2017年北京市海淀區高考數學一模試卷（文科）一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，則集合A∩B等于（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}2．圓心為（0，1）且與直線y=2相切的圓的方程為（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=13．執行如圖所示的程序框圖，輸出的x的值為（）A．4 B．3 C．2 D．14．若實數a，b滿足a＞0，b＞0，則“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長棱的長度為（）A． B． C． D．36．在△ABC上，點D滿足，則（）A．點D不在直線BC上 B．點D在BC的延長線上C．點D在線段BC上 D．點D在CB的延長線上7．若函數的值域為[﹣1，1]，則實數a的取值范圍是（）A．[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，1] D．（﹣1，0）8．如圖，在公路MN兩側分別有A1，A2，…，A7七個工廠，各工廠與公路MN（圖中粗線）之間有小公路連接．現在需要在公路MN上設置一個車站，選擇站址的標準是“使各工廠到車站的距離之和越小越好”．則下面結論中正確的是（）①車站的位置設在C點好于B點；②車站的位置設在B點與C點之間公路上任何一點效果一樣；③車站位置的設置與各段小公路的長度無關．A．① B．② C．①③ D．②③二、填空題（每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上）9．已知復數z=a（1+i）﹣2為純虛數，則實數a=．10．已知等比數列{an}中，a2a4=a5，a4=8，則公比q=，其前4項和S4=．11．若拋物線y2=2px的準線經過雙曲線的左焦點，則實數p=．12．若x，y滿足則的最大值是．13．已知函數f（x）=sinωx（ω＞0），若函數y=f（x+a）（a＞0）的部分圖象如圖所示，則ω=，a的最小值是．14．閱讀下列材料，回答后面問題：在2014年12月30日CCTV13播出的“新聞直播間”節目中，主持人說：“…加入此次亞航失聯航班QZ8501被證實失事的話，2014年航空事故死亡人數將達到1320人．盡管如此，航空安全專家還是提醒：飛機仍是相對安全的交通工具．①世界衛生組織去年公布的數據顯示，每年大約有124萬人死于車禍，而即使在航空事故死亡人數最多的一年，也就是1972年，其死亡數字也僅為3346人；②截至2014年9月，每百萬架次中有2.1次（指飛機失事），乘坐汽車的百萬人中其死亡人數在100人左右．”對上述航空專家給出的①、②兩段表述（劃線部分），你認為不能夠支持“飛機仍是相對安全的交通工具”的所有表述序號為，你的理由是．三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．已知等差數列{an}滿足a1+a2=6，a2+a3=10．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數列{an+an+1}的前n項和．16．某地區以“綠色出行”為宗旨開展“共享單車”業務．該地有a，b兩種“共享單車”（以下簡稱a型車，b型車）．某學習小組7名同學調查了該地區共享單車的使用情況．（Ⅰ）某日該學習小組進行一次市場體驗，其中4人租到a型車，3人租到b型車．如果從組內隨機抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市場體驗過程中租到a型車的概率；（Ⅱ）根據已公布的2016年該地區全年市場調查報告，小組同學發現3月，4月的用戶租車情況城現如表使用規律．例如，第3個月租a型車的用戶中，在第4個月有60%的用戶仍租a型車．第3個月第4個月租用a型車租用b型車租用a型車60%50%租用b型車40%50%若認為2017年該地區租用單車情況與2016年大致相同．已知2017年3月該地區租用a，b兩種車型的用戶比例為1：1，根據表格提供的信息，估計2017年4月該地區租用兩種車型的用戶比例．17．在△ABC中，A=2B．（Ⅰ）求證：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．18．在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分別是PB，PD的中點．（Ⅰ）求證：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱錐P﹣EAD的體積；（Ⅲ）求證：平面EAD⊥平面FAC．19．已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，且|AB|=4，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設點Q（4，0），若點P在直線x=4上，直線BP與橢圓交于另一點M．判斷是否存在點P，使得四邊形APQM為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．20．已知函數f（x）=ex﹣x2+ax，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與x軸平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=ex﹣2x﹣1，求函數g（x）的最小值；（Ⅲ）求證：存在c＜0，當x＞c時，f（x）＞0．

