第頁第六章幾何圖形初步6.2.2線段的比較與運算教材分析本節內容是在學生學習了線段、射線和直線的概念后，再進一步認識線段的特性，即通過“疊合法”“度量法”對線段進行長短的比較，“尺規法”畫線段等于已知線段或畫已知線段的和、差、倍等；從運動變化的角度，用數形結合的觀點加深對線段的認識，同時也是進一步學習平面幾何的基礎性知識.在今后的幾何學習中，“疊合法”“尺規法”還有較多的應用，所以它在教材中處于非常重要的位置，不僅在知識上具有承上啟下的作用，而且為今后進行幾何的計算和作圖提供了方法和依據.學情分析學生在小學階段對一些簡單圖形性質的認識，往往是通過觀察和實驗得到的.對圖形的研究也僅僅側重于面積和體積的計算.在思維方法上以形象思維為主，然而單憑形象思維不能解決幾何問題.幾何學習對學生來說普遍感到困難，學生往往無法在已知條件和問題之間架起橋梁，尋找出解決問題的思路；或者借助圖形找到解題思路后無法用數學語言描述解題過程，邏輯推理不夠嚴密.教學建議1．重視知識發生過程教學時以實際出發確定恰當的學習要求，例如，從比較兩人身高過渡到比較線段大小；探究線段的性質時可以通過比較兩地之間的不同路線的長短而得出，從而可以分散難點，提高學生的參與度.2．重視文字語言、符號語言、圖形語言的轉化本節課的基本概念既有嚴謹的數學語言，還有相應的圖形以及對應的符號語言的表示.教學時遵循“幾何模型一圖形—文字一符號”的學習過程，在圖形與等式之間建立一種關系.應當特別注意文字語言、符號語言、圖形語言之間的轉化和運用.3．重視數學學習興趣的培養教學時應注意學生在活動中的主體性，給學生參與數學活動留下充分的時間與空間，引導學生積極參與、主動探究、合作交流，積累活動經驗，獲得成功體驗，調動學生的學習積極性，培養學習數學的興趣.教學目標1．會比較兩條線段的長短；會用尺規作一條線段等于已知線段，理解線段等分點的意義．2．能夠運用線段的和、差、倍、分關系求線段的長度．3．體會文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉化．4．了解兩點間距離的意義，理解“兩點之間，線段最短”的基本事實，并學會運用．重點難點重點“兩點之間，線段最短”的基本事實；用多種方法（觀察法、度量法、疊合法）比較線段的長短；尺規作圖.難點線段的運算.教學設計教學準備課件、圓規、直尺、刻度尺.導入新課問題1：通過下面三幅圖，你能抽象出什么幾何圖形？師生活動：教師提出問題，學生主動思考并積極回答（線段、直線和射線）.問題2：在線段、射線、直線中，哪一種是可以度量的？師生活動：教師提出問題，學生回答.結論：只有線段有兩個端點，它是有長度的，可以度量！【設計題圈】通過問題的提出，引導學生回顧舊知識，為學習新知識作準備.高效課堂主題一：線段長短的比較情境：在班中找兩名身高不同的學生來到講臺前.問題1：如何比較兩人的身高，你有幾種方法？師生活動：教師提出問題，學生分組討論、探究合作交流.學生發表見解，比較兩名學生的身高并用語言敘述，教師適時評價總結，得出結論：（1）目測法；（2）測量法；（3）站在一起比（疊合法）．【設計意圖】通過生活中的實例激發學生的學習興趣，為引出數學中的線段長短比較作準備，體現了“奴子不源于生活”的理念.提問：在數學中，是否也存在可以進行長短比較的事物呢？我們能否借助于比較兩名學生身高的方法來類比比較兩條線段的長短呢？教師板書課題，用課件出示兩條長度不同的線段AB，CD.問題2：你能否準確判斷這兩條線段的長短呢？師生活動：學生動手操作并用自己的語言敘述線段長短的比較方法，教師適時進行評價.注意引導學生思考各種比較方法的優缺點.師生共同總結得到：方法1：目測法．適用于線段差別較大時，用觀察和估測就可以比較長短．但當兩條線段的長短相近時要用測量法或疊合法加以比較.方法2：度量法．先用一把刻度尺分別量出兩條線段的長度，再進行比較．方法3：疊合法．先把兩條線段的一端重合，另一端落在同側，再根據另一端落下的位置來比較.例如，把線段AB，CD放在同一直線上比較，使端點A與C重合，端點B與D落在A的同一側.