第1頁/共1頁江蘇省泰州市2025屆高三下學期開學調研測試數學試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，.若，則（）A.4 B. C.5 D.【答案】D【解析】【分析】根據向量共線的坐標表示求出的值，即可求出，再根據求出的坐標，最后再計算其模.【詳解】因為，且，所以，則，所以，則.故選：D2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式、分式不等式求解得到，再由交集、補集運算即可求解；【詳解】解：，，或，故選：A3.已知復數z滿足(為虛數單位，則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意整理結合復數的運算求z，進而可得其虛部.【詳解】已知，等式兩邊同時乘以，可得整理得，則所以z的虛部為故選：B.4.已知隨機變量服從二項分布若，則（）A.144 B.48 C.24 D.16【答案】D【解析】【分析】根據二項分布方差公式，結合方差的性質進行求解即可.【詳解】因為，所以，，，故選：D5.已知函數，則“，”是“的圖像關于點對稱”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由整體代入法求得的對稱中心，即可判斷；【詳解】解：，令，即，，即的對稱中心，，，”是“的圖象關于點對稱的”充分不必要條件，故選：A6.在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線，單位圓O分別相切于A，B兩點，當最小時，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設切點，再求導函數，得出切線方程應用點到直線距離為1得出，最后應用基本不等式計算即可求參.【詳解】令，則，，，則，切線為即，直線又與單位圓相切，則，即，則，當且僅當即，即，時取“.故選：7.對一排8個相鄰的格子進行染色．每個格子均可從紅、藍兩種顏色中選擇一種，要求不能有相鄰的格子都染紅色，則滿足要求的染色方法共有（）A.89種 B.55種 C.54種 D.34種【答案】B【解析】【分析】根據題意，根據染藍色的多少，結合組合的定義分類討論進行求解即可.【詳解】8個格子涂色，相鄰都不涂紅色，包含的情形如下：，8個格子都涂藍色，共1個結果;，8個格子有7個格子涂藍色有個結果;，8個格子有6個格子涂藍色，2個涂紅色，紅色不相鄰，插空個結果;，8個格子有5個格子涂藍色，3個涂紅色，紅色不相鄰，插空個結果;，8個格子有4個格子涂藍色，4個涂紅色，紅色不相鄰，插空個結果.所以故選：B8.已知R，，函數，則（）A.當時，函數在其定義域上單調遞減B.當時，函數在其定義域上單調遞增C.存在實數a，使函數的圖像是軸對稱圖形D.當時，函數的圖像恒為中心對稱圖形【答案】D【解析】【分析】求的導數即可判斷AB，計算即可判斷C，計算是否為定值即可判斷D.【詳解】由已知，的定義域為，當時，的定義域為，，函數在上單調遞增，當時，的定義域為，，函數在上單調遞減，故B錯誤；當時，的定義域為，，函數在上單調遞減，故A錯誤；若，故不存，故C錯誤；，當，即時，為定值，則關于對稱.故選：二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知正數滿足，則下列選項中正確的是（）A B.C.的最大值為12 D.的最小值為128【答案】ABD【解析】【分析】根據基本不等式即可求解A，利用點到直線的距離公式即可求解B，根據二次函數的性質即可求解C，利用基本不等式，結合指數冪的運算性質即可求解D.【詳解】，當且僅當，即時取到等號，故A對；表示直線上的點與原點的距離，則距離的最小值，B對；，，，當時，取最大值12，此時矛盾，C錯；，當且僅當即時，等號成立，D對.故選：ABD10.假設某種細胞分裂和死亡的概率相同，每次分裂都是一個細胞分裂成兩個．如果一個種群從這樣一個細胞開始變化，假設為種群滅絕事件，為第一個細胞成功分裂事件，為第一個細胞分裂失敗事件．若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】分析可知，可判斷A選項；利用條件概率公式可判斷BC選項；根據題中條件可得出關于的等式，解之可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由題意可知，，A對；對于B選項，，或由第一個細胞分裂失敗，后面不會有新的細胞產生，故必然種族滅絕，B錯；對于D選項，一個種群由一個細胞開始，最終滅絕的概率為，則從一個細胞開始，它有的概率分裂成兩個細胞，在這兩個細胞中每個細胞滅絕的概率均為，所以，，解得，D錯；對于C，，C正確.故選：AC.11.若球C在四棱錐的內部，且與四棱錐的四個側面和底面均相切，則稱球C為四棱錐的“Q”球．在四棱錐中，，四邊形ABCD為矩形，是邊長為1的正三角形．若二面角的大小為，則（）A.當a變化時，平面PAB與平面PAD的夾角不變B.當a變化時，PB與平面PAD所成角的最大值為C.當時，四棱錐不存在“Q”球D.存在a，使得四棱錐有半徑為的“Q”球【答案】ACD【解析】【分析】取AD中點為E，BC中點為F，確定二面角大小，再建立空間直角坐標系，求出四棱錐各側面所在平面的法向量，利用空間角及空間距離的向量求法逐項分析推理判斷.