福建省泉州市2025屆高三教學質量檢測（三）數學試題及參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題僅有一個選項正確.1.（）A.B.C.D.2.已知向量合滿足，且，則與的夾角為（）A.B.C.D.3.已知復數滿足，則（）A.B.C.D.4.已知圓柱的底面半徑與球的半徑均為1，且圓柱的側面積等于球的表面積，則該圓柱的母線長等于（）A.B.C.D.5.已知的展開式中的系數為0，則的值為（）A.B.C.D.6.已知拋物線的準線為，點在上，以為圓心的圓與和軸都相切，則該圓被軸解得的弦長等于（）A.B.C.D.7.已知函數，若，，則的值可以是（）A.B.C.D.8.如圖，已知是圓錐的軸截面，分別為的中點，過點且與直線垂直的平面截圓錐，截口曲線是拋物線的一部分.若在上，則的最大值為（）A.B.C.D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數據，現加入兩個正整數構成新樣本數據，與原樣本數據比較，下列說法正確的是（）A.若平均數不變，則B.若極差不變，則C.若，則中位數不變D.若，則方程不變10.已知函數，則（）A.的最小正周期為B.曲線關于直線對稱C.在區間上有4個零點D.在區間內單調遞減11.已知數列的前項和，則下列說法正確的是（）A.若是等差數列，則B.若不是遞增數列，則C.若，則D.若的最小值為，則三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.等比數列中，，，則的前4項和等于.13.如圖，假定兩點以相同的初速度運動.點沿直線做勻速運動，；點沿線段（長度為單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經過的距離（）.令與同時分別從出發，則數學家納皮爾定義為的對數中，與的對應關系就是，其中為自然對數的底.若點從線段的中點運動到靠近的四等分點，點同時從運動到，則.14.設為坐標原點，為橢圓的上頂點，點在上，線段交軸于點.若，且，則的離心率等于.四、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求四邊形的面積.16.如圖，四棱臺中，底面是邊長為4的菱形，，，.（1）證明：平面；（2）證明：平面；（3）若該四棱臺的體積等于，且，求直線到平面的距離.17.設函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區間上單調遞增，求的取值范圍；（3）當時，，求的取值范圍.18.已知雙曲線，點在上，過分別作軸和軸的垂線，垂足分別為和，記線段的中點的軌跡為.（1）求的方程；（2）過的直線與有且只有一個公共點，且與交于兩點.證明：（ⅰ）；（ⅱ）.19.編號為的個球依次被等可能地涂成黑色或白色，設編號為奇數的黑色球的個數為，編號為偶數的白色球的個數為，記事件“”為，.（1）求；（2）當時，求；（3）當時，設，證明：.參考答案一、選擇題題號12345678答案ACDBADBC二、選擇題題號91011答案ACADABD三、填空題12.13.14.四、解答題15.解：（1）在中，由，得，∴，.（2）∵，∴，由（1）可得，在中，由，即，整理得，解得（舍去）或，在中，邊上的高為，故四邊形的面積為.16.解：（1）（1）連結，交于點，連結，則為的中點，由四棱臺，得平面平面，又平面平面，平面平面，∴，又，∴四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，∴平面.（2）取的中點，連結，則，，∴，∴，由（1），知，又，∴，∵，∴，又平面，，∴平面.（3）延長交于點，取的中點，連結交于點，連結，，則的中點均為，，，∵，∴，，又平面，，∴平面，又平面，∴平面平面，過點作于，且平面平面，平面，∴平面，故為點到平面的距離即為直線到平面的距離，∵，∴點到的距離等于點到的距離，又中，，,，設點到的距離為，則，∴，解得，∴直線到平面的距離為.17.解：（1）當時，，則，則曲線在點處的切線斜率為，又∵，∴曲線在點處的切線方程為.（2），由題意得，，恒成立.令，則，且在上單調遞增，令，解得，∴當時，，故單調遞減；當時，，故單調遞增，∴，又，當且僅當，故.（3）∵，∴題意等價于當時，.即，，整理得，∵，∴，故題意等價于.設，則，化簡得，令，其導函數為，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故當時，取到最小值，即，即，∴，∴當，，單調遞減；當時，，單調遞增，∴的最小值為，故.18.解：（1）設,,則，，.又線段的中點為，∴，即①將①代入得.∴的方程為.（2）①當的斜率不存在時，直線為軸，顯然，又雙曲線的對稱性易得.②（ⅰ）當的斜率存在時，設的方程為，則.由，消去，可得，∴，化簡得.將代入得：，整理得：，又，即，∴，即，解得.又，∴，故.（ⅱ）設. 由，消去，可得，當時，由韋達定理得，即.∴點為的中點，即.綜合①②，，.19.解：（1）由涂黑色且編號為奇數的球的號碼和涂白色且編號為偶數的球的號碼構成的集合表示樣本點，則2個球涂色共有4個基本事件，分別為，其中符合的基本事件的有1個，故.同理1,2,3三個球涂色，有8個基本事件，其中符合的基本事件有4個，分別為，故，又，故.（2）考察前個球的涂黑色情況，分為三類.第一類：“奇數數號的黑球個數對于偶數號白球個數”為事件；第二類：“偶數號的白球個數多于奇數號的黑球個數”事件，記為，其概率為，顯然事件是偶數號白球的個數比奇數號黑球的個數至少多1個，∴無論第個球涂黑色還是白色，都不符合事件，即；第三類：“偶數號白球個數與奇數號黑球個數相等”事件為，其概率為，；這三類事件兩兩互斥，且概率之和為1，即.