第1頁(yè)/共1頁(yè)2024學(xué)年第二學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)學(xué)校、班級(jí)、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)；3．所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，所以直線的斜率為，即（為直線傾斜角），由，解得.故選：B.2.已知直線l的方向向量，平面的法向量，若直線l與平面平行，則實(shí)數(shù)x的值為（）A.7 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與平面平行可得，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】∵直線l與平面平行，∴，∴，解得.故選：B.3.已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.3 B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式計(jì)算可得實(shí)數(shù)m的值.【詳解】由題意得，，解得.故選：A.4.已知雙曲線的焦距為，則m的值為（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件得出及雙曲線的性質(zhì)，即可求出m的值.【詳解】由焦距為，，則，解得：，故m的值為1.故選：C.5.圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在的直線方程，再根據(jù)垂徑定理和點(diǎn)到直線的距離公式可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為，聯(lián)立與得公共弦所在直線為，圓心到直線的距離為，故弦長(zhǎng)為，故選：C6.已知等差數(shù)列，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念可確定選項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.當(dāng)時(shí)，，∴由可得.當(dāng)時(shí)，，恒成立，不能得到，∴由不能得到，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.在直三棱柱中，，，P是棱的中點(diǎn)，則C到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合三棱錐得體積，直接使用等體積法得到答案.【詳解】由條件可得是等腰直角三角形，且，故，所以,,設(shè)P到直線的距離為h，則由,可知,設(shè)所求距離為d，因，則，解得：.故選：D.8.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，，點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為H，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，由，結(jié)合韋達(dá)定理求得，再由對(duì)稱(chēng)性求得H坐標(biāo)，通過(guò)斜率公式，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定最值；【詳解】由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)聯(lián)立拋物線方程，消去可得：，所以又，所以，解得：，所以，又，設(shè)，所以，解得：，所以，結(jié)合圖像可知，要使斜率最大，需在第一象限，所以，令，，令可得：，可得：，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)對(duì)稱(chēng)性求得坐標(biāo)，通過(guò)斜率公式構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)求最值.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出下列命題，其中正確的有（）A空間中任意兩個(gè)向量一定共面B.若空間向量，，則與的夾角為鈍角C.若是空間的一個(gè)基底，則，，中任意兩個(gè)向量不共線D.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)可判斷A；利用空間向量坐標(biāo)計(jì)算，即可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)空間基底的性質(zhì)及定義，可判定CD正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榭臻g中任意兩個(gè)向量都可以平移至起點(diǎn)重合，成為同一個(gè)平面的兩個(gè)向量，故A正確；對(duì)于B，cosa,b對(duì)于C，基底的性質(zhì)知，空間基底是由非零且不共面的三個(gè)向量構(gòu)成，故C正確；對(duì)于D，由是空間的一個(gè)基底，設(shè)，顯然不存在實(shí)數(shù)使得成立，所以一定不共面，則也是空間的一個(gè)基底，故D正確；故選：ACD10.已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則為常數(shù)列 B.若，則為常數(shù)列C.若，則 D.若，則是遞增數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)求和公式計(jì)算，判斷ABC，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷D.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為.若，則，即，，即，，即，解得，所以等差數(shù)列為常數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；若，則，即，，即，，即，解得，所以，故C正確；，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以數(shù)列為遞增數(shù)列.故選：ACD11.在平面直角坐標(biāo)系中，圓錐曲線可以用方程來(lái)表示，圖形的幾何性質(zhì)被方程的系數(shù)所確定．曲線的方程是依賴(lài)于坐標(biāo)系的，而方程所表示的曲線的幾何性質(zhì)是不依賴(lài)于坐標(biāo)系的，所以表示這些幾何性質(zhì)的量，如圓錐曲線的離心率，焦距等，不會(huì)由于直角坐標(biāo)系的位置變化而變化．已知某圓錐曲線的方程為，是曲線上任意一點(diǎn)，則（）A.該曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng) B.的取值范圍是C.該曲線是雙曲線，離心率為 D.該曲線是橢圓，離心率為【答案】AD【解析】【分析】令，代入原方程即可判斷A；利用基本不等式，令，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可判斷B；令，代入原方程，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念計(jì)算即可判斷CD.【詳解】由，得，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；由題意知，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），得，則，所以；令，由，得，即，得（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即，所以，故B錯(cuò)誤；令，代入，得，整理得，即，所以曲線為橢圓，離心率為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題CD選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)的變換（令），將原方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可突破.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知公比不為的等比數(shù)列滿足，則正整數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得的值.