第二章函數[知識網絡][命題方向]1．函數是高中數學的主干內容，高考對本章考查的內容主要有：(1)結合函數的定義綜合考查函數的基本性質；(2)結合一元一次不等式、一元二次不等式、指數與對數不等式考查函數的定義域；(3)考查用待定系數法、換元法等求解函數的解析式；(4)考查指數函數、對數函數、二次函數、冪函數的圖象和性質；(5)結合函數的圖象考查函數的性質、函數的零點與方程的根；(6)結合實際問題考查函數的應用．2．函數的基本性質與應用是高考的高頻考點，以選擇題或填空題為主，分值大約10分．3．本章內容一般不會出現單一知識點的考題，常結合函數的單調性、奇偶性、周期性命題，或將函數的性質融入函數的圖象進行考查，本章內容也可能與導數、不等式等結合命題．探究1(人教A版必修第一冊P77)(1)設A是區間D上某些自變量的值組成的集合，而且?x1，x2∈A，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，我們能說函數f(x)在區間D上單調遞增嗎？你能舉例說明嗎？(2)函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，你能舉出在整個定義域內是單調遞增的函數例子嗎？你能舉出在定義域內的某些區間上單調遞增但在另一些區間上單調遞減的函數例子嗎？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究2(人教A版必修第一冊P92)探究函數y＝x＋eq\f(1,x)的圖象與性質．在初中，我們知道y＝x是正比例函數，y＝eq\f(1,x)是反比例函數．學習了冪函數以后，我們知道它們都是冪函數．不同的函數通過加、減、乘、除等運算可以構成新的函數．那么，將這兩個函數相加構成的函數有哪些性質？這些性質與這兩個函數的性質有聯系嗎？下面請同學們帶著問題探究一下函數y＝x＋eq\f(1,x).1．你認為可以從哪些方面研究這個函數？2．你認為可以按照怎樣的路徑研究這個函數？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究3(人教A版必修第一冊P135)互為反函數的兩個函數圖象間的關系．我們知道，指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數．它們的圖象是否有關系？有什么關系呢？下面，請你運用所學的數學知識和計算工具，探索幾個問題，親自發現其中的奧秘吧！1．在同一直角坐標系中，畫出指數函數y＝2x及其反函數y＝log2x的圖象．你能發現這兩個函數的圖象有什么對稱關系嗎？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．取y＝2x圖象上的幾個點，如P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，P2(0，1)，P3(1，2)，P1，P2，P3關于直線y＝x的對稱點的坐標是什么？它們在y＝log2x的圖象上嗎？為什么？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3．如果點P0(x0，y0)在函數y＝2x的圖象上，那么P0關于直線y＝x的對稱點在函數y＝log2x的圖象上嗎？為什么？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4．根據上述探究過程，你可以得到什么結論？___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5．上述結論對于指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)及其反函數y＝logax(a＞0，且a≠1)也成立嗎？為什么？________________________________________________________________________________________________________________________________________典題1(人教A版必修第一冊P66例3)下列函數中哪個與函數y＝x是同一個函數？(1)y＝(eq\r(x))2；(2)u＝eq\r(3,v3)；(3)y＝eq\r(x2)；(4)m＝eq\f(n2,n).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題2(人教A版必修第一冊P74習題3.1T13)函數f(x)＝[x]的函數值表示不超過x的最大整數，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.當x∈(－2.5，3]時，寫出函數f(x)的解析式，并畫出函數的圖象．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題3(人教A版必修第一冊P81例5)已知函數f(x)＝eq\f(2,x－1)(x∈[2，6])，求函數的最大值和最小值．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題4(人教A版必修第一冊P87習題3.2T12)已知函數f(x)是偶函數，而且在(0，＋∞)上單調遞減，判斷f(x)在(－∞，0)上單調遞增還是單調遞減，并證明你的判斷．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題5(人教A版必修第一冊P87習題3.2T13)我們知道，函數y＝f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x)為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y＝f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x＋a)－b為奇函數．(1)求函數f(x)＝x3－3x2圖象的對稱中心；(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y＝f(x)的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x)為偶函數”的一個推廣結論．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2021·全國乙卷)設函數f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數中為奇函數的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1點評本題是教材習題結論的直接應用，如果利用結論解答該題更簡單，解法如下：f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,1＋x)，則f(x)的圖象關于點P(－1，－1)對稱，故函數y＝f(x－1)＋1為奇函數．