黑龍江省哈爾濱市呼蘭一中、阿城二中、賓縣三中、尚志五中四校2023年三校高三聯合考試數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數滿足，設，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．3．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊方法數為（）.A．432 B．576 C．696 D．9605．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．6．若復數滿足，復數的共軛復數是，則（）A．1 B．0 C． D．7．如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實現了增長．C．2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D．去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元．8．在棱長為a的正方體中，E、F、M分別是AB、AD、的中點，又P、Q分別在線段、上，且，設平面平面，則下列結論中不成立的是（）A．平面 B．C．當時，平面 D．當m變化時，直線l的位置不變9．已知函數的圖象如圖所示，則可以為（）A． B． C． D．10．框圖與程序是解決數學問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數學模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數據的方差，設計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應填入（）A．， B． C．， D．，11．若集合，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線：，，為其左、右焦點，直線過右焦點，與雙曲線的右支交于，兩點，且點在軸上方，若，則直線的斜率為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若關于的方程恰有四個不同的解，則實數的取值范圍是______.14．若非零向量，滿足，，，則______.15．經過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點（點在第一象限），過點作軸的垂線，垂足為點.設直線與橢圓的另一個交點為.則的值是________________．16．某中學舉行了一次消防知識競賽，將參賽學生的成績進行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組，已知第二組的頻數是80，則成績在區間的學生人數是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設（1）證明:當時，；（2）當時，求整數的最大值.（參考數據：，）18．（12分）某單位準備購買三臺設備，型號分別為已知這三臺設備均使用同一種易耗品，提供設備的商家規定：可以在購買設備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設備時應購買的易耗品的件數.該單位調查了這三種型號的設備各60臺，調査每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數，并得到統計表如下所示.每臺設備一個月中使用的易耗品的件數678型號A30300頻數型號B203010型號C04515將調查的每種型號的設備的頻率視為概率，各臺設備在易耗品的使用上相互獨立.（1）求該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據，該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品？19．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）若射線與和分別交于點，求．20．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設是直線上任意一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線恒過一個定點.21．（12分）過點P(-4,0)的動直線l與拋物線相交于D、E兩點，已知當l的斜率為時，.（1）求拋物線C的方程；（2）設的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.22．（10分）已知函數.（1）解不等式；（2）記函數的最大值為，若，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

結合函數的對應性，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：若，則，即成立，若，則由，得，則“”是“”的必要不充分條件，故選：B．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合函數的對應性是解決本題的關鍵，屬于基礎題．2．A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是由向量數量積為0得出垂直關系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關系．3．A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進行判定【詳解】當時，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎題．4．B【解析】

先把沒有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有種不同排列方式，甲、丁排在一起共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產生的空檔中，共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產生的空檔中，共有種不同方式；根據分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊方法數為種.故選：B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應用，在分類時，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.5．A【解析】

根據向量坐標運算求得，由平行關系構造方程可求得結果.【詳解】，，解得：故選：【點睛】本題考查根據向量平行關系求解參數值的問題，涉及到平面向量的坐標運算；關鍵是明確若兩向量平行，則.6．C【解析】

根據復數代數形式的運算法則求出，再根據共軛復數的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查復數代數形式的運算法則，考查共軛復數的概念，屬于基礎題．7．C【解析】

利用圖表中的數據進行分析即可求解.【詳解】對于A選項：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；對于B選項：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長，所以其總量也實現了增長，故B正確；對于C選項：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個，故C錯誤；對于D選項：去年同期河南省的GDP總量，故D正確.故選：C.【點睛】本題考查了圖表分析，學生的分析能力，推理能力，屬于基礎題.8．C【解析】

根據線面平行與垂直的判定與性質逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立；因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選：C【點睛】本題考查直線與平面的位置關系.屬于中檔題.9．A【解析】

