函數的殺手一導數的應用

知識點歸納：

I、利用導數研究多項式函數單調性的一般步驟.

(1)求r(X).

(2)確定f(X)在(a,b)內符號.

(3)若r(x)>0在(〃，b)上恒成立，則/(X)在(a,b)上是用函數；若廣(x)<0在(a,h)上恒

成立，則/(x)在(小b)上是減函數.

2、用導數求多項式函數單調區間的般步驟.

(1)求r(X).

(2)f(x)>0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間：

f(X)<0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間。

3、極大值：一般地，設函數人幻在點與附近有定義，如果對與附近的所有的點，都有/*)</(/)，就說/(%)

是函數的一個極大值，記作y極.=/(%)，%是極大值點.

4、極小值：一般地，設函數在與附近有定義，如I果對X。附近的所有的點，都有/(x)V/(%)就說/(%)

是函數/(好的一個極小值，記作丫槌小值=/(%),與是極小值點.

5、極大值與極小值統稱為極值

(i)極值是一個局部概念，由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小，并不意

味著它在函數的整個的定義域內最大或轂小。

(ii)函數的極值不是唯一的，即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個。

(iii)極大值與極小值之間無確定的大小關系，即一個函數的極大值未必大于極小值。

(iv)函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點，而使函數取得最大值、最小值的點

可能在區間的內部，也可能在區間的端點o

6、判別大須)是極大、極小值的方法

若與滿足f\x0)=0,且在/的兩側/(x)的導數異號，則/是/(x)的極值點，/(.%)是極值，并且如果f\x)

在與兩側滿足“左正右負”，則/是的極大值點，/(%)是極大值；如果/(處在與兩側滿足“左負右正”,

則/是/(x)的極小值點，/(.%)是極小值.

7、求函數凡。的極值的步驟

(1)確定函數的定義區間，求導數/'(幻.

⑵求方程(x)=0的根

（3）用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格渝查/在方程根左右的值

的符號，如果左正右負，那么兒V）在這個根處取得極大位；如果左負右正，那么人幻在這個根處取得極小色；如

果左右不改變符號即都為正或都為負，則4T）在這個根處無極值.

8、函數的最大值和最小值：

（1）在閉區間上連續的函數/（幻在司上必有最大值與最小值。

（2）在開區間（外〃）內連續的函數/（幻不一定有最大值與最小值.

（3）函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的：函數的極值是比好極值點附近函數值得出的

（4）函數/（幻在閉區間卜力］上連續，是/（?在閉區間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件

（5）函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個.

9、利用導數求函數的最值步驟

⑴求/"）在3,6）內的極值;

⑵將/㈤的各極值與/3）、/（〃）比較得出函數/（X）在㈤上的最值。

典型例迤講解,

一、利用導函數圖像確定原函數圖象

例1、已知函數y=.4'（x）的圖象如右圖所示（其中尸（x）是函數/（x）的導函數），下面四個圖象中y=/（x）的圖

y?r（x）

例2、設尸（幻是函數f（x）的導函數，尸尸（刈的圖象如圖所示,則y=f（x）的圖象最有

可能的是

例3、函數y=xsinx+8sx,xe(-;r,;r)的單調區間是

A、(―.T,--)和(0,—)B、(,0)和(0,—)C、(一4,---)和(一，乃)D、(---,0)和(一,TT)

22222222

例4、已知。>0,函數/(幻=一1+依在。，一)上是單調減函數，則〃的最大值為

A、1B,2C、3D、4

三、利用導數求極值

例5、求列函數的極值：

7r

(1)J=(A-1)2(X-2)2：(2)y=-2

x+1

例6、已知函數f(x)=axy+bx2-3%在x=±1處取得極值.

(1)討論/(I)和f(一1)是函數/(X)的極大值還是極小值；

(2)過點40,16)作曲線y=/。)的切線，求此切線方程.

四、利用導數求最值

例7、若函數〃幻=-丁+2/+3,則/(x)

A、最大值為4,最小值為-4B、最大值為4,無最小值

C、最小值為-4,無最大值D、既無最大值，也無最小值

例8、設曲線y=eT(xN0)在點M(t,c-')處的切線/與x軸y軸所圍成的三角表面積為S(t)

(I)求切線/的方程：

(H)求S(t)的最大值.

五、導函數的綜合應用

例9、設函數/Cr)=f/+2/x+f-l(xwR,r>0).

(I)求/㈤的最小值力0)；

(II)若力(f)c-2f+m對fw(0,2)恒成立,求實數的取值范圍.