2017年北京市海淀區高考數學一模試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，則集合A∩B等于（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}【考點】交集及其運算．【分析】解不等式求出集合B，根據交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}={x|x＜﹣2或x＞2}，則集合A∩B={x|2＜x＜3}．故選：A．2．圓心為（0，1）且與直線y=2相切的圓的方程為（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1【考點】直線與圓的位置關系．【分析】根據題意設圓方程為x2+（y﹣1）2=r2，由圓心到直線的距離得到半徑r，代入即可得到所求圓的方程【解答】解：設圓方程為x2+（y﹣1）2=r2，∵直線y=2與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑r，∴r=1故圓的方程為：x2+（y﹣1）2=1，故選：C3．執行如圖所示的程序框圖，輸出的x的值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【考點】程序框圖．【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量x的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運行，可得x=0，y=5不滿足條件=，執行循環體，x=1，y=4不滿足條件=，執行循環體，x=2，y=2滿足條件=，退出循環，輸出x的值為2．故選：C．4．若實數a，b滿足a＞0，b＞0，則“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】據a，b的范圍結合函數的單調性確定充分條件，還是必要條件即可．【解答】解：設f（x）=x+lnx，顯然f（x）在（0，+∞）上單調遞增，∵a＞b，∴f（a）＞f（b），∴a+lna＞b+lnb，故充分性成立，∵a+lna＞b+lnb”，∴f（a）＞f（b），∴a＞b，故必要性成立，故“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要條件，故選：C5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長棱的長度為（）A． B． C． D．3【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】將該幾何體放入在長方體中，且長、寬、高為2、1、1，該三棱錐中最長棱為長方體的一條對角線，即可得出結論．【解答】解：將該幾何體放入在長方體中，且長、寬、高為2、1、1，該三棱錐中最長棱為長方體的一條對角線，長度為=，故選B．6．在△ABC上，點D滿足，則（）A．點D不在直線BC上 B．點D在BC的延長線上C．點D在線段BC上 D．點D在CB的延長線上【考點】向量的三角形法則．【分析】據條件，容易得出，可作出圖形，并作，并連接AD′，這樣便可說明點D和點D′重合，從而得出點D在CB的延長線上．【解答】解：==；如圖，作，連接AD′，則：=；∴D′和D重合；∴點D在CB的延長線上．故選D．7．若函數的值域為[﹣1，1]，則實數a的取值范圍是（）A．[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，1] D．（﹣1，0）【考點】分段函數的應用．【分析】根據函數f（x）的解析式，討論x≤a和x＞a時，f（x）∈[﹣1，1]，即可求出a的取值范圍．【解答】解：函數的值域為[﹣1，1]，當x≤a時，f（x）=cosx∈[﹣1，1]，滿足題意；當x＞a時，f（x）=∈[﹣1，1]，應滿足0＜≤1，解得x≥1；∴a的取值范圍是[1，+∞）．故選：A．8．如圖，在公路MN兩側分別有A1，A2，…，A7七個工廠，各工廠與公路MN（圖中粗線）之間有小公路連接．現在需要在公路MN上設置一個車站，選擇站址的標準是“使各工廠到車站的距離之和越小越好”．則下面結論中正確的是（）①車站的位置設在C點好于B點；②車站的位置設在B點與C點之間公路上任何一點效果一樣；③車站位置的設置與各段小公路的長度無關．A．① B．② C．①③ D．②③【考點】進行簡單的合情推理．【分析】根據最優化問題，即可判斷出正確答案．【解答】解：因為A、D、E點各有一個工廠相連，B，C，各有兩個工廠相連，把工廠看作“人”．可簡化為“A，B，C，D，E處分別站著1，2，2，1，1個人（如圖），求一點，使所有人走到這一點的距離和最小”．把人盡量靠攏，顯然把人聚到B、C最合適，靠攏完的結果變成了B=4，C=3，最好是移動3個人而不要移動4個人．所以車站設在C點，且與各段小公路的長度無關故選C．二、填空題（每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上）9．已知復數z=a（1+i）﹣2為純虛數，則實數a=2．【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用純虛數的定義即可得出．【解答】解：復數z=a（1+i）﹣2=a﹣2+ai為純虛數，∴a﹣2=0，a≠0，則實數a=2故答案為：2．