試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖南省岳陽市2025屆高三上學期教學質量監測（一）數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合A=?3,?A．?2,?1,0 B．?2．若z1+i=1A．12+12i B．123．若函數fx=k+eA．?e2 B．e2 C．?4．已知角α頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，則它的終邊過點(3,4)，若將角α的終邊繞坐標原點順時針旋轉π6得到角A．33?410 B．33+5．將一個底面半徑為2，高為23的圓錐形石材打磨成一個球，則該球表面積的最大值為（

A．16π3 B．32π3 C．6．甲乙兩人參加一項戶外挑戰賽，該挑戰賽設置了多道關卡，已知兩人是否通過某道關卡是相互獨立的，且兩人中至少有一人通過當前關卡，才有資格同時進入下一關挑戰，否則挑戰結束.已知在第一關中甲乙兩人通過的概率分別為35,3A．712 B．79 C．237．已知橢圓C:x2a2+y2b2=A．1 B．2 C．4 D．88．已知函數fx=ex+2x+3，其導函數為yA．e,+∞ B．e33,二、多選題9．下列說法正確的有（

）A．(1-2xB．(1+C．從4名男生，3名女生中選2名學生參加志愿者服務，X表示參加志愿服務的男生人數，則ED．36有9個不同的正因數10．如圖，直線y=1與函數fx=2sinωx+φφ

A．φB．ωC．將函數fx的圖象向左平移π6個單位，得到函數D．當x∈π11．已知F1,F2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左右焦點，過點F1的直線與雙曲線C的左右兩支分別交于P,Q兩點，△PA．QF1=F1C．r1r2三、填空題12．已知向量a=1,2,b=m,313．已知數列an滿足4n?114．已知函數fx=ln1?x,x<四、解答題15．已知a,b,c分別為△ABC的內角A,B,C(1)求A；(2)求△A16．已知拋物線C:y2=2px的焦點為F，點F(1)求拋物線C的方程；(2)設直線OA,OB的斜率為kO17．如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥底面AB

(1)求證：PA(2)已知二面角P?BC?D的平面角等于π3，則在線段AB上是否存在點M，使得M18．已知函數fx(1)討論函數fx(2)令hx=f′x(3)令φx=fx?19．“m?外觀數列”(設m各位上的數字均不為0)是指以下特點的整數序列：它以正整數m開始，逐項地描述前一項的外觀，將描述結果作為下一項．比如第一項：11第二項：21(描述第一項為2個第三項：1211(描述第二項為1個2，第四項：111221(描述第三項為1個1，1個第五項：312211(描述第四項3個1，2個2(1)求“31?(2)若從“m?外觀數列”1(3)證明：當m是六位數時，“m?外觀數列”從首項開始最多連續4答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《湖南省岳陽市2025屆高三上學期教學質量監測（一）數學試題》參考答案題號12345678910答案DCBCADCBBCDAD題號11答案BCD1．D【分析】先求出集合B，根據集合的交集運算即可求解.【詳解】由x2≤5??故選：D.2．C【分析】應用復數乘法求復數.【詳解】由z=故選：C3．B【分析】根據題意可知fx【詳解】令ex?1≠0，可得x若函數fx為奇函數，則f可得fx所以k=故選：B.4．C【分析】根據終邊上的點求函數值，再應用差角正弦公式求si【詳解】由題意co則si故選：C5．A【分析】球是圓錐的內切球，打打磨成的球的表面積最大，據此求解即可.【詳解】由題意可得圓錐的母線長為23將圓錐形石材打磨成一個球，要使球的表面積的最大，則球的半徑要最大，此時球是圓錐的內切球，設等邊三角形的內切球的半徑為r，由等邊三角形的性質可得tan30°=所以球的表面積為4π故選：A.6．D【分析】利用對立事件及相互獨立事件的概率公式求出兩人有資格挑戰第二關的概率，再利用條件概率公式計算得解.【詳解】在第一關中甲乙兩人通過的事件分別為A,B，兩人有資格挑戰第二關的事件為則P(A)=3所以若兩人有資格挑戰第二關，則在第一關中，甲通過的概率P(故選：D7．C【分析】先由幾何關系確定當外接圓的半徑為MP=a【詳解】