例10、設函數,f(x)=In(x+a)+x2

(I)若當*=一1時，/(丫)取得極值，求〃的值，并討論了(丫)的單調性：

(II)若/(?存在極值，求。的取值范圍，并證明所有極值之和大于In：.

例11、設函數/(x)=ln(2x+3)+x2

(I)討論/(x)的單調性;

(II)求/(x)在區間的最大值和最小值.

_44_

練習：

1.若由線)，=/的一條切線/與直線x+4y—8=0垂直，則/的方程為

A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

2.對于R上可導的任意函數f(x),若滿足(x-1)f(x)^0,則必有(C)

A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)<2f(1)

C.f(0)+f(2)>2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)

3.過點(一1,0)作拋物線y=.d+x+l的切線，則其中一條切線為

(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+l=0(D)x-j+1=0

4.曲線y=4X-X3在點(-1,-3)處的切線方程是

(A；y=7x+4(B)y=7x+2(C)y=x-4(D)y=x-2

5.函數f。)的定義域為開區間3,b),導函數/'(x)在(a,b)內的

圖象如圖所示，則函數f(x)在開區間(〃力)內有極小值點()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

6./(A)=/一3/+2在區間［―1,1］上的最大值是

(A)-2(B)0(02(D)4

7.已知直線工一)，-1=0與拋物線)，=ay相切，則々=.

8.曲線)，=,和),=/在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是.

x

9.設函數/(_￥)=f+歷？+CX(X￡R)，己知g(x)=/(x)—/'(X)是奇函數。

(I)求/?、C的值。

(II)求g(x)的單調區間與極值。

10.已知/⑴是二次函數，不等式/。)<0的解集是(0,5),且/(外在區間［-1,4］上的最大值是12。

(【)求/(幻的解析式；

(II)是否存在實數使得方程"制+=37=0在區間內有且只有兩個不等的實數根？若存在,

x

求出〃1的取值范圍；若不存在，說明理由。

11.已知函數凡t)=—X2+Sx,g(x)=6\nx+m

(I)求段)在區間［8+1］上的最大值人⑴；

(II)是否存在實數小，使得)可")的圖象與產g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出，〃的取值范

圍；，若不存在，說明理由。

2

12.(匚西卷)已知函數f(x)=x3+ax?+bx+c在x=——與x=1時都取得極值

3

(1)求a、b的值與函數f(x)的單調區間

(2)若對xe(-1,2),不等式f(x)?2恒成立，求c的取值范圍。

13.已知函數/(X)二一

1-X

(I)設。＞0,討論y=/(x)的單調性；

(II)若對任意XE(0,1)恒有求a的取值范圍。

14.設函數f(x)=2d-+其中。21.

(I)求，乂)的單調區間;

(II)討論f(x)的極值.

例題答案：

例1、答案：C例2、答案：C例3、答案：A例4、答案：C

例5、解：(1)v/(x)=(x-1)2(X-2)2,.\f^x)=(x-l)(5x-7)(x-2)2

令ra)=o，得駐點$=1,/==2

J

7

XSJ)I(r2)2(2,+oo)

+0-0+0+

fM/極大X極小//

7\()2

/(1)=0是函數的極大值：/(-)=-一絲是函數的極小值.

53125

(2)f(x)=—2,(幻=20+1)[2：.2x=2(1-幻0:工)

x2+l(l+x2)2(l+x2)2

令/(工)=。，得駐點x1=-l,x2=1

X(-00,-1)-1(-14)1(L+00)

fW-0+0-

fMX極大/極小

.?.當X=-1時，/彼小=-3：當x=l時，/餞人=-1值.

2

例6、解：(1)f(x)=3ax+2bx-3f依題意,尸⑴=/'(-1)=0,即

3a+2/?-3=0,

解得。=1,b=0.

13"28-3=0.

/.f(x)=x3-3x,f\x)=3x2-3=3(x+l)(x-1).

令/(E)=0,得x=—l,x=\.

若X￡(-8,-1)U(1,+8)，則/'(X)>0,故

尸⑼在(一8,一1)上是增函數，/［幻在(1,+8)上是增函數.

若X￡(—1,1),則/'(X)V0,故/*)在(一1,1)上是減函數.

所以，/(-1)=2是極大值：/(1)=-2是極小值.

(2)曲線方程為y=/-3x,點,4((),16)不在曲線上.

設切點為M(%,yQ),則點M的坐標滿足y0=xj-3x0.

因-因。)=3(其-1),故切線的方程為y-汽=3(其-l)(x-x0)

注意到點A(0,16)在切線上，有

16—(XQ-3X0)=3(XQ-1)(0—X0)

化簡得片=-8,解得小=-2?

