2024年廣東省惠州市惠陽區中考數學一模試卷

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）2024的相反數是（）

A.2024B.-2024C]D，^024

2024

是由四個大小相同的小正方體拼成的幾何體,則這個幾何體的左視圖是（）

B.Elc.于D.哈

3.（3分）2024年3月30日，中國散裂中子源二期工程在廣東東莞啟動建設，二期工程將在原裝備基礎

上增設科研設備，全球建成的敵裂中子源裝備僅有4個，中國散裂中子源被譽為探索物質材料微觀結構

的“超級顯微鏡”，解決國家重大需求和產業發展中的關鍵科學問題提供科技利器.已知中子的半徑約

為0.0000000000000016/〃，將0.0000000000000016〃?用科學記數法表示為（）

A.16X10-14B.1.6X1014

C.1.6X10'15D.0.16X10-14

4.（3分）若分式」一有意義，則入?的取值范圍是（）

X-1

A.xXOB.工#-1C.工#1D.

5.（3分）“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植的雜交

水稻苗的長勢，從稻田中隨機抽取7株水稻苗，測得苗高（單位：c，〃），24,23,26,23'：）

A.24,25B.23,23C.23,24D.24,24

6.（3分）在平面直角坐標系中，點P（-1,）位于（）

A.第一-象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（3分）如圖，直線CDJ_AB于點。，Zl=50°,則N8C。的度數為（）

A.50°B.45°C.40°D.30°

8.（3分）如圖，數軸上表示實數位的點可能是（)

1P4?Q.1RS

-10123

A.點PB.點。C.點RD.點S

9.（3分）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，則

10.（3分）二次函數（aWO）的圖象如圖所示，對稱軸是直線4=1；②方程：CLv2+/a+c=O

（g0）必有一個根大于2且小于3；③若（0,y）,（―,y）?那么yiV”：?ll?+2c>0；⑤對

122

于任意實數機，都有機（〃加+〃），其中正確結論的是（）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）因式分解：9a2-9=.

12.（3分）計算：?-（3-兀）°=-

13.3（分）一個多邊形的內角和是720°,這個多邊形的邊數是.

14.（3分）對一個實數”按如圖所示的程序進行操作，規定：程序運行從“輸入一個實數x”到：“判斷結

果是否大于190?”為一次操作.如果操作只進行一次就停止，則x的取值范圍是.

輸入是

X3—>-2—>>190——?停止

否

15.（3分）如圖，四邊形A8C。是。0的內接四邊形，BC是0。的直徑，若NOBC=30°,則NBA。的

度數是。.

16.（3分）如圖，已知一次函數與反比例函數的圖象交于第一象限內的點A/，8）和〃

（4,m），過點B作8Q_Lx軸于點Q.若△AOP的面積記為Si,△BOQ的面積記為S2,則Si52

三、解答題（一）（本大題共3小題，第17題8分，第18題6分，第19題7分，共21分）

17.（8分）（1）解方程：?-4x=0；

（2）先化簡，再求值：，其中。=?4.

2

a-1a-l

18.（6分）在植樹節到來之際，為激發同學們愛護植物，保護生態環境的意識，兩個年級平均每小時共植

樹35棵，求八年級平均每小時植樹多少棵？

19.（7分）如圖，已知。為8c的中點，DEA.AB,點￡,尸為垂足，NBDE=30°,求證：△A8C是等

邊三角形.

E

BDC

四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

20.（9分）如圖，在中，ZACB=90°.

（1）請用直尺和圓規按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：

①作NACB的平分線，交斜邊AB于點D；

②過點。作AC的垂線，垂足為點￡

（2）在（1）作出的圖形中，若C8=4,則。￡=

21.（9分）非物質文化遺產是中華民族古老生命記憶和活態的文化基因，惠州市的非物質文化遺產資源豐

富，涵蓋了多種形式和風格.某學校為了讓學生深入了解非物質文化遺產，B龍門農民畫，C惠州剪紙,

E客家涼帽（竹編技藝）的相關傳承人進校園宣講，選擇自己喜歡的項目（假設每名學生只能選擇一項）,

并將投票結果繪制成如圖兩幅不完整的統計圖：

根據以上信息，解決下列問題：

（1）參與此次抽樣調查的學生共人,補全統計省1（要求在條形圖上方注明人數）；

（2）若七年級學生共有1200人，根據調查結果，試估計七年級喜歡“莫家拳”項目的學生人數；

（3）若該學校決定邀請兩位非遺傳承人進校園宣講，請用畫樹狀圖或列表的方法，求選中8龍門農民

畫和C惠州剪紙這兩個項目的概率.

ffll

22.(9分)綜合與實踐：根據以下素材，探索完成任務.

