學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精皰工巧解牛知識?巧學一、φ對y=sin（x+φ)，x∈R的圖象的影響1.以函數y=sin(x+），x∈R與y=sin（x-)，x∈R為例說明。函數y=cosx=sin（x+)，x∈R的圖象可以看作是把正弦曲線上所有的點向左平移個單位長度而得到的。顯然,y=sin（x+）的圖象可以看作是把正弦曲線y=sinx上所有點向左平移個單位長度而得到的；y=sin(x-)的圖象可以看作是把正弦曲線上所有點向右平移個單位長度而得到的。這函數y=sin（x+）,x∈R與函數y=sin（x-)，x∈R的周期都是2π，用“五點法”畫出它們在［0，2π]上的簡圖.列表：xx+0π2πsin（x+)010-10xx—0π2πsin(x-)010-10描點作圖：圖1從圖1-5-2和表格中都可以看出：在y=sin(x+）與y=sin(x—)的圖象上各恰當地選取一個縱坐標相同的點，它的橫坐標分別比y=sinx的橫坐標小與多.2。一般地，函數y=sin（x+φ)(φ≠0），x∈R的圖象可以看作是把正弦曲線上所有點向左（φ＞0)或向右（φ＜0)平行移動|φ｜個單位長度而得到的，這種變換叫做相位變換.學法一得移圖與移軸是相對的，把圖象向右(左)平移φ（φ＞0）個單位，相當于把y軸向左（右）平移φ（φ＞0）個單位；把圖象向上(下)平移k(k＞0)個單位，相當于把x軸向下(上）平移k（k＞0）個單位，移軸比移圖更容易作出函數的圖象。二、ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響1.以函數y=sin2x，x∈R與y=sinx,x∈R為例說明。由于函數y=sin2x的周期是π，所以可先畫出它在［0，π］上的簡圖,按五個關鍵點列表：x0π2x0π2πsin2x010—10同理，函數y=sinx的周期是4π，所以可先畫出它在［0，4π］上的簡圖，按五個關鍵點列表:x0π2π3π4πx0π2πsinx010-10描點作圖：圖1（1)函數y=sin2x與y=sinx的圖象間的聯系:從圖1-5-3及所列表格中可以看出，函數y=sin2x，x∈［0，π］的圖象上,橫坐標為，x0∈［0，π]的點的縱坐標與正弦曲線y=sinx上橫坐標為x0的點的縱坐標相等.因此，函數y=sin2x，x∈R的圖象,可以看作是把正弦曲線y=sinx，x∈R(2)函數y=sinx與y=sinx的圖象間的聯系從圖1—5—3及所列表格中可以看出，函數y=sinx，x∈[0,4π］的圖象中，橫坐標為2x0，x0∈[0，4π］的點的縱坐標與正弦曲線y=sinx上橫坐標為x0的點的縱坐標相等.因此，函數y=sinx，x∈2.一般地，函數y=sinωx（ω＞0且ω≠1),x∈R的圖象,可以看作是把正弦曲線上所有點的橫坐標伸長(0＜ω＜1）或縮短(ω＞1)到原來的倍（縱坐標不變）而得到的，這種變換稱為周期變換，它是由ω的變化而引起的，ω與周期T的關系是.學法一得函數y=sinωx的圖象是由y=sinx的圖象通過實施周期變換而得到的，其中ω決定函數的周期，它能改變曲線的形狀，φ的值只改變曲線的位置，并不改變曲線的形狀.三、A對y=Asin(ωx+φ）的圖象的影響1.以函數y=2sinx，x∈R，y=sinx,x∈R為例說明。由于這兩個函數的周期都是2π，所以可先畫出它們在［0，2π]上的簡圖，按五個關鍵點列表：x0π2πSinx010-102sinx020-20sinx000描點畫圖：圖15—4利用這兩個函數的周期性，把它們在［0,2π]上的簡圖向左、右擴展,從而得到它們在整個定義域上的簡圖.(1）函數y=2sinx的圖象與y=sinx的圖象之間的聯系通過圖1-5-4及所列表格可知,對同一個x的值,函數y=2sinx，x∈［0，2π］的圖象上點的縱坐標總是等于函數y=sinx,x∈［0，2π］的圖象上點的縱坐標的2倍.根據函數的周期性，它在其他區間上也是如此.所以函數y=2sinx,x∈（2）函數y=sinx的圖象與y=sinx的圖象之間的聯系通過圖154及所列表格可知，對同一個x的值,函數y=sinx，x∈［0，2π]的圖象上點的縱坐標總是等于函數y=sinx，x∈［0，2π］的圖象上點的縱坐標的倍，根據函數的周期性，在其他區間上也是如此。所以函數y=sinx，x∈R的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有點的縱坐標縮短到原來的倍(橫坐標不變）而得到的，從而函數y=sinx，x∈R的值域是[-，］.學法一得一般地，函數y=Asinx，x∈R(A＞0且A≠1)的圖象可以看作是把正弦曲線上所有點的縱坐標伸長（A＞1）或縮短（0＜A＜1)到原來的A倍（橫坐標不變)而得到的。這種變換叫做振幅變換，它是由A的變化而引起的，A叫做函數的振幅，函數y=Asinx，x∈R的值域是［—A，A]。四、函數y=Asin(ωx+φ)與y=sinx圖象間的關系1.以函數y=3sin（2x+),x∈R為例說明。