所以，切點為M(—2,-2),切線方程為9工一)，+16=0

例7、答案：B

例8、解：(I)因為/'Ci)=(eT)'=-eT,所以切線/的斜率為一e",

故切線/的方程為y-e-l=-e-f(x-z).即e—++1)=0.

(II)令y=0得x=t+l,又令x=0得y=e~l(t+1)

所以s(t)="!■(/+(，+i)+1尸"|

22

從而S'(f)=geT(l-f)(l+f).

?.?當fe(0,1)時，S'(1)>0,

2

當ZW(l,+oo)吐5'⑺<0,所以S⑴的最大值為S(l)=-

e

例9、解：(I)v/(x)=/(x+/)2-P+r-l(xGR,/>0),

.??當工=-/時，/(x)取最小值f(T)=-r3+z-l,

即/?(1)=一/+”1.

(II)令g(t)=/:(/)-(-2/+m)=-t3+3/-1-〃?，

由g'⑺=-3產+3=0得，=1,/=-1(不合題意，舍去).

當f變化時/(1),g")的變化情況如下表:

t(0,1)1(1，2)

g'⑺+0—

極大值

g(l)遞增遞減

g(/)在(0,2)內有最大值g(l)=I-一

何)V-2/+加在(0,2)內恒成立等價于g(/)<0在(0,2)內恒成立,

即等價于1-6<0,

所以m的取值范圍為〃z>I.

13

例10、解：(I)f(x)=——+2x,依題意有/'(-1)=0,故。=三.

x+a2

,2x2+3x+l_(2x4-1)(X4-1)./(x)的定義域為卜5+83

從而f(x)=----------,當一一<工<一1時r(A-)>o；

32

x+-x+-

22

(3Hl)11

從而，/(x)分別在區間一一,-1,一不，+8單調增加，在區間一1,一一單調減少.

V2/\.2/\2)

(II)/(X)的定義域為(一&+8),r(x)=2r+2av+1

x+a

方程2/+2"+1=0的判別式△=4/一8.

（i）若△＜（）,即一夜＜。＜血，在/3）的定義域內r（x）＞0,故/（幻的極值.

(ii)若△=0,則。一&或a=-y/l.

(r

若a=6,XG(—￡+8),/(X)=^~2.

x+V2

當x=-孝時，/（幻=0,當xw

-42,-——,+°°時，r（x）＞0,所以/（幻無極值.

2

若a=-6,xe（"+8）,尸（幻=巫獸＞。，/（幻也無極值.

X-y/2

（iii）若△＞（）,即或。＜一夜，則2/+2依+1=0有兩個不同的實根*

2

-a+\/a2-2

x，二Z

■2

當。＜-近時，K＜-〃，x2＜-?,從而廣（x）有/（x）的定義域內沒有零點，故/"）無極值.

當拉時，x,＞-a,%＞一。，/'（幻在/（x）的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知/5）在

X=4=々取得極值?

綜上，/（X）存在極值時，〃的取值范圍為（、■+8）.

的極值之和為

22

/(?±)+/(工2)=+a)+x；+ln(x2+tz)+x2=ln—+tz-l>l-ln2=ln-|

例11、解：/*）的定義域為（一"I，+8

2.4x2+6x+22(2x+l)(x+1)

(I)f(x)=----Fzx=----------=-------------

2x+32x+32x+3

31I

當一彳＜工＜一1時，/z（x）＞o；當一1cx＜-彳時，ra）＜o；當時，ra）＞o.

---1,+81單調增加，在區間—1,1單調減少.

從而，/（幻分別在區間

IN7I22

3I|A1

(II)由(I)知f(x)在區間二3的I最小值為f-1=ln2+-.

L44JI2J4

又/㈢T

In—+------In----------=In—+

216216722

311f1A17

所以尸幻在區間-1，；的最大值為=+

練習答案：

1.解：與直線工+4)，-8=()垂直的直線/為4工一)，+〃?=0,即)，=/在某一點的導數為4,而)，'=4/，所

以y=l在(1,1)處導數為4,此點的切線為44一)，一3=0,故選A

2.解：依題意，當xNl時，f(x)>0,函數f(x)在(1,+8)上是增函數：當x<l時，f(x)<0,f(x)在

(-co,1)上是減函數，故f(x)當x=l時取得最小值，即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),故選C

3.解：y'=2x+l,設切點坐標為(X。，)'。)，則切線的斜率為2%+1,且為=匯+%+1

于是切線方程為)，一片一廝-1=(2.%+1)(%-4),因為點(一1,0)在切線上，可解得

%=0或一4,代入可驗正D正確。選D

4.解：曲線)，=44一-3,導數),,二4一%2,在點(一［,-3)處的切線的斜率為&=1,所以切線方程是>=4一2,

選D.

