學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2。2直接證明與間接證明2.2。1直接證明知識梳理證明是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的，這種證明通常稱為____________，其一般形式為本題結論.其中從已知條件出發，以已知的定義、定理、公理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止，這種證明方法稱為_____________，推證過程為已知條件…………結論.而從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件,逐步上溯直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止，這種證明方法常稱為____________，推證過程為…………。知識導學綜合法與分析法都是直接證明。綜合法是從已知條件出發，經過推理，導出所要結論，步驟比較簡潔明了，但入手點比較難找,而分析法則是從要證的結論出發，尋求它的論據,直至歸結到題設條件(結論成立的充分條件)，運用綜合法證明需先對題目進行分析，找到證明的出發點，兩者相輔相成，辯證統一.疑難突破綜合法與分析法的比較剖析：一般地,對于命題“若A則D”，用綜合法證明時，思考過程可表示為綜合法的思考過程是由因導果的順序，是從A推演到達D的途徑，但由A推演出的中間結論未必唯一，如B，B1，B2等。由B，B1，B2推演出的進一步的中間結論則可能更多，如C，C1，C2，C3，C4等，最終能有一個(或多個）可推演出結論D即可.用分析法思考數學問題的順序可理解為（對于命題“若A則D”)分析法的思考順序是執果索因的順序.是從D上溯尋其論據，如C，C1，C2等，再尋求C，C1，C2的論據，如B，B1，B2，B3，B4等等，繼而尋求B,B1，B2,B3，B4的論據，如果其中之一B的論據恰好為已知條件，于是命題得證。用分析法與綜合法來敘述證明，語氣之間也應當有區別，在綜合法中，每個推理都必須是正確的,每個論斷都應當是前面一個論斷的必然結果，因此所用語氣必須是肯定的，而在分析法中，就應當用假設的語氣，習慣上常用這樣一類語句：假如要A成立，就必須先有B成立；如果要有B成立，又只需有C成立……這樣從結論一直推到已知條件。當我們應用分析法時,所有各個中間的輔助命題,僅僅考慮到它們都是同所要證明的命題是等效的，而并不是確信它們都是真實的，直至達到最后已知條件或明顯成立的事實后,我們才確信它是真實的，從而可以推知前面所有與之等效的命題也都是真實的，于是命題就被證明了.典題精講【例1】設數列｛an}的前n項和為Sn，且(3-m)Sn+2man=m+3（其中m為常數,n∈N*)，且m≠-3.（1)求證：｛an｝為等比數列；（2)若數列{an｝的公比q=f（m)，數列{bn}滿足b1=a1,bn=f（bn—1）(n∈N＊，n≥2）,求證:{｝為等差數列。思路分析：本題要證數列為等差、等比數列，所以需按定義研究an+1與an的關系，而已知為Sn,需將Sn化為an，它們之間的關系為an=證明：(1）由（3-m)Sn+2man=m+3得(3-m）Sn+1+2man+1=m+3，∴（3+m)an+1=2man(m≠—3)?！??！啵鸻n}為等比數列。（2）由已知q=f（m）=,b1=a1=1，∴當n≥2時，bn=f（bn—1)=.∴bnbn—1+3bn=3bn-1.∴。∴｛｝是首項為1，公差為的等差數列。綠色通道：證明數列為等差、等比數列需緊扣定義，找到an+1與an之間的關系，由已知前n項和Sn，求出an=由已知條件逐步變形得到，從而得證.變式訓練：已知f(x)=,Pn(an,)在曲線y=f(x）上（n∈N*）且a1=1,an＞0.(1)求{an}的通項公式；（2）數列{bn}的前n項和為Tn,且滿足+16n2-8n—3。設定b1的值，使得數列｛bn｝是等差數列。解:(1）由已知Pn在曲線y=f（x）上.∴.∴.∴｛｝是等差數列。=1+4(n—1）=4n—3,∵an＞0，∴an=.