10．已知等比數列{an}中，a2a4=a5，a4=8，則公比q=2，其前4項和S4=15．【考點】等比數列的前n項和；等比數列的通項公式．【分析】設等比數列{an}的公比為q，由a2a4=a5，a4=8，可得q2=a2q3，=8，解得a2，q，利用求和公式即可得出．【解答】解：設等比數列{an}的公比為q，∵a2a4=a5，a4=8，∴q2=a2q3，=8，解得a2=q=2．∴a1=1．其前4項和S4==15．故答案為：2，15．11．若拋物線y2=2px的準線經過雙曲線的左焦點，則實數p=4．【考點】拋物線的簡單性質．【分析】求出拋物線的準線x=﹣經過雙曲線的右焦點（﹣2，0），即可求出p．【解答】解：因為拋物線y2=2px的準線經過雙曲線的左焦點，∴p＞0，所以拋物線的準線為x=﹣，依題意，直線x=﹣經過雙曲線的右焦點（﹣2，0），所以p=4故答案為：4．12．若x，y滿足則的最大值是．【考點】簡單線性規劃．【分析】根據已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用角點法，求出目標函數的最大值．【解答】解：滿足約束條件的可行域如下圖中陰影部分所示：則的幾何意義表示平面區域內的點與點（0，0）的斜率的最大值，由解得A（1，）顯然過A時，斜率最大，最大值是，故答案為：．13．已知函數f（x）=sinωx（ω＞0），若函數y=f（x+a）（a＞0）的部分圖象如圖所示，則ω=2，a的最小值是．【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】首先由圖象最高點橫坐標與零點的距離求函數的周期，從而由周期公式求ω，然后由圖象過的已知點求出a．【解答】解：由已知函數圖象得到π，所以T=π，所以=2，又y=f（x+a））=sinω（x+a）且（，1）在圖象上，所以sin2（+a）=1，所以+2a=2kπ，k∈Z，所以k取0時a的最小值為；故答案為：2；．14．閱讀下列材料，回答后面問題：在2014年12月30日CCTV13播出的“新聞直播間”節目中，主持人說：“…加入此次亞航失聯航班QZ8501被證實失事的話，2014年航空事故死亡人數將達到1320人．盡管如此，航空安全專家還是提醒：飛機仍是相對安全的交通工具．①世界衛生組織去年公布的數據顯示，每年大約有124萬人死于車禍，而即使在航空事故死亡人數最多的一年，也就是1972年，其死亡數字也僅為3346人；②截至2014年9月，每百萬架次中有2.1次（指飛機失事），乘坐汽車的百萬人中其死亡人數在100人左右．”對上述航空專家給出的①、②兩段表述（劃線部分），你認為不能夠支持“飛機仍是相對安全的交通工具”的所有表述序號為①，你的理由是數據①雖是同類數據，但反映不出乘車出行和乘飛機出行的總人數的關系；數據②兩個數據不是同一類數據，這與每架次飛機的乘機人數有關；但是可以做如下大致估算，考慮平均每架次飛機的乘機人數為x，這樣每百萬人乘機死亡人數2.1人，要遠遠少于乘車每百萬人中死亡人數．【考點】收集數據的方法．【分析】根據題意，利用數據的收集，分類，歸納，分析可得結論【解答】解：選①，理由為：數據①雖是同類數據，但反映不出乘車出行和乘飛機出行的總人數的關系；數據②兩個數據不是同一類數據，這與每架次飛機的乘機人數有關；但是可以做如下大致估算，考慮平均每架次飛機的乘機人數為x，這樣每百萬人乘機死亡人數2.1人，要遠遠少于乘車每百萬人中死亡人數．故答案為：①；數據①雖是同類數據，但反映不出乘車出行和乘飛機出行的總人數的關系；數據②兩個數據不是同一類數據，這與每架次飛機的乘機人數有關；但是可以做如下大致估算，考慮平均每架次飛機的乘機人數為x，這樣每百萬人乘機死亡人數2.1人，要遠遠少于乘車每百萬人中死亡人數三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．已知等差數列{an}滿足a1+a2=6，a2+a3=10．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數列{an+an+1}的前n項和．【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】（I）利用等差數列的通項公式即可得出．（II）利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）設數列{an}的公差為d，因為a1+a2=6，a2+a3=10，所以a3﹣a1=4，所以2d=4，d=2．又a1+a1+d=6，所以a1=2，所以an=a1+（n﹣1）d=2n．（Ⅱ）記bn=an+an+1，所以bn=2n+2（n+1）=4n+2，又bn+1﹣bn=4（n+1）+2﹣4n﹣2=4，所以{bn}是首項為6，公差為4的等差數列，其前n項和．16．某地區以“綠色出行”為宗旨開展“共享單車”業務．該地有a，b兩種“共享單車”（以下簡稱a型車，b型車）．某學習小組7名同學調查了該地區共享單車的使用情況．（Ⅰ）某日該學習小組進行一次市場體驗，其中4人租到a型車，3人租到b型車．如果從組內隨機抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市場體驗過程中租到a型車的概率；（Ⅱ）根據已公布的2016年該地區全年市場調查報告，小組同學發現3月，4月的用戶租車情況城現如表使用規律．例如，第3個月租a型車的用戶中，在第4個月有60%的用戶仍租a型車．第3個月第4個月租用a型車租用b型車租用a型車60%50%租用b型車40%50%若認為2017年該地區租用單車情況與2016年大致相同．