5.解析：函數/(?的定義域為開區間(a,b),導函數/'(x)在(。1)內的圖象如圖所示，函數/(x)在開區間(外份

內有極小值的點即函數由減函數變為增函數的點，其導數值為由負到正的點，只有I個，選A.

6.解：fM=3x2-6x=3x(x-2),令/'(x)=0可得x=0或2(2舍去)，當一1女<0時，/'(x)>0,當0<xWl

時，/(x)<0,所以當x=0時，/(x)取得最大值為2。選C

7.解析：直線工一)，一1二()與拋物線y=依2相切，將y=x-l代入拋物線方程得依2-工+1=0,???

△=1—4。=0,?=—0

4

8.解析：曲線)，=■!■和y=/在它們的交點坐標是(1,1),兩條切線方程分別是y=-x+2和y=2x—l,它們與x

釉所圍成的三角形的面積是巳3.

9.解析：(I)?.,/(x)=x3+hx2+cx,(x)=3x2+2bx+co從而

g(x)=/(A)-f(x)=x3+bx2+ex-(3x2+2bx+c)=x3+0-3)x2+(c-2b)x-c是一個奇函數,所以

g(0)=0得c=0,由奇函數定義得力=3：

(II)由(I)知g(x)=.--6x,從而g'(x)=3x?-6,由此可知，

(-oo,-V2)和(&,內)是函數g(x)是單調遞增區間：

是函數g(?是單調遞減區間；

g(x)在x=-0時，取得極大值，極大值為4衣，且。)在工=五時，取得極小值，極小值為Y&。

10.解：(I)/(A)=-x2+8x=-(x-4)2+16.

當f+lv4,即r<3時,/(%)在［力+1］上單調遞增,

/??)=/(r+i)=-(r+i)2+8(r+i)=-/2+6/+7;

當/W4W/+1,即3W/W4時，/：(/)=/(4)=16;

當/>4時，/")在卜/+1］上單詭遞減，/z(r)=/(r)=-r+8r.

—t~+6,+7,z<3,

綜上，h(t)=<16,3</<4,

-r+8r,r>4

(ID函數)，=/3)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數

。5)=儀］)一/(工)的圖象與入軸的正半軸有且只有三個不同的交點。

°(x)=x2-8x+61nx+m、

2

.人Y、9262x-8x+62(x-l)(x-3)n

..。(幻=2x-8+—=-----------------=---------------------(x>0),

XXX

當xe(0,l)時，(幻>0,。@)是增函數；

當xw(0,3)時，。'")<0.。(外是減函數;

當xw(3,+oo)時,。'(幻>0,。*)是增函數;

當工=1,或x=3時，"(x)=0.

"⑶娘大值=。⑴=川-7,。(工)娘小值=0(3)=，〃+61n3-15.

???當x充分接近。時，當x充分大時，。(幻>0.

???要使。(幻的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須

始）最大值="一7>0,

即7</〃<15-6M3.

"（X）量小使=〃?+6hi3-15<0,

所以存在實數根，使得函數y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為

（7,15-61113）.

11.解：(I)???/(幻是二次函數，且/(工)<0的解集是(0,5),

/.可設/(x)=ax(x-5)[a>0).

.??/*)在區間［T,4］上的最大值是/(-1)=6?.

ci=2,

由已知，得6。=12,

/(x)=2x(x-5)=2x2-10x(xGR).

37

(II)方程/(幻+—=0等價于方程2/-10/+37=0.

x

設h(x)=2x3-\Ox2+37,則》(%)=6f-20x=2x(3x-10).

當xw(U,—)時，h\x)<O.h(x)是減*數；

3

當xw(￥，+8)時,〃'(x)>0,〃(x)是增函數。

3

v/?(3)=1>OJ?(—)=--<0,6(4)=5>0,

-、27

.?.方程力。)=0在區間(3,3),(3,4)內分別有惟一實數根，而在區間(0,3),(4,+8)內沒有實數根，

33

所以存在惟一的自然數〃7=3,使得方程/(x)+337-=0在區間內有且只有兩個不同的實數根。

x

12.解：(1)/(x)=f+aj^+bx+c,『(x)=3*+2ax+b

21241

由/(——)————a+b=O,「(7)=3+2〃77)=0得a=——,b——2

3932

f(x)=3x2—X—2=(3X+2)(X-I),函數/(x)的單調區間如下表：

22

X(-co,——)-i)1(1?+8)

333

r(X)+0—0+

f(x)T極大值極小值T