問題：你了解黃金矩形嗎？

問題背景

素材一矩形就是長方形，四個角都是90°,兩組時邊平行且相等

素材二寬與長的比是近二1

2

(約為0.618)的矩形

叫做黃金矩形.黃金矩

形給我們以協調、勻稱

的美感.世界各國許多圖1

著名的建筑，為取得最

佳的視覺效果

素材三我們在學習二次根式例如：

時.常遇到,這種2_______2(V§-1)_2(百-1)

“IV3+1(V3+1)(V3-1)(V3)2-12

分母含有無理式的式

子，需要通過分式性質

和平方差公式來進行

化簡.我們稱之為“分

母有理化”.

素材四黃金矩形是可以通過—

折紙折疊出來的

操作步驟【第一步】在一張矩形

紙片的一端，利用圖2

所示的方法折出一個

正方形，然后把紙片展

平.

【第二步】如圖3,把圖5

這個正方形折成兩個

相等的矩形，再把紙片

展平.

【第三步】折出內側矩

形的對角線AB,并把

4A折到圖4中所示的

A。處.

【第四步】展平紙片，

按照所得的點。折出

DE,矩形BCOE（圖5）

解決問題

任務一

任務二設MN為筋請用含x

的式子表示AB,并證

明矩形BCDE是黃金

矩形圖5

任務三如圖5,若MN=2,連

接MC（提示：等面積

法）

五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

23.（12分）如圖，P8是。0的切線，切點為B,且出=尸&連接A。并延長交。0于點C，交直線

于點D

（1）證明：PA是。。的切線:

(2)證明：DB?=DC?DA；

(3)若80=4,sinNAOP=2,求線段。尸的長.

5

24.（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=/+hi+c?與x軸交于4（-1,0）,B兩點,與y

軸交于點C（0,-3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,當點。的橫坐標為2時，。為線段4。上一點9,請求出。點坐標；

4

（3）如圖2,點P在y軸的右側，直線AP與），軸交于點M,連接PQ與），軸交于點”，清問嗎，如

QH

果是，請求出這個定值，請說明理由.

圖1圖2

2024年廣東省惠州市惠陽區中考數學一模試卷

參考答案與試題解析

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）2024的相反數是（）

A.2024B.-2024C.——D.-_—

20242024

【解答】解：2024的相反數是?202的

故選:B.

2.（3分）如圖，是由四個大小相同的小正方體拼成的幾何體，則這個幾何體的左視圖是（）

A.2B.BlcFD,

【解答】解：從左邊看第一層是兩個小正方形，第二層左邊一個小正方形，

故選股

3.（3分）2024年3月30日，中國散裂中子源二期工程在廣東東莞啟動建設，二期工程將在原裝備基礎

上增設科研設備，全球建成的故裂中子源裝備僅有4個，中國散裂中子源被譽為探索物質材料微觀結構

的“超級顯微鏡”，解決國家豆大需求和產業發展中的關鍵科學問題提供科技利器.已知中子的半徑約

為0.0000000000000016/〃，將0.0000000000000016〃?用科學記數法表示為（）

A.16X10-14B.1.6X1014

C.1.6X10'15D.0.16X1（/14

【解答】解：0.0000000000000016=1.8X1015,

故選：C.

4.（3分）若分式上有意義，則x的取值范圍是（）

x-l

A.xWOB.K#-1CD.GI

【解答】解：由題可知，

X-1W0,

解得xW5,

故選：C.