【詳解】∵數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，且，∴，∴.故答案為：.13.已知圓，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與圓交于點(diǎn)，則的面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】由題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)幾何法求弦長(zhǎng)，表示出三角形的面積為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值即可.詳解】如圖，點(diǎn)到直線的距離為，則，，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，即的最大值為.故答案為：214.在正方體中，點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，代入空間線面角公式，分和再利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出范圍即可.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，所以，綜上，直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是能夠利用空間線面角公式表示出所求角，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法可求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，∴.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，∴．16.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．（1）求圓C的方程；（2）設(shè)P是直線上的一點(diǎn)，過(guò)P向圓C引兩條切線，切點(diǎn)為A、B，使得為正三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求得曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)設(shè)圓心坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間的距離公式列方程解得的值，即可得圓C的方程；（2）根據(jù)等邊三角形和圓的幾何性質(zhì)可得，根據(jù)點(diǎn)P在直線上設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程即可解得的值，進(jìn)而得點(diǎn)P的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，．由題意可設(shè)C的圓心坐標(biāo)為，所以，解得，則半徑，所以圓C的方程為．【小問(wèn)2詳解】由題意得，在中，，設(shè)，則，解得或，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．17.如圖，在四棱錐中，，，，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，即可證明四邊形是平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）取中點(diǎn)，連接，，即可證明平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，，由條件可知，是的中位線，所以且，又因?yàn)榍遥郧遥运倪呅问瞧叫兴倪呅危裕忠驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫妫弧拘?wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋裕矗詾榈妊苯侨切危瑒t，在直角梯形中，且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以為矩形，所以，，由，故，又因?yàn)椋矫妫云矫妫鐖D以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，得取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．18.已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓C的方程：（2）過(guò)點(diǎn)的直線交圓于點(diǎn)M、N，直線垂直，且交C于點(diǎn)P、Q，交于點(diǎn)A．記，的面積分別為，．（i）若，求t的取值范圍；（ii）是否存在常數(shù)t，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（i）；（ii）存在，，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)，離心率，求出，得到橢圓方程；（2）（i）由垂徑定理，由對(duì)稱(chēng)性可知，根據(jù)面積之比得到，A是的中點(diǎn)，時(shí)，得到，時(shí)，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，表達(dá)出直線的方程，求出，并得到，換元后，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到，從而得到答案；（ii），由（i）可知，，由垂徑定理得，所以，故當(dāng)，即時(shí)，即為定值3．【小問(wèn)1詳解】由題意知：，，解得，，故，所以橢圓C的方程為．【小問(wèn)2詳解】（i）由垂徑定理可得A是的中點(diǎn)，即，由對(duì)稱(chēng)性可知，易知，，故，所以，故A是的中點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，易知，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由得，解得，故由條件可知，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，故直線的方程為：，令得，由直線過(guò)點(diǎn)，故．由可知得，又，故，此時(shí)令，則，則，任取，，則，因?yàn)椋裕裕矗十?dāng)時(shí)，t單調(diào)遞減，故．綜上，取值范圍是．（ii）由題得，由（i）可知，故，又，直線，即，所以，故，由垂徑定理得，所以，故當(dāng)，即時(shí)，，即為定值3．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．19.已知數(shù)列，，定義和的“生成數(shù)列”為：，，其中表示和兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)；定義和的“生成點(diǎn)列”為：．（1）若，，，，求的值及線段的長(zhǎng)；（2）若，求的所有可能值；（3）若，求的最大值，并求出此時(shí)所有可能的數(shù)列與．【答案】（1），（2）21或19（3）的最大值為58，答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“生成數(shù)列”的定義可計(jì)算的值，結(jié)合題目條件得到的坐標(biāo)即可得到線段的長(zhǎng).（2）分類(lèi)討論的值即可計(jì)算結(jié)果.（3）通過(guò)計(jì)算得到，根據(jù)不成立可得的最大值為58，由此可列出所有可能的數(shù)列與.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，，因?yàn)椋裕拘?wèn)2詳解】若，，，，則，，若，，，，則，，綜上：的可能取值為21或19．【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，，，，即，故是下述“Z”型折線中的各數(shù)之和的最小值．下面嘗試尋求的最大值，為了使得和盡量的大，上述“Z”型折線應(yīng)該盡量經(jīng)過(guò)較大的數(shù)字，故我們可以嘗試下述填法：20121212此時(shí)不難進(jìn)一步得到下述填法：2012621212101712，，，，．下面我們證明58是最大值，設(shè)存在某種填法，使得，情形一：若，則，矛盾，從而；情形二：，則，此時(shí)填法如下2012從而，所以，所以，①若填法為20121212則，所以，所以，故填法如下：201212121210則，所以，矛盾，舍；②若填法為20121210