已知2017年3月該地區租用a，b兩種車型的用戶比例為1：1，根據表格提供的信息，估計2017年4月該地區租用兩種車型的用戶比例．【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率．【分析】（Ⅰ）依題意租到a型車的4人為A1，A2，A3，A4；租到b型車的3人為B1，B2，B3；設事件A為“7人中抽到2人，至少有一人租到a型車”，則事件為“7人中抽到2人都租到b型車”．利用列舉法能求出抽取的2人中至少有一人在市場體驗過程中租到a型車的概率．（Ⅱ）依題意，市場4月份租用a型車的比例為50%60%+50%50%=55%，租用b型車的比例為50%40%+50%50%=45%，由此能同市場4月租用a，b型車的用戶比例．【解答】解：（Ⅰ）依題意租到a型車的4人為A1，A2，A3，A4；租到b型車的3人為B1，B2，B3；設事件A為“7人中抽到2人，至少有一人租到a型車”，則事件為“7人中抽到2人都租到b型車”．如下列表格所示：從7人中抽出2人共有21種情況，事件發生共有3種情況，所以事件A概率．（Ⅱ）依題意，市場4月份租用a型車的比例為50%60%+50%50%=55%，租用b型車的比例為50%40%+50%50%=45%，所以市場4月租用a，b型車的用戶比例為．17．在△ABC中，A=2B．（Ⅰ）求證：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．【考點】余弦定理的應用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得，即可證明：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，利用余弦定理，即可求B的值．【解答】（Ⅰ）證明：因為A=2B，所以由正弦定理，得，得，所以a=2bcosB．（Ⅱ）解：由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，因為b=2，c=4，A=2B，所以16cos2B=4+16﹣16cos2B，所以，因為A+B=2B+B＜π，所以，所以，所以．18．在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分別是PB，PD的中點．（Ⅰ）求證：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱錐P﹣EAD的體積；（Ⅲ）求證：平面EAD⊥平面FAC．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）連接BD，與AC交于點O，連接OF，推導出OF∥PB，由此能證明PB∥平面FAC．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA為棱錐P﹣ABD的高．由S△PAE=S△ABE，知，由此能求出結果．（Ⅲ）推導出AD⊥PB，AE⊥PB，從而PB⊥平面EAD，進而OF⊥平面EAD，由此能證明平面EAD⊥平面FAC．【解答】證明：（Ⅰ）連接BD，與AC交于點O，連接OF，在△PBD中，O，F分別是BD，PD的中點，所以OF∥PB，又因為OF?平面FAC，PB?平面FAC，所以PB∥平面FAC．解：（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，所以PA為棱錐P﹣ABD的高．因為PA=AB=2，底面ABCD是正方形，所以=，因為E為PB中點，所以S△PAE=S△ABE，所以．證明：（Ⅲ）因為AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以AD⊥PB，在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，又AE∩AD=A，AE?平面EAD，AD?平面EAD，所以PB⊥平面EAD，又OF∥PB，所以OF⊥平面EAD，又OF?平面FAC，所以平面EAD⊥平面FAC．19．已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，且|AB|=4，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設點Q（4，0），若點P在直線x=4上，直線BP與橢圓交于另一點M．判斷是否存在點P，使得四邊形APQM為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又，b2=a2﹣c2，聯立解出即可得出．（Ⅱ）假設存在點P，使得四邊形APQM為梯形．由題意知，顯然AM，PQ不平行，可得AP∥MQ，，．設點M（x1，y1），P（4，t），過點M作MH⊥AB于H，可得，解得x1，代入橢圓方程，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又因為，所以c=1，所以b2=a2﹣c2=3，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）假設存在點P，使得四邊形APQM為梯形．由題意知，顯然AM，PQ不平行，所以AP∥MQ，所以，所以．設點M（x1，y1），P（4，t），過點M作MH⊥AB于H，則有，所以|BH|=1，所以H（1，0），所以x1=1，代入橢圓方程，求得，所以P（4，±3）．20．已知函數f（x）=ex﹣x2+ax，曲線y=f（x）在點（0，f（0）