設△F1F2P的外接圓的圓心為M又P在x=a2上，M∴MP≥a2由題意可知，c=1,故選：C.8．B【分析】設gx=xex+2x，先轉化問題為gx<glnax在x∈12,3【詳解】因為fx=e因為當x∈12即當x∈12所以當x∈12即當x∈12即當x∈12即當x∈12設gx=xex所以函數gx=x所以xex+可以轉化為gx<g即x<lna即a>exx對?x設hx=exx令h′x<0，即12所以函數hx在12,又h3=e33，h2=所以e33>所以a>e33，即實數故選：B.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是觀察原不等式的特點，將問題轉化為gx<g9．BCD【分析】根據二項式定理求指定項系數、二項式系數和判斷A、B；根據隨機變量的取值及其對應概率求期望判斷C；由36=【詳解】由(1-2令r=3時，展開式中x3由(1+2由題意，從4名男生和3名女生中任選2名參加活動，共有C72=X的取值為0、1、2，P(X=0)所以E(因為36=1×36=故選：BCD10．AD【分析】對A，根據fx過A0,1判斷即可；對B，由B,C相鄰可得ωx【詳解】對A，由fx過A0,1可得2sinφ=對B，由fx=1可得2sinω由B,C相鄰可得ωx故ωxC?xB=4π對C，由AB可得fx=2sin4x+對D，當x∈π4,π則fx故選：AD11．BCD【分析】設△QF1F2內切圓與QF1,F1F2,QF2的三邊分別切與點E,K,G，則由雙曲線定義、內切圓性質可得OK=a，再由S【詳解】對于A，如圖所示，設△QF1F2則由雙曲線定義可得QF1?又F1K+KF2=又S1:S則F1對于B，設F1F2所以△QF1F2則QE=Q所以a+c=2c對于C，由B可知：x=a，則sin∠F1QF所以S△由等面積法可知，12整理得128a設PF1=m，F1F2則∠F1Q由余弦定理可得：cos∠整理得：8a2=3am，即又等面積法可得：12即128a則r1對于D，所以QH故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：在C選項中解題的關鍵點是利用等面積得r2=412．3【分析】用向量平行的坐標表示計算即可；【詳解】a?b=因為a?b∥a+2b故答案為：3213．4?【分析】由題意可得a14+【詳解】由4n?1所以a1兩式相減得an所以an當n=1時，41所以an故答案為：4?14．?∞【分析】根據分段函數自變量不同取值范圍上的函數解析式，分別構造函數，由函數與方程的關系，等價轉化為函數求零點與一元二次方程求解問題，可得答案.【詳解】當x<0時，則fx求導可得y′=1?xx?11y+0?y單調遞增極大值單調遞減由函數y=ln1所以函數fx與函數gx在當0<x<1時，求導可得y′=x?1則函數y=1e當x=0時，y=1e由1e×1e2所以函數fx與函數gx在由題意可得函數fx與函數gx在當x≥1時，fx令hx=0當方程有兩個相等的實數解時，Δ=4?此時x=當方程在1,+∞有一個實數根時，可得Δ綜上可得?∞故答案為：?∞15．(1)A(2)3【分析】（1）由正弦定理結合sinB=sinA+（2）根據∠ADB+∠ADC=π和余弦定理得AC【詳解】（1）3a3sin又sinB故3sin即3sin因為C∈0,π，所以由輔助角公式得2sin又A∈0,即A?π6（2）∠ADB由余弦定理得AD由D為BC中點，化簡得AAD=3又2b2?又cosA=1將a2=2b2解得b=則△AB16．(1)y(2)證明見解析，2【分析】（1）根據拋物線焦點坐標求解即可；（2）法一：設Ax1,y1,B法二：先討論當直線AB的斜率不存在時，直線AB過點，再分析當直線ABy=kx+b【詳解】（1）y2=2px直線2x+3y?則p2=所以拋物線為y（2）法一：由題意可知AB設Ax1,y1y2則y1Δ又k則n=即直線AB恒過點法二：當直線AB的斜率不存在時，設A所以kOA?kOB=當直線AB的斜率存在時，設Ay=kx+b由題意可知Δ=(2由韋達定理知x1所以kO所以b=所以AB所在直線方程為綜上，直線AB恒過點17．(1)證明見解析(2)存在，M為AB【分析】（1）由余弦定理可求得ED=3，進而可得BC⊥DE（2）法一，取AD的中點O，可證PO⊥底面ABCD，設在線段AB上存在點M，使得M到平面PBC的距離為34，且BM=t，利用等體積法求解即可.法二，取AD的中點O，可證OP,OA,OB兩兩垂直，以O【詳解】（1）因為BC=23，E為邊又在△DCE由余弦定理可得ED=6+3又ABCD為平行四邊形，所以AD∥又平面PAD⊥底面ABC所以DE⊥平面PAD，又所以DE（2）法一：取AD的中點O，又P