5.（3分）“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植的雜交

水稻苗的長勢，從稻田中隨機抽取7株水稻苗，測得苗高（單位：cm）,24,23,26,23（）

A.24,25B.23,23C.23,24D.24,24

【解答】解：這組數據中，出現次數最多的是23,因此眾數是23,

將這組數據從小到大排列，處在中間位置的一個數是24,

印：眾數是23,中位數是24,

故選：C.

6.（3分）在平面直角坐標系中，點P（-1,病+i）位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：???序+1>7,

???點尸（-1,機2+6）在第二象限.

故選：B.

7.（3分）如圖，直線八〃/2,CDLAB于點D,Nl=50°,則NBC。的度數為（）

A.50°B.45°C.40°D.30°

【解答】解：???/1〃/2,

???N6=NA3C=50°.

于點。，

AZCDB=90°.

???/BCO+NQBC=90°,即NBCO+50°=90°.

：.^BCD=40°.

故選：C.

8.（3分）如圖，數軸上表示實數時的點可能是（）

PQRS

14I41

-10123

A.點PB.點0C.點RD.點S

【解答】解：V4>3>4,

.\V4>V3>V2,

.*.2>V3>4.

故選：C.

9.（3分）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，則

C.13D.15

【解答】解：設中間兩個正方形的邊長分別為X、》最大正方形七的邊長為z

入2=3+2=8,）2=2+3=5,z3=.r2+y2=13：

即最大正方形E的面積為：?=13.

故選：C.

10.（3分）二次函數>=加+尿+c（aWO）的圖象如圖所示，對稱軸是直線4=1；②方程：ax1+bx+c=O

（々NO）必有一個根大于2且小于3；③若（0,y）,（―,y）?那么yiV”；@lk/+2c>0；⑤對

122

于任意實數〃2,都有加（〃〃?+〃），其中正確結論的是（）

C.??⑤D.②??

【解答】解：根據圖象可知：4>0,（?<0,

,??對稱軸是直線x=8.

2a

.*./?<3,

:?abc>0.

故①錯誤.

方程af+bM+cng,即為二次函數ynaf+Zu+c（“WO）與x軸的交點,

根據圖象已知個交點?4（用<0,關丁人=2對稱，

，另一個交點2VX2V5.

故②正確.

???對稱軸是直線4=1,

.??點（3,）2）離對稱軸更近，

3'

故③錯誤.

????上=1,

2a

:?b=-6a,

??y=ax1-2ax+c,

根據圖象，令x=-7,

y=〃+2〃+。=3a+c>3,

/.6。+2c>3,

Va>0,

，11。+2c>8,

故④正確.

m（am+b）=am+bm=am-5卬-2a,

am~--a,

印證：-2〃?+220,

m2-4〃?+l=（//:-1）3,

m為任意實數，相2-2〃?+820恒成立.

故⑤正確.

綜上②④⑤正確.

敗選：C.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）因式分解：%』-9=9（〃+1）（〃-1）.

【解答】解：原式=9（J-3）

=9（。+1）（4-3）.

故答案為：9（4+1）（4-3）.

12.（3分）計算：_（2.TT）。=1.

【解答】解：也-（3-兀尸

故答案為：1.

13.3（分）一個多邊形的內角和是720°,這個多邊形的邊數是6.

【解答】解：???多邊形的內角和公式為（n-2）-180°,

J（〃?2）X18O0=720°,

解得〃=5,

???這個多邊形的邊數是6.

故答案為：6.

14.（3分）對一個實數％按如圖所示的程序進行操作，規定：程序運行從“輸入一個實數x”到：“判斷結

果是否大于190?”為一次操作.如果操作只進行一次就停止，則x的取值范圍是一>64.

【解答】解：第一次的結果為：3x-2,沒有輸出，則

3x-2>190,

解得：x>64.

故x的取值范圍是x>64.

故答案為：x>64.

15.（3分）如圖，四邊形ABC。是。0的內接四邊形，BC是00的直徑，若/。BC=30°,則/BAO的

度數是120°.

A

B

【解答】解：???8C是。。的直徑,

，/8。。=90°，

?.?/。3。=30°，

：?NBCD=90°-30°=60°,

T四邊形ABCD是OO的內接四邊形,

???NB4Z)+/BC￡)=180°,

???N84O=180°-60°=120°，

故答案為：120.

