PAGEPAGE11.1.1正弦定理課時過關(guān)·實力提升1在△ABC中,a=1,∠C=60°,若c=3,則∠A的值為()A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°答案A2已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,若a=c=6+2,且∠A=75°,則b等于(A.2 B.4+23C.4-23 D.6解析sinA=sin75°=sin(45°+30°)=6+由a=c=6+2,可知∠所以∠B=30°.所以sinB=12.b=asinBsin答案A3設(shè)a,b,c分別是△ABC中∠A,∠B,∠C所對邊的邊長,則直線xsinA+ay+c=0與bx-ysinB+sinC=0的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直解析由題設(shè)條件可知a≠0,sinB≠0,從而兩條直線的斜率分別是k1=-sinAa,k2=由正弦定理知asin從而有k1k2=-1,所以兩條直線垂直.答案C4若sinAa=cosBb=A.等邊三角形B.有一內(nèi)角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一內(nèi)角是30°的等腰三角形解析由正弦定理及已知條件得sinB=cosB,sinC=cosC,則∠B=∠C=45°,∠A=90°.故該三角形為等腰直角三角形.答案C5在△ABC中,若a=1,b=x,∠A=30°,則使△ABC有兩解的x的范圍是.

答案(1,2)6在△ABC中,已知三個內(nèi)角∠A,∠B,∠C對邊的邊長分別為a,b,c,tanC=43,c=8,則△ABC的外接圓半徑為.

解析∵∠C為△ABC的內(nèi)角,tanC=43∴0°<∠C<90°,∴sinC=45由正弦定理,得csinC=2R,2R=8則R=5.答案57在△ABC中,已知∠B=60°,AC=3,則AB+2BC的最大值為.

解析令A(yù)B=c,BC=a,則由正弦定理得asinA則c=2sinC,a=2sinA,且∠A+∠C=120°,故AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120°-∠C)=2sinC+43=4sinC+23cosC=27sin(C+φ)其中tan當∠C+φ=90°時,AB+2BC取最大值,為27.答案27★8已知在△ABC中,∠B=60°,最大邊與最小邊之比為(3+1)∶2,則最大角的角度為.

解析設(shè)最大角為∠A,最小角為∠C,由∠B=60°,得∠A+∠C=120°,則∠A=120°-∠C.依據(jù)正弦定理得ac=sinAsinC=sin(120°-∠C)即3cosC+sinC=3sinC+sinC,∴tanC=1.故∠C=45°,∠A=75°.答案75°9已知a,b,c分別為△ABC的∠A,∠B,∠C的對邊,p=(cosC,sinC),q=(1,3),且p∥q.(1)求∠C的大小;(2)若sinB=cos2B,且c=3,求a,b的值.分析本題是三角恒等變換與解三角形以及向量學問相結(jié)合的一道題目,由p∥q可得∠C的正切值,進而求出∠C;再由sinB=cos2B,c=3和正弦定理可求出a,b.解(1)∵p∥q,∴cosC∴tanC=3.又∠C∈(0,π),∴∠C=π3(2)∵sinB=cos2B=1-2sin2B,∴2sin2B+sinB-1=0.∴sinB=12或sinB=-1(舍去)∵∠B∈0,2π3,∴∠B=π6由正弦定理,得b=csina=csinAsinC★10如圖所示,扇形AOB,圓心角∠AOB為60°,半徑為2,在弧AB上有一動點P.過P引平行于OB的直線交OA于點C,設(shè)∠AOP=θ,求△POC面積的最大值及此時θ的值.解∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.在△POC中,由正弦定理,得OPsin∴CP=OPsinθ又OCsin(60°-θ