根據圖象可知，函數為奇函數，以及函數在上單調遞增，且有一個零點，即可對選項逐個驗證即可得出．【詳解】首先對4個選項進行奇偶性判斷，可知，為偶函數，不符合題意，排除B；其次，在剩下的3個選項,對其在上的零點個數進行判斷,在上無零點,不符合題意，排除D；然后,對剩下的2個選項,進行單調性判斷,在上單調遞減,不符合題意，排除C.故選：A．【點睛】本題主要考查圖象的識別和函數性質的判斷，意在考查學生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題．10．A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗證即可.【詳解】根據題意為了計算7個數的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應填入，，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉化與化歸思想，屬于基礎題.11．D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數學運算能力，屬于基礎題.12．D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設直線l的方程x＝my+，m＞0，設，，即y1＝﹣3y2①，聯立直線l與曲線C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F1，F2為左、右焦點，則F2（，0），設直線l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線的漸近線方程為x＝±2y，∴m≠±2，設A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯立①②得，聯立①③得，，即：，，解得：，直線的斜率為，故選D．【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設，判斷為偶函數，考慮x>0時，的解析式和零點個數,利用導數分析函數的單調性,作函數大致圖象，即可得到的范圍.【詳解】設，則在是偶函數，當時，，由得，記，，，故函數在增，而，所以在減，在增，，當時，，當時，，因此的圖象為因此實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了函數的零點的個數問題，涉及構造函數，函數的奇偶性，利用導數研究函數單調性，考查了數形結合思想方法，以及化簡運算能力和推理能力，屬于難題.14．1【解析】

根據向量的模長公式以及數量積公式，得出，解方程即可得出答案.【詳解】，即解得或（舍）故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的數量積公式以及模長公式的應用，屬于中檔題.15．【解析】

作出圖形，設點，則、，設點，利用點差法得出，利用斜率公式得出，進而可得出，可得出，由此可求得的值.【詳解】設點，則、，設點，則，兩式相減得，即，即，由斜率公式得，，，故，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解，涉及了點差法與斜率公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.16．30【解析】

根據頻率直方圖中數據先計算樣本容量，再計算成績在80～100分的頻率，繼而得解.【詳解】根據直方圖知第二組的頻率是，則樣本容量是，又成績在80～100分的頻率是，則成績在區間的學生人數是．故答案為：30【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用，考查了學生綜合分析，數據處理，數形運算的能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）將代入函數解析式可得，構造函數，求得并令，由導函數符號判斷函數單調性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對函數求導，變形后討論當時的函數單調情況：當時，可知滿足題意；將不等式化簡后構造函數，利用導函數求得極值點與函數的單調性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗的符號，即可確定整數的最大值；當時不滿足題意，因為求整數的最大值，所以時無需再討論.【詳解】（1）證明：當時代入可得，令，，則，令解得，當時，所以在單調遞增，當時，所以在單調遞減，所以，則，即成立.（2）函數則，若時，當時，，則在時單調遞減，所以，即當時成立；所以此時需滿足的整數解即可，將不等式化簡可得，令則令解得，當時，即在內單調遞減，當時，即在內單調遞增，所以當時取得最小值，則，，，所以此時滿足的整數的最大值為；當時，在時，此時，與題意矛盾，所以不成立.因為求整數的最大值，所以時無需再討論，綜上所述，當時，整數的最大值為.【點睛】本題考查了導數在證明不等式中的應用，導數與函數單調性、極值、最值的關系和應用，構造函數法求最值，并判斷函數值法符號，綜合性強，屬于難題.18．（1）（2）應該購買21件易耗品【解析】

（1）由統計表中數據可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數為6,7,8時的概率,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數總數為X,則,利用獨立事件概率公式進而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應的概率,再分別討論該單位在購買設備時應同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】（1）由題中的表格可知A型號的設備一個月使用易耗品的件數為6和7的頻率均為；B型號的設備一個月使用易耗品的件數為6,7,8的頻率分別為；C型號的設備一個月使用易耗品的件數為7和8的頻率分別為；設該單位一個月中三臺設備使用易耗品的件數分別為,則,,,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數總數為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數超過21件的概率為.（2）以題意知,X所有可能的取值為；；；由（1）知,,若該單位在購買設備的同時購買了20件易耗品,設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,；；；；；若該單位在肋買設備的同時購買了21件易耗品,設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,；；；；,所以該單位在購買設備時應該購買21件易耗品【點睛】本題考查獨立事件的概率,考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查數據處理能力.19．（1）：;:．(2)【解析】

（1）由可得，由，消去參數，可得直線的普通方程為．由可得，將，代入上式，可得，所以曲線的直角坐標方程為．（2）由（1）得，的普通方程為，將其化為極坐標方程可得，當時，，，所以．20．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據橢圓的基本性質列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設點，，，由，，結合斜率公式化簡得出，，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過一個定點.【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設點，，其中，