函數y=3sin（2x+)的周期是π,先畫出它在長度為一個周期的閉區間上的簡圖,按五個關鍵點列表：x2x+0π2π3sin（2x+）030-30描點畫圖：圖1—5-5函數y=3sin（2x+)，x∈R的圖象,可看作是先將y=sinx圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到y=sin（x+），x∈R的圖象；再把y=sin（x+），x∈R的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變）,得到y=sin(2x+），x∈R的圖象；最后把y=sin(2x+)，x∈R的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍（橫坐標不變）得到的。2。一般地，函數y=Asin（ωx+φ)（其中A＞0,ω＞0），x∈R的圖象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲線上所有的點向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移動｜φ|個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短（ω＞1）或伸長（0＜ω＜1)到原來的倍(縱坐標不變),再把所得各點的縱坐標伸長（A＞1)或縮短(0＜A＜1)到原來的A倍(橫坐標不變)。聯想發散y=Asin（ωx+φ）(其中A＞0，ω＞0）,x∈R的圖象也可通過下面的方法而得到:先把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短（ω＞1）或伸長（0＜ω＜1)到原來的倍(縱坐標不變），再把所得各點向左(φ＞0）或向右(φ＜0)平移個單位長度，再把所得各點的縱坐標伸長(A＞1)或縮短（0＜A＜1）到原來的A倍(橫坐標不變)。五、A、ω、φ的物理意義當函數y=Asin（ωx+φ)，x∈［0，+∞）（其中A＞0，ω＞0)表示一個振動量時，A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常稱為這個振動的振幅；往復一次所需要的時間,稱為這個振動的周期;單位時間內往復振動的次數,稱為振動的頻率；ωx+φ稱為相位；當x=0時,相位φ稱為初相.例如，函數y=2sin（3x—),x∈［0，+∞）的振幅是2，周期T=，頻率,相位是3x—，初相是。六、函數y=Asin（ωx+φ），x∈R的對稱問題1。對稱軸過函數y=Asin（ωx+φ）,x∈R的圖象的最值點作x軸的垂線，可得該函數圖象的對稱軸.對稱軸可由ωx+φ=kπ+,k∈Z解出,顯然對稱軸有無數條。例如，y=2sin(2x—)圖象的對稱軸方程是2x-=kπ+,k∈Z，即x=，k∈Z.函數y=Acos（ωx+φ)的對稱軸方程可由ωx+φ=kπ，k∈Z解出.2。對稱中心函數y=Asin（ωx+φ)與x軸的交點都叫做該函數的對稱中心,它是函數值等于零的點，由ωx+φ=kπ得x=,即對稱中心是(，0）.顯然，函數y=4sin（2x-)的對稱中心是（，0)。同理，函數y=Acos（ωx+φ）的對稱中心是(，0），顯然，函數y=2cos(2x+）的對稱中心是(，0）。學法一得（1)所謂軸對稱，就是把圖形沿此直線對折，對折后的圖形與原圖形完全重合。由于函數y=Asin（ωx+φ）中的變量x∈R,所以它有無數條對稱軸.（2)所謂中心對稱，就是把圖形繞該點旋轉180°后，所得圖形與原圖形完全重合.由于y=Asin（ωx+φ）的變量x∈R，所以它有無數個對稱中心.典題?熱題知識點一A、ω、φ的求值與圖象的平移例1（1）用“五點法”作函數y=2sin(2x-)，x∈R的圖象，并指出這個函數的振幅、周期和初相；（2）怎樣由y=sinx的圖象,得到y=2sin(2x—)的圖象?解：（1）列表:x2x—0π2π2sin(2x-）020—20描點連線：圖1-5—6把函數y=2sin（2x—)在長度為一個周期的簡圖中向左右擴展，就得到y=2sin（2x-)，x∈R的簡圖.振幅A=2，周期T==π,初相φ=。（2)解：先把函數y=sinx的圖象上所有的點向右平移個單位,得到函數y=sin（x-）的圖象;再把y=sin(x—)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變），得到函數y=sin(2x—）的圖象；最后把y=sin（2x-)圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）,得到y=2sin（2x—),x∈R的圖象。知識點二圖象的平移例2已知函數y=sin（2x+）+，x∈R.（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；(2)該函數的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換而得到？思路分析:本題主要考查三角函數的圖象和性質，求最值時，可把(ωx+φ)視為一個整體.解：（1)要使y取得最大值必須且只需2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kx，k∈Z。