所以PO⊥AD,又平面PAD⊥所以PO⊥底面所以PO而BO所以∠PBO即為二面角P又△POB所以OP設在線段AB上存在點M，使得M到平面PBC的距離為3△PBCS△又VM解得t=62，即M法二：取AD的中點O，又P

所以PO又平面PAD⊥所以PO⊥底面又DE∥BO，所以所以OP如圖，以O為坐標原點，以OA,OB,OPO0設OP=m設平面PBC的法向量為則n?取y1=m又平面ABCD則cosπ3=cos<則平面PBC的一個法向量為設MB=λ則34解得λ=即M為AB18．(1)答案見解析(2)兩個極值點.(3)k>1【分析】（1）求導，利用一次型含參討論求得單調性；（2）求導，求hx的極值點個數即為求h（3）求導，整理得φ′x=分k≤0和【詳解】（1）fx的定義域為R當k≤0時，f′當k>0時，由f′由f′x>綜上，當k≤0時，fx當k>0時，fx在?（2）hx令m當k=1時，m′x∈ln6,+又h′0=所以h′x分別在?∞即hx（3）φxφ又φ0①若k≤0，則φ′x>②若k>0又x2?2x+2i.當k=16時，即?0=當x∈0,+∞時，φii.當0<k<16時，即?所以存在唯一x1<0，使得?x1當x∈x1,又x→?∞時，φiii.當k>16時，即?0=所以存在唯一x2>0，使得?x2當x∈x2,又x→+∞時，φ所以，φx有且僅有兩個零點時，k>1【點睛】思路點睛：研究函數的零點問題，可以通過轉換、求導研究函數的單調性、最值，借助零點存在定理求解.19．(1)第三項為111321，第五項為(2)16(3)證明見解析【分析】（1）根據外觀數列的定義，逐步分析前一項數字的組成并進行描述得到下一項.（2）需要先找出所有可能的數列的第一項和第二項的情況，再根據概率的定義計算.（3）證明當m是六位數時，“m-外觀數列”從首項開始最多連續4項單調遞減，需要根據外觀數列的定義和六位數的特征進行分析推理.【詳解】（1）根據“31?外觀數列”的定義得到，第三項為111321，第五項為（2）?①m為一位數時，第?②m為兩位數時，即m為aa時，第二項為2a，當a大于2?③m為三位數時，即m為aaa時，第二項為3a綜上，總共有16個數列符合，在所有數列中含0的數有9+9+162=（3）證明：定義一個數列中連續相同若干個數字為一個數字串，數列中第i項為ai?①若m只有一個數字串，即m=a1=aaaaaa，則a2=6?②若m只有兩個數字串，即m=若p≠a，則a2至少三個數字串，a3至少是6若p=a，此時a2=a若q=b，則a+當a=4，b=2若q=a若b≠1，則若b=1，則a4=2321?③若m只有三個數字串，即若p≠a，則a2至少四個數字串當p=a時，同理q=a或若q=a，r=b，則a2=若a=2，b=22a+c=6，a3=3alb2c，同理a=3或?④若m有四個以上數字串，則a2>a1，不存在連續4項單調遞減.