16.（3分）如圖，已知一次函數與反比例函數的圖象交于第一象限內的點A弓，8）和8

（4,小），過點B作BQ_Lx軸于點Q.若△4OP的面積記為Si,ZXBOQ的面積記為S2,則5i52

【解答】解：???一次函數3，=力/匕與反比例函數y咚的圖象交于第一象限內的點48），〃?），

,^4=4~X4=4ITI,

乙

01=1,

（6,加）,

VA(上，7),B(4,

?'?S日言PA?OP=JX4=2,S2=NPQ-BQ=-x4X1=5,

.*.Sl=S2.

故答案為：=.

三、解答題（一）（本大題共3小題，第17題8分，第18題6分，第19題7分，共21分）

17,（8分）（1）解方程：?-4A=0；

（2）先化簡，再求值：，其中。=?4.

2

a-1a-l

【解答】解：（1）』-4x=3,

則x（%-4）=0,

.*.x=2或工-4=0,

??.V3=0,X2=8;

（2）原式=（，+-^A（a+1）（a-6）

a-la-la

=a.（a+1）（a-7）

a-la

=〃+l,

當〃=-4時，原式=-8+[=-3.

18.（6分）在植樹節到來之際，為激發同學們愛護植物，保護生態環境的意識，兩個年級平均每小時共植

樹35棵，求八年級平均每小時植樹多少棵？

【解答】解：設七年級平均每小時植樹％棵，則八年級平均每小時植樹（35?x）棵，

根據題意得：毀=工上，

x35-x

解得：x=15,

經檢驗，x=15是所列方程的解，

/.357=20（棵）.

答：七年級平均每小時植樹15棵，八年級平均每小時植樹20棵.

19.（7分）如圖，已知。為8C的中點，DE_LAB,點E,尸為垂足，ZBDE=30°,求證：△ABC是等

邊三角形.

【解答】證明：???。是8C的中點，

:?BD=CD,

*：DELAB,DFLAC,

:ABED和△CFO都是直角三角形，

在RSED和RtZ\CEO中，

：BD=CD,

,BE=CF，

.,.RlABED^RtACFD（HL）,

：,AB=AC（等角對等邊）.

VZBDE=30a,DELAB,

??.N6=60°,

???△/WC是等邊三角形.

四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

20.（9分）如圖，在RlZXABC中，ZACB=90°.

（1）請用直尺和圓規按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：

①作NAC8的平分線，交斜邊4B于點D；

②過點。作4c的垂線，垂足為點￡.

（2）在（1）作出的圖形中，若C8=4,則OE=.

R

【解答】解:(1)如圖所示；

(2)解：是NAC8的平分線,

：.ZBCD=ZACD,

*：DEA,AC,BCA-AC,

：.DE//BC,???ZEDC=NBCD,

:?/ECD=NEDC,：,DE=CE,

\-DE//BC,

???△AOES”BC,

.DE=AE

**BCAC*

設。E=CE=x,則AE=6?x,

???x~-~2-x'9

46

解得：工=衛，

5

即

2

故答案為：12.

21.（9分）非物質文化遺產是中華民族古老生命記憶和活態的文化基因，惠州市的非物質文化遺產資源豐

富，涵蓋了多種形式和風格.某學校為了讓學生深入了解非物質文化遺產，8龍門農民畫，C惠州剪紙,

E客家涼帽（竹編技藝）的相關傳承人進校園宣講，選擇自己喜歡的項目（假設每名學生只能選擇一項）,

并將投票結果繪制成如圖兩幅不完整的統計圖：

根據以上信息，解決卜列問題：

（1）參與此次抽樣調查的學生共120人,補全統計圖1（要求在條形圖上方注明人數）；

（2）若七年級學生共有1200人，根據調查結果，試估計七年級喜歡“莫家拳”項目的學生人數；

（3）若該學校決定邀請兩位非遺傳承人進校園宣講，請用畫樹狀圖或列表的方法，求選中B龍門農民

畫和C惠州剪紙這兩個項目的概率.