所以當函數y取得最大值時，自變量x的集合為｛x｜x=+kπ，k∈Z｝。(2)將函數y=sinx依次進行如下變換：①把函數y=sinx的圖象向左平移個單位，得到函數y=sin（x+）的圖象；②把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變)，得到函數y=sin（2x+)的圖象；③把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變)，得到函數y=sin（2x+）的圖象；④把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數y=sin（2x+)+的圖象。綜上可得函數y=sin(2x+)+的圖象。方法歸納先相位，再周期變換，同先周期，后相位變換一樣，函數y=sinx圖象上的點(0，0）都被變換成了點（，0）.但要注意平移的單位是不同的，先相位后周期,平移的單位為｜φ|；先周期，后相位，平移的單位為.例3把函數y=f（x)的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位,得到曲線y=sinx的圖象，試求函數y=f（x)的解析式。思路分析：一是設f(x)=Asin(ωx+φ），按圖象變換的法則，分兩步,得y=Asin［（x+)+φ］，它就是y=sinx，構造A、ω、φ的方程求解;二是采用逆變換，即把上述變換倒過來，由y=sinx得到y=f（x）。解：設y=Asin（ωx+φ),把它的橫坐標伸長到原來的2倍得到y=Asin(x+φ),再向左平移個單位,得到y=Asin［(x+)+φ］,即y=Asin。由兩個代數式恒等，得∴f（x）=sin(2x—)=—cos2x.巧解提示：將y=sinx的圖象向右平移個單位，得到y=sin(x—)的圖象，再把y=sin（x—)的圖象的所有點的橫坐標縮短到原來的倍,得到y=sin（2x—),即y=cos2x的圖象，所以所求函數f(x）=cos2x.方法歸納平移是相對的，平移的量也不是唯一的，若通過平移φ（φ＞0）個單位能實現圖象間的轉化，那么平移kT+φ（k∈Z,T是函數的最小正周期)個單位也能實現轉化。三角函數的圖象的變換是相對的、互逆的.知識點三已知函數y=Asin（ωx+φ)的圖象,求它的解析式.例4已知函數y=Asin(ωx+φ）,|φ｜＜的圖象，試確定A、ω、φ的值.圖1-5-7解:顯然,A=2.∵T=—（-)=π，∴.從圖1—5—7中可以看出,函數y=2sin(2x+φ）是由y=2sin2x的圖象向左平移個單位得到的,所以y=2sin2（x+)，即φ=.也可利用代點法求φ：由圖可知當時，ymax=2。故有2x+φ=2×+φ=2kπ+，即φ=2kπ+.∵|φ|＜，∴φ=.方法歸納若用代點法確定函數y=Asin（ωx+φ)中的φ值時，能代入最值點更好；若A＞0，ω＞0時，若代入遞增區間中心點的橫坐標，應使ωx+φ=2kπ，k∈Z.若代入遞減區間中心點的橫坐標，應使ωx+φ=2kπ+π,k∈Z，再依據φ的范圍,確定φ的值.例5圖1-5—8是一個按正弦規律變化的交流電的圖象.根據圖象求出它的周期、頻率和電流的最大值，并寫出圖象的函數解析式.圖1-5-8思路分析:通過圖象確定周期T，從而進一步求得ω的值是關鍵,振幅A也可通過識圖求得，初相φ一般通過代點求得。解:由圖象看出，這個交流電的周期T=0.2s，由頻率f與周期T的關系式，得頻率，電流的最大值為10A。由圖1-5—8可知,這個曲線的函數解析式是正弦型函數I=Asin（ωt+φ），其中A=10，ω==10π,再把點(0，10）代入函數解析式I=10sin（10πt+φ），得sinφ=1，取φ=，于是得到曲線的函數解析式為I=10sin（10πt+),t∈［0，+∞）.根據誘導公式,函數式可化為I=10cos10πt，t∈［0,+∞）。方法歸納A表示振動量離開平衡位置的最大距離；ω可由周期T或T的一部分確定；φ可由圖象離原點最近的遞增區間中心點的橫坐標確定，也可用代點法確定.問題?探究思想方法探究問題如何理解函數y=A1sin(ω1x+φ1)與函數y=A2sin（ω2x+φ2)圖象間的關系?探究過程：設函數y=2sin（x+)，x∈R的圖象為C，要得到y=3sin(x+)，x∈R的圖象，只需把C上所有點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）；要得到y=2sin（x+)，x∈R的圖象,只需把曲線C上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變);要得到y=2sin（x+）,x∈R的圖象，只需把曲線C上所有的點向左平移個單位長度；要得到y=2sin(x+)+2的圖象,只需把曲線C上所有點向上平移2個單位。對于余弦函數也是如此。不同名稱的弦函數間的關系，可先統一函數名稱，如y=sin(2x—)與y=cos2x圖象間的關系，由于y=sin（2x-)=cos［—(2x—）］=cos(-2x)=cos(2x-)，所以只需把y=sin(2x-)的圖象向左平移個單位長度，即可得到y=cos2x的圖象.把y=cos2x的圖象向右平移個單位，便可得到y=c