典題6(人教A版必修第一冊P96習題3.4T4)圖(1)是某條公共汽車線路收支差額y關于乘客量x的圖象．(1)試說明圖(1)上點A，點B以及射線AB上的點的實際意義；(2)由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖(2)(3)所示．你能根據圖象，說明這兩種建議是什么嗎？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題7(人教A版必修第一冊P65例2)已知函數f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2)，當a＞0時，求f(a)，f(a－1)的值．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數f(x)的定義域為R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do4(k＝1))f(k)＝()A．－3 B．－2C．0 D．1點評本題與教材例題都考查的是函數的賦值與整體代換的思想．典題8(人教A版必修第一冊P101復習參考題3T9)(1)已知奇函數f(x)在[a，b]上單調遞減，那么它在[－b，－a]上單調遞增還是單調遞減？(2)已知偶函數g(x)在[a，b]上單調遞減，那么它在[－b，－a]上單調遞增還是單調遞減？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題9(人教A版必修第一冊P101復習參考題3T12)試討論函數y＝x－eq\f(1,x)的定義域、值域、單調性、奇偶性，并畫出函數圖象．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題10(人教A版必修第一冊P117例3)比較下列各題中兩個值的大小：(1)1.72.5，1.73；(2)0.8－eq\r(2)，0.8－eq\r(3)；(3)1.70.3，0.93.1._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關系為()A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c點評教材例題體現了比較大小的兩種常用方法：(1)利用函數的單調性；(2)借助于0或1作為中間數，而高考試題考查的也正是這兩種方法．典題11(人教A版必修第一冊P120習題4.2T9)已知函數y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的圖象過原點，且無限接近直線y＝2但又不與該直線相交．(1)求該函數的解析式，并畫出圖象；(2)判斷該函數的奇偶性和單調性．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題12(人教A版必修第一冊P126例5)盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關系為lgE＝4.8＋1.5M.2011年3月11日，日本東北部海域發生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2008年5月12日我國汶川發生里氏8.0級地震的多少倍(精確到1)?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2021·全國甲卷)青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L＝5＋lgV．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據約為(eq\r(10,10)≈1.259)()A．1.5 B．1.2C．0.8 D．0.6點評本題與教材例題類似，主要考查兩個方面知識：一是指數、對數的互化與運算；二是利用數學知識解決實際問題．典題13(人教A版必修第一冊P133例3)比較下列各題中兩個值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2020·全國Ⅲ卷)設a＝log32，b＝log53，c＝eq\f(2,3)，則()A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b點評本題是教材習題的拓展，由于a和b的底數不同，故不能直接利用單調性比較大小，需變形后比較大小，而變形的過程中應用了函數的單調性．典題14(人教A版必修第一冊P140習題4.4T4)函數y＝log2x，y＝log5x，y＝lgx的圖象如圖所示．(1)試說明哪個函數對應于哪個圖象，并解釋為什么；(2)以已有圖象為基礎，在同一直角坐標系中畫出y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do9(\f(1,5))x，y＝logeq\s\do9(\f(1,10))x的圖象；(3)從(2)的圖中你發現了什么？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題15(人教A版必修第一冊P156習題4.5T13)有一道題“若函數f(x)＝24ax2＋4x－1在區間(－1，1)內恰有一個零點，求實數a的取值范圍”，某同學給出了如下解答：由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)＜0，解得－eq\f(1,8)＜a＜eq\f(5,24).所以，實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(5,24))).上述解答正確嗎？若不正確，請說明理由，并給出正確的解答．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題16(人教A版必修第一冊P161復習參考題4T11)已知函數f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函數f(x)＋g(x)的定義域；(2)判斷函數f(x)＋g(x)的奇偶性，并說明理由．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題17(人教A版必修第一冊P161復習參考題4T12)對于函數f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)(a∈R)．(1)探索函數f(x)的單調性；(2)是否存在實數a使函數f(x)為奇函數？____________________________________________________________________________________________________________________