【解答】解：（I）抽取人數是：244-20%=120（人）.投票給C的人數是：12OX3O%=36（人）,

投票給E的人數是：120?36-24?36?6=18（人），

圖1

故答案為：120；

（2）。占抽取人數的：64-120X100%=6%.

那么七年級學生共有1200人，按照。抽取率，

所以喜歡“莫家拳”項目的人數大概是：1200X5%=60（人）；

（3）列表法有（A,B）,C）,。），E）,C）,D）,￡）,D）,E）,D）共10種,

所以選中（8,C）的概率是1.io=噌.

22.（9分）綜合與實踐：根據以下素材，探索完成任務.

問題：你了解黃金矩形嗎？

問題背景

素材一矩形就是長方形，四個角都是90°,兩組對邊平行且相等

素材二寬與長的比是逅二1

2

（約為0.618）的矩形

叫做黃金矩形.黃金矩

形給我們以協調、勻稱

的美感.世界各國許多即

著名的建筑，為取得最

佳的視覺效果

素材三我們在學習二次根式例如:

時.常遇到/—這種2_2(V§T)_2(百-1)

V3+1V3+r(V3+l)(V3-l)-(V3)2-12

分母含有無理式的式

子，需要通過分式性質

和平方差公式來進行

化簡.我們稱之為“分

母有理化”.

索材四黃金地形總可以通過

折紙折疊出來的

操作步驟【第一步】在一張矩形

紙片的一端，利用圖2

所示的方法折出一個

正方形，然后把紙片展

平.

【第二步】如圖3,把

這個正方形折成兩個

相等的矩形，再把紙片

展平.

【第三步】折出內側矩

形的對角線AB,并把

AB折到圖4中所示的

AO處.

【第四步】展平紙片，

按照所得的點。折出

DE,矩形8CQE（圖5）

解決問題

任務一化簡：__1_

V2-1

任務二設MN為x,請用含x

的式子表示AB,并證

明矩形BCDE是黃金

矩形圖5

任務三如圖5,若MN=2,連

接A7C（提小：等面積

法）

1二加+1步+1

【解答】解:任務一:=V2+2-

V2-2=(V3-1)(V2+6)=2-1

任務二：設MN為X,則8C=M8=x2a?,

2

'AB=VBC2+AC2=^X2+(4X)2=^X44^-二亨

證明：如圖4,由折疊性質可以知道,

AD=AB,

.J~21V5-1

-CD=AD-AC=AB-AC=^x-^x=v^-

???CD：BC=理工：x=理二，

72

，矩形BC/%是黃金矩形；

任務三：SAMCE=SaMBCtS^BCE,

5V5+1

SMB，BCBCCDX2■------

AMCE44-45

,:MN=2,

,SAMCE=1X22X^￥1=^+1

MC=VMB2+BC7=2>/2

'SAMCE4X2^邛出行EE，

乙

.M遙+8VioW2

，，EH=^7F~一，

/.點E到線段MC的距離是Ml運返.

2

故答案是:正+1；逅』亞叵

25

MBM

NC4N出、

五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

23.（12分）如圖，尸8是。0的切線，切點為從且以=P3.連接AO并延長交。0于點C交直線PB

于點。

（I）證明：PA是0O的切線：

（2）證明：DB2=DC?DA；

（3）若BO=4,sin/AOP=3,求線段OP的長.

5

【解答】（1）證明：如圖1,連接OB,

圖1

??才6是OO的切線，

???NPBO=90°,

在△AO尸和AB。尸中，

fPA=PA

[OA=OB，

IOP=OP

:.△AOPQABOP(SSS),

.??N"(J=NF4O=9(r,

：.OAA.PA,

又???點4在OO上，

?1%是OO的切線；

??,/DBC=NDAB,

又，：/D=ND,

???△OBCs△。人從

??*'DC-=_DB,

DBDA

:?Da=DC?DA；

(3)解：在RtZXOAQ中，sin/A/)P=2,OD=2x,

：.BD=4x,

???8。=4,

.\OB=3x=3,()D=7x=5,

在RtaRl。中，sinR