11.已知函數，若方程，則（）A.當或時，方程有個解B.當時，方程有個解C.當或時，方程有個解D.當時，方程有個解【答案】BCD【解析】【分析】根據分段函數的性質及函數單調性與最值情況，數形結合，轉化為函數圖像與直線交點情況.【詳解】由已知，當時，，此時函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，，當時，，函數上單調遞增，且此時，做出函數圖像如圖所示，方程解可轉化為函數與函數的交點橫坐標，當時，函數與函數有一個交點，即方程有個解；當時，函數與函數有兩個交點，即方程有個解；當時，函數與函數有三個交點，即方程有個解；當時，函數與函數有兩個交點，即方程有個解；即A選項錯誤，BCD選項正確；故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分）12.已知點是角α的終邊上一點，則_____．【答案】##【解析】【分析】先求出的值，再根據三角函數的定義計算即得.【詳解】點即，依題意，.故答案為:.13.已知函數為奇函數，則_____．【答案】【解析】【分析】由奇函數的定義求解即可.【詳解】函數為奇函數，其定義域為，所以，所以，即，所以，所以.故答案為：14.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，C為扇形弧上的動點，矩形內接于扇形，則矩形的面積的最大值為_____．【答案】##【解析】【分析】利用三角函數的定義表示出點，在直角三角形中表示出，進而得出矩形的面積表達式，從而得到最大值.【詳解】設點，由則，所以矩形的面積，由，，，，當且僅當時取到最大值.故矩形面積的最大值為故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15求值（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分數指數冪的運算性質計算即得；（2）利用對數的運算性質和換底公式計算即得.【小問1詳解】；【小問2詳解】.16.已知為銳角，．（1）求證：；（2）的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由兩角和的正弦公式展開求解出，然后證明即可；（2）由（1）求出值，然后利用平方和關系結合角的范圍求解即可.【小問1詳解】證明：因為，所以，又，所以，所以，即所以【小問2詳解】，所以，因為為銳角，所以，所以，所以，所以.17.已知函數.（1）求的最小正周期和圖象的對稱軸方程；（2）當時，求的最小值和最大值.【答案】（1），對稱軸，；（2）最小值為0，最大值為.【解析】【分析】（1）將函數化簡，再根據正弦型函數的圖象和性質求最小正周期和對稱軸即可.（2）用換元法將求的最值轉化成，再根據正弦型函數的圖象和性質求最值即可.【詳解】解：，（1）最小正周期為，由，得出對稱軸，；（2），令，則，，即最小值為0，最大值為.18.已知函數（a為常數）是奇函數．（1）求a的值與函數的定義域．（2）若對任意的時，都有恒成立．求實數m的取值范圍．【答案】（1）；函數的定義域為；（2）【解析】【分析】（1）根據函數的奇偶性定義，求得，再通過函數解析式舍去，求解一元二次不等式即得函數的定義域；（2）先根據對數型復合函數的單調性求出函數在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出參數m的取值范圍.【小問1詳解】因是奇函數，故，即得，則有，因不恒為0，故，當時，，由，可得，即函數的定義域為：，又，故是奇函數；當時，因，函數沒有意義.綜上，且函數的定義域為.【小問2詳解】由（1）得，因，函數在上為減函數，故得，又因在上為增函數，故有，即，依題意對任意的恒成立，故，解得，故實數m的取值范圍為.19.對于定義在區間D上的函數，若存在，對任意的，都有，則稱函數在區間D上有“下界”，把稱為函數在D上的“下界”.（1）分別判斷下列函數是否有“下界”？如果有，寫出“下界”，否則請說明理由；；.（2）請你類比函數有“下界”的定義，寫出函數在區間D上有“上界”的定義；并判斷函數是否有“上界”，且說明理由.【答案】（1）無下界，理由見解析；有下界，為8；（2）答案見解析，無“上界”，理由見解析【解析