（1）如圖，當點B與端點D重合時，線段AB等于線段CD，記作AB=C,（2）如圖，當點D在線段AB的內部時，線段AB大于線段CD，記作AB>CD;（3）如圖，當點D在線段AB的延長線上時，線段AB小于線段CD，記作AB<CD.【設計意圖】通過比較身高的情境，用類比的思想比較線段的長短.通過對比，使學生了解度量法和疊合法分別是從“數值”和“形”的角度來進行線段的長短比較.問題3：畫在黑板上的兩條線段是無法移動的，如何用疊合法來比較它們的長短？教師引導學生借助圓規來進行比較并指出：為進行線段的比較，需要畫一條線段等于已知線段，然后給出尺規作圖的概念，最后以例題的形式給出如何用尺規作一條線段等于已知線段.尺規作圖：用沒有刻度的直尺和圓規作圖，叫作尺規作圖.例1如圖，已知線段a，用直尺和圓規作一條線段，使它等于已知線段a．作法：①任意畫一條射線AC；②用圓規量取已知線段a的長度；③在射線AC上截取AB=a.線段AB就是要求作的線段.教師指出：用這種方法可以將一條線段移到另一條線段上，從而用疊合法比較線段的長短.師生共同進行方法歸納（如下表）：方法工具特點觀察法無線段長短相差明顯度量法刻度尺精準疊合法直尺，圓規更精確［設外題圈］通過例題幫助學生掌握“作一條線段等于已知線段的ハ加分主題二：線段的基本事實問題11如圖，從A地到B地有四條路線可供選擇，其中哪一條路線最短？師生活動：教師提出問題，學生分組討論.教師引導學生把四條路線看成各種形狀的軟線，將它們展直，用度量法、疊合法、觀察法比較它們的長度.師生共同總結線段的基本事實：兩點的所有連線中，線段最短.簡單說成：兩點之間，線段最短.【設計意圈】利用生活中可以感知的情境，極大激發學生學習興趣，使學生感受生活中所蘊含的數學道理，理解“兩點之間，線段最短”這一基本事實.問題2：人們修建公路遇到大山阻礙時，為什么時常打通一條穿越大山的直的隧道？學情預設：兩點之間，線段最短.教師指出：連接兩點的線段的長度，叫作這兩點間的距離.注意：“線段的長度”和“線段”不是同一個概念.“線段”是圖形，而距離指的是“線段的長度”，是一個數值而非線段本身.【設計意圖】鞏固所學知識，讓學生深刻體會“數學來源于生活并服務于生活”.學習兩點間的距離的概念，為后面學習有關距離的概念奠定基礎.主題三：線段的運算問題：我們知道，線段有長短，那么線段可以運算嗎？應該如何進行運算？探究1：如圖，已知線段a和線段b，請用尺規作圖畫出線段AC，使線段AC的長度等于a和b的長度和，并嘗試用式子表示出來.a教師演示：在直線上作線段AB=a，再在AB的延長線上作線段BC=b，線段AC就是a與b的和，記作AC=a+b（圖1）．圖1圖2提問：剛剛老師演示了如何表示線段和，你能借助尺規作圖表示線段的差嗎？學情預設：設線段a>b，如果在線段AB上作線段BD=b，那么線段AD就是a與b的差，記作AD=a-b（圖2）．例2如圖，已知線段a，b，作一條線段，使它等于2a-b.師生活動：教師引導學生可以把2a-b看成a+a-b，即結合了探究1中的求線段和及線段差，學生嘗試作圖.解：如圖，在直線上作線段AB=a，再在線段AB的延長線上作線段BC=a，則線段AC=2.0在線段AC上作線段∩=h.則線段A∩=2a-b歸納：線段和的實質就是線段的長度和，線段差的實質就是線段的長度差.【設計意圖】通過學生動手操作體會線段和與差的實質，提高學生分析問題和解決問題的能力，鍛煉學生的幾何語言表達能力，讓學生體驗成功，樹立自信心，學生模仿教師描述結論，有利于規范語言，培養學生學習的主動性.探究2：線段AB上一點M有沒有一種特殊位置，使得AM=BM，若有，此時三條線段之間又存在怎樣的關系？師生活動：教師提出問題，學生小組探究并派代表發言.教師畫出圖形，明確中點的概念：如圖，點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點M叫作線段AB的中點.教師繼續提出問題：（1）你能用符號表示圖中三條線段之間的關系嗎？（2）類似線段的中點，還有線段的三等分點，一條線段的三等分點有幾個？四等分點呢？教師關注學生是否理解三等分點、四等分點的含義.學情預設：對于（1），A