（2)∵+(4n—3）(4n+1）,即(4n-3）Tn+1=(4n+1）Tn+(4n—3）(4n+1）,∴.∴｛}為等差數列，首項為=b1+（n-1）=n+(b1—1)。∴Tn=(4n—3）[n+（b1-1)]=4n2+（4b1-7)n-3(b1-1）.要使｛bn}為等差數列,需使b1—1=0,∴b1=1。當b1=1時,Tn=4n2—3n，bn=9n—8，∴{bn}為等差數列?！纠?】如圖2—2—1所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過A作SB的垂線,垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F.求證：AF⊥SC。圖2-2—1思路分析：本題所要證的是線線垂直,可通過線面垂直來判定，而已知條件為線線垂直、線面垂直，通常我們需要將線面垂直轉化為線線垂直，再由線線垂直轉化為線面垂直,從而得證.證明：∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC.∵AB⊥BC，∴BC⊥面SAB?！逜E面SAB,∴BC⊥AE?！逜E⊥SB，∴AE⊥面SBC.∴AE⊥SC。又∵EF⊥SC,∴SC⊥面AEF?！郤C⊥AF。綠色通道：從已知條件及已有定理入手,直接推證，線線垂直與線面垂直相互轉化來加以證明。變式訓練:如圖2-2—2所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD。求證：PC⊥BD.圖2-2-2證明：∵PA⊥面ABCD，PC為平面ABCD的斜線,PC在面ABCD內的射影為AC，連結BD,∵ABCD為正方形,∴AC⊥BD.∴PC⊥BD.【例3】已知a＞b＞0，求證:.思路分析:本題條件較為簡單,結論比較復雜,看上去無從入手,解答問題,所以我們可以從要證的結論手入,一步步探求結論成立的充分條件，即用分析法。證明：要證成立，即成立，∵a＞b＞0，只需證成立。只需證成立，即證，即?！遖＞b＞0,∴成立。∴成立。綠色通道：在已知條件較為簡單，所要證的問題較為復雜，無從入手的情況下,我們可從結論入手逆推，執果索因，找到結論成立的條件，注明必要的文字說明，也可再用綜合法步驟寫出.變式訓練:求證:+2＜2+.證明：法一：要證+2＜2+成立，只需證（+2)2＜(2+）2成立，即＜11+4，即＜，即6＜7，顯然6＜7成立.∴+2＜2+成立.法二：要證+2＜2+成立，只需證2—＜2-成立。只需證1∵2＞2,＞，∴2+＞2+＞0。∴成立.∴+2＜2+成立。問題探究已知三角形三邊長度a、b、c都是整數，并且a≤b≤c,b=k(k為某正整數),求證:符合這樣條件的三角形共有個。導思:尋求這個論題的證明方法時,既要考慮a、b、c是整數，又是三角形三邊的長度以及a≤b≤c,b=k等已知條件，又要考慮滿足這些條件的三角形的個數，即符合條件a、b、c的各種不同數值的組合總數.要證明當b=k時各種組合總數為，就要探索符合條件的a、b、c的各種數值的組合方法.為此，可以通過k的某些特殊值來進行研究.探究：首先設b=k=1，根據條件a≤b≤c，∴a必須是滿足下面條件的整數：0＜a≤b或0＜a≤k即0＜a≤1,∴a=1.當b=k=1,a=1時，由于三角形任一邊必小于其他兩邊的和，∴c必須是滿足下面條件的整數:b≤c＜a+b或1≤c＜2，∴c=1。由此來看，當k=1時，滿足條件的a、b、c的數值只有a=b=c=1的一種組合方法，也就是滿足條件的三角形只有一個，這個結果與求證命題的結果：當k=1時，=1，一致，設k=2,則b=2,a滿足0＜a≤b,即0＜a≤2的整數只有a=1或a=2，又∵b≤c＜a+b,即2≤c＜a+2，∴當a=1,b=k=2時,c=2；當a=2，b=k=2時,c=2或c=3。綜上當k=2時，a、b、c各種數值有（1,2，2),（2，2，2），(2，2，3），即共有三個三角形。這個結果與求證命題的結果也一致.從k=1,k=2的推理過程可以看出,b=k的值確定后,由0＜a≤k，可得a=1，2,…，k-1，k,再由b≤c＜a+b得到a、b、c各種不同數值的組合方法，從而論證。證明:當b=k（k為正整數）時,由已知0＜a≤b且a為整數,∴a=1，2，3,…，k-1,k。