學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰工巧解牛知識(shí)?巧學(xué)一、兩角差的余弦公式1。推導(dǎo)方法1（向量法)：把cos（α—β）看成是兩個(gè)向量夾角的余弦，可以考慮利用兩個(gè)向量的數(shù)量積來(lái)研究.如圖3-1-2，設(shè)α、β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P1(cosα,sinα）,P2（cosβ，sinβ)，由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)，所以我們只需考慮0≤α-β＜π的情況.圖3—1—2設(shè)向量a==（cosα，sinα），b==（cosβ,sinβ）,則ab=|a｜·|b|·cos（α-β)=cos（α-β）;另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ,所以cos（α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ。于是對(duì)于任意的α、β都有上述式子成立.圖3—1-32.公式的結(jié)構(gòu)特征記憶要訣公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)之積，連接符號(hào)與左邊的連接符號(hào)相反。3。兩角差的余弦公式Cα—β的應(yīng)用（1)若所求角能表示成兩個(gè)特殊角的差的形式，則所求角的三角函數(shù)值可用兩個(gè)特殊角的三角函數(shù)值表示出來(lái)。(2）已知角α、β的弦函數(shù)值，求cos（α-β）的值.由cos(α—β）的展開(kāi)式可知要求cos（α—β)的值，只需求得α、β的正弦值與余弦值即可.其中sinα、cosα，sinβ、cosβ都是同角的三角函數(shù)關(guān)系。（3)利用兩角差的余弦公式證明三角恒等式。（4）利用兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.學(xué)法一得公式使用時(shí)不僅要會(huì)正用,還要能夠逆用，在很多時(shí)候，逆用更能簡(jiǎn)潔地處理問(wèn)題.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°—20°)=cos30°=.誤區(qū)警示和差角的余弦公式不能按分配律展開(kāi)，即cos(α±β)≠cosα±cosβ.典題?熱題知識(shí)點(diǎn)一已知角α、β的三角函數(shù)值，求cos（α—β)的值例1已知sinα=，α∈(,π),求cos（-α)的值.思路分析：由于是特殊角，根據(jù)cos(-α)的展開(kāi)式，只需求出cosα的值即可。解:∵sinα=,α∈（，π），∴cosα=.∴cos(-α)=coscosα+sinsinα=。例2已知sinα=，cosβ=，α、β均為第二象限角,求cos（α—β）.思路分析：由cos（α—β）的展開(kāi)式可知要求cos（α-β）的值,還需求出cosα、sinβ。解：由sinα=，α為第二象限角，∴cosα=.又由cosβ=，β為第二象限角,∴sinβ=.∴cos（α—β）=cosαcosβ+sinαsinβ=.方法歸納若所求角能用已知角表示出來(lái)，則所求角的三角函數(shù)值可用已知角的三角函數(shù)值表示出來(lái),因此合理進(jìn)行角的變換是解題的關(guān)鍵.例3求函數(shù)y=cosx+sinx的周期、最值及取得最值時(shí)x的集合。思路分析：利用三角恒等變換，先把函數(shù)式化簡(jiǎn)，再求相應(yīng)的值.解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2(cosxcos+sinxsin)=2cos（x-）。所以所求周期為2π。當(dāng)x-=2kπ,k∈Z，即｛x|x=+2kπ,k∈Z｝時(shí),ymax=2；同理,可知當(dāng)｛x|x=-+2kπ，k∈Z｝時(shí)，ymin=-2。例4已知cosα+cosβ=，sinα+sinβ=,求cos（α—β）的值。思路分析:由于兩角和、差的余弦公式與同名的兩個(gè)三角函數(shù)的積有關(guān)，根據(jù)條件，將其平方后即可構(gòu)造出同名的三角函數(shù)之積的形式.解：將cosα+cosβ=，sinα+sinβ=的兩邊分別平方并整理，得cos2α+cos2β+2cosαcosβ=,sin2α+sin2β+2sinαsinβ=.把上述兩式的兩邊分別相加，得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1,即cos(α-β）=.方法歸納要牢記Cα-β的展開(kāi)式的特點(diǎn),著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換是解好本題的關(guān)鍵。