【詳解】在四棱錐中，取AD中點為E，BC中點為F，連接PE、EF、PF，則，，由等邊三角形，得，則即為二面角的平面角，，以點E為坐標原點，直線EF、ED分別為x、y軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，設平面PAB的法向量為，則，取，得，設平面PAD的法向量為，則，取，得，，平面PAB與平面PAD的夾角的余弦值不變，因此當a變化時，平面PAB與平面PAD的夾角不變，A正確；設PB與平面PAD所成角為，則，則當時，取得最大值，的最大值大于，B錯誤；若四棱錐存在“Q”球，設球心為H，平面PAB與平面PCD關于平面PEF對稱，由對稱性知，球心H在平面PEF內，平面PEF，平面PAD，平面ABCD，則平面平面PAD，平面平面ABCD，又平面平面，平面平面，則點H到直線PE、PF的距離即為點H到平面PAD、平面ABCD的距離，都為球半徑，又點H在的角平分線上，又，則，設，，，設平面PBC的法向量為，則，取，得，點H到平面PAB的距離為，點H到平面PBC的距離為，由，而，解得，由，整理得，顯然和不同時滿足等式，即當時，四棱錐不存在“Q”球，C正確；而當時，，，則，即當時，存在正實數a滿足等式，因此存在a，使得四棱錐有半徑為的“Q”球，D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵是建立恰當的空間直角坐標系，利用代數的方法求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數列為等差數列，，公差若，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】根據等差數列的通項公式可得，進而，判斷的正負即可下結論.【詳解】由已知，得，則，，，，，當時，，故答案為：13.已知，函數在區間上單調遞減，則的最大值為________.【答案】【解析】【分析】利用整體法即可結合余弦函數的單調性得求解.【詳解】已知，，所以因為函數在上單調遞減，而函數在上單調遞減，所以由此可得不等式組，解得則的最大值為故答案為：14.已知O為坐標原點，點A，B，C為橢圓上三個不同的點依次逆時針排列若，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】利用極坐標方程和權方和不等式求解即可.【詳解】設，，，，，，，且，，，，，當且僅當，即，時，等號成立.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用極坐標設出，，，然后利用角度關系，得出，再結合權方和不等式求解即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，若點D在邊BC上，，（1）求角A的大??；（2）若，，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的長．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡已知等式，得到，然后得出的值；（2）（i）由角正切值求出正弦和余弦值，由三角形三個內角和、誘導公式、和差角公式求出；（ii）由（i）求得，然后的求得，由正弦定理求出的長.【小問1詳解】由條件得，∴，，，；【小問2詳解】（i），，，∴；（ii）由（i）得，由已知得，在中，由正弦定理得，求得.16.在三棱錐中，與都是邊長為6的等邊三角形，點為的中點，點在線段上，（1）求證：；（2）求的長（3）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）如圖，根據線面垂直的判定定理和性質即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標系，利用兩點距離公式計算即可求解；（3）利用空間向量法求解線面角即可.【小問1詳解】取AC中點M，連接BM，PM，，，，，又，PM、平面PBM，平面PBM，平面PBM，，即【小問2詳解】，，，如圖，以為原點，為軸，軸建立空間直角坐標系，，，，，，【小問3詳解】，，，，設平面PAC的一個法向量，則，令，得，，設直線與平面所成角為，，即求直線與平面所成角的正弦值為．17.已知，，（1）若，曲線上一點P處的切線與直線垂直，求點P坐標；（2）若恒成立，求a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據導數的幾何意義及直線垂直與斜率的關系求解即可；（2）設，，進而利用導數分，進行討論求解函數最小值，進而結合恒成立問題求解即可.【小問1詳解】因為，設點，則點P處切線的斜率，因為，由曲線上一點P處的切線與直線垂直，得，所以，即點P坐標為.【小問2詳解】設，，因為恒成立，所以恒成立，，且，因為，若，則，故在區間上單調遞減，當時，，與恒成立矛盾，若，則，令，得，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，當，即時，當時，，與恒成立矛盾，當，即時，當時，，與恒成立矛盾，當，即時，，所以恒成立，，即恒成立，綜上所述：18.在平面直角坐標系中，點到定點的距離與點到直線：的距離之比為2，點的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）已知點，，為曲線的左、右頂點．若直線與曲線的右支分別交于點.（?。┣髮崝档娜≈捣秶?；（ⅱ）求的最大值．【答案】（1）（2）（i）；(ⅱ)【解析】【分析】（1）設，根據題意列出等式，化簡可得；（2）（i）設直線方程為，聯立可得，同理可得，由，可得；（ii）由及，可得，設，則，即得.【小問1詳解】設，由題意知，化簡得方程為【小問2詳解】設直線方程為，則，聯立，可得，故，因在右支上，故，得即，解得，設方程為，則，聯立，得，故，因在右支上，故得，即，解得，綜上可知，.（ii），，，故，令，則，當且僅當，即時取等號，故的最大值為.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問根據幾何性質可得，結合，，代入后利用函數的性質求最大值即可.19.設數列的前項和為，