知識(shí)點(diǎn)二利用兩角差的余弦公式證明三角恒等式例5利用差角余弦公式證明下列等式：（1)cos（π-α)=—cosα；（2）cos（-α)=-sinα.思路分析：直接利用差角余弦公式展開(kāi),利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)證明。證明：(1）cos(π-α)=cosπcosα+sinπsinα=—cosα+0·sinα=—cosα；(2)cos（—α）=coscosα+sinsinα=0·cosα—1·sinα=-sinα.例6證明cosα+sinα=2cos(—α).思路分析:由于右邊是我們熟悉的兩角差的余弦形式,所以可從展開(kāi)右邊入手,把復(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩單角的三角函數(shù)的形式。證明:∵右邊=2(coscosα+sinsinα)=cosα+sinα=左邊，∴原式成立。知識(shí)點(diǎn)三逆用兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例7化簡(jiǎn)下列各式：(1)cos（α+β)cosα+sin(α+β)sinα；(2)cos50°cos20°+cos40°sin20°。思路分析:逆用兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是觀察題目的特點(diǎn)，從整體出發(fā)，利用誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化成兩角差的形式.逆用公式求值是一種常見(jiàn)思路。解：（1）原式=cos［(α+β）—α］=cosβ；(2）原式=cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos（50°—20°）=cos30°=。方法歸納通過(guò)對(duì)變換對(duì)象和變換目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析,逐步學(xué)會(huì)如何根據(jù)題設(shè)與結(jié)論的特點(diǎn)選擇公式、變形公式，從而找到兩者間的聯(lián)系是我們學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，為此可從角的角度、函數(shù)名稱的角度及式子結(jié)構(gòu)形式的角度入手去分析解決問(wèn)題.問(wèn)題?探究思想方法探究問(wèn)題在三角恒等變換中，角的變換是解決問(wèn)題的有效手段，在本節(jié)當(dāng)中，角有哪些變換方法？在解題中如何應(yīng)用？探究過(guò)程：角的代換的實(shí)質(zhì)是根據(jù)解題的需要靈活處理角的形式，也就是將單角、倍角的形式變成幾個(gè)角的和或差,而這些角的和或差在題目中已知,如：若α、β均為銳角，且cosα=，cos(α+β）=，求cosβ的值。如果展開(kāi)cos（α+β）進(jìn)行運(yùn)算則煩瑣難解，但若利用β=(α+β)—α代換，也就是cosβ=cos［(α+β）—α］，則解法十分簡(jiǎn)便，大大降低問(wèn)題的難度.探究結(jié)論:本節(jié)涉及角的以下幾種變換，在以后解題中常常見(jiàn)到，請(qǐng)你多加注意.常見(jiàn)的角的代換關(guān)系有：α=（α+β）—β；α=β—（β—α)；β=（α+β)-α;2α=［(α+β）+（α—β）］；2β=［（α+β）—(α—β）]等。方案設(shè)計(jì)探究問(wèn)題在自然界中，存在著大量的周期函數(shù)，研究這些周期函數(shù)有利于我們?cè)诳茖W(xué)技術(shù)中加以應(yīng)用。兩個(gè)周期函數(shù)合成后，是否還是周期函數(shù)?如果是周期函數(shù)，那么函數(shù)的類型是否發(fā)生了改變？比如兩個(gè)正弦電流i1=sin（100πt+)和i2=sin(100πt—)合成后是否仍是正弦電流呢?類似地，兩個(gè)聲波和光波合成后又是怎樣的？探究思路:利用現(xiàn)代信息技術(shù)作一研究，可以按下面的程序進(jìn)行操作，也可以設(shè)計(jì)其他的研究方案。1。上網(wǎng)搜尋并安裝繪圖軟件；2。分別選取不同的函數(shù)y=asinx+bcosx，猜想你所選取的y=asinx+bcosx的化簡(jiǎn)后的類型,再利用繪圖工具繪制出其圖象，并與y=asinx+bcosx的圖象對(duì)比；3.嘗試確定猜測(cè)的該類型函數(shù)中的參變量與y=asinx+bcosx中a、b的關(guān)系，得出asinx+bcosx的化簡(jiǎn)公式；4.嘗試采用不同的方法證明得出的結(jié)論，并說(shuō)明與其相關(guān)聯(lián)的三角變換公式之間的聯(lián)系；5.利用結(jié)論求前面提到的兩正弦電流合成后的電流的振幅、周期、初相。探究結(jié)論：由于兩電流分別為i1=sin(100πt+)，i2=sin（100πt—），將它們相加后，可以