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專題5-1空間幾何體及點線面位置關系

內容概覽

A?常考題不丟分

一.棱柱的結構特征（共2小題）

二.旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）（共4小題）

三.棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積（共3小題）

四.棱柱、棱錐、棱臺的體積（共11小題）

五.球的體積和表面積（共5小題）

六.平面的基本性質及推論（共1小題）

七.異面直線及其所成的角（共2小題）

A.異面直線的判定（共1小題）

九.空間中直線與直線之間的位置關系（共2小題）

十.空間中直線與平面之間的位置關系（共6小題）

十一.直線與平面垂直（共3小題）

十二.平面與平面平行（共1小題）

十三.平面與平面垂直（共3小題）

B?拓展培優拿高分（壓軸題）（9題）

C?挑戰真題爭滿分（12題）

A??？碱}不丟分、

一.棱柱的結構特征（共2小題）

I.（2023?閔行區校級一模）《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉膈”，在長方體

>48。。一4罔GQ中，鱉瞬的個數為（）

A.48B.36C.24D.12

【分析】每個頂點對應6個鱉膈，所以8個頂點對應48個鱉腌.但每個鱉腌都重復一次，再除2,即可得

解.

【解答】解：在正方體40）-中，當頂點為A時，三棱錐A-A—EFG、A-DCG、A-DHG、

A-BCG.A-3AG均為鱉晦

所以8個頂點為8x6=48個.但每個鱉席都重復一次,

所以鱉膈的個數為竺=24個.

2

EF

【點評】本題主要考查r空間中線面的位置關系，考查r學生的空間想象能力，屬于基礎題.

2.（2023?嘉定區二模）己知一個枝?氏為1的正方體，與該正方體每個面都相切的球半徑記為飛，與該正

方體每條棱都相切的球半徑為自，過該正方體所有頂點的球半徑為％,則下列關系正確的是（）

A.用：&:%=&：6：2B.飛+&=&

C.R；+R；=R；D.R：+R：=R：

【分析】根據已知條件，依次求出與，&，R、，再結合選項，即可求解.

【解答】解：與該正方體每個面都相切的球直徑為楨長：R=L,

2

與該正方體每條棱都相切的球直徑面對角線長；R、=業11=走,

22

過該正方體所有頂點的球的半徑為體對角線：&=4+1+1=3,

22

KK：&=匕梃：6，故人錯誤；

R；+R；=R；,故C正確，比＞錯誤.

故選：C.

【點評】本題主要考杳棱柱的結構特征,屬干基礎題.

二.旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）（共4小題）

3.（2023?長寧區校級三模）若一個圓柱的側面積是4萬，高為I,則這個圓柱的體積是_4萬

【分析】根據圓柱的側面積公式求出底面圓的半徑，進而可求解.

【解答】解：圓柱的側面積是S=2m九=24r'1=44，:./?=2,

所以體積V=Sh=7ir-h=42r.

故答案為：4萬.

【點評】本題主要考查圓柱體積的求解，屬于基礎題.

4.（2023?嘉定區模擬）某圓柱兩個底面而積之和等于其側面而積，則該圓柱底而半徑與高的比值為1.

【分析】設圓柱的底面半徑為「，高為人根據題意列方程求出r與/的關系，即可求出結果.

【解答】解：設圓柱的底面半徑為，高為/?,

則屬柱的底而而積為",側面而積為27nh，

由題意知，2乃/=2乃”，

所以r=/>

所以該圓柱底面半徑與高的比值為1.

故答案為：1.

【點評】木題考查了圓柱的結構特征與應用問題，是基礎題.

5.（2023?閔行區校級一模）在KtAABC中，/8=勸，/比=2,Ui=3,將AA8C繞邊9旋轉一周，所

得到幾何體的體積為_6乃

【分析】AABC繞直線旋轉?周，所得兒何體是底面是以為半徑的圓，高為AB的圓錐，由此根據

圓錐的體積公式能求出其體枳.

【解答】解：因為在直角三角形AA品中，Z4=90°,AB=2,8=3,

所以A43C繞直線旋轉?周所得幾何體是底面是以為半徑的圓，高為相的圓錐，示意圖如下圖所

示：

A

所以A49c繞直線A8旋轉一周所得幾何體的體積為V=xxBC2xR/?=gx/rx3?x2=6萬.

故答案為：67r.

【點評】本題主要考查了圓錐的結構特征，屬于基礎題.

6.（2023?青浦區校級模擬）已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為4,弧長為4乃的扇形，則該圓錐的表面

積為_12乃

【分析】根據圓錐的側面展開圖是一個半徑為4,弧長為4不的扇形，可知圓錐的底面半徑和母線長，再結

合惻錐的表面積公式求解即可.

【解答】解：設圓錐的底面半徑為人母線長為/,

畫錐的側面展開圖是一個半徑為4,弧長為44的扇形，

：如，解得

1=4（/=4

/.該圓錐的表面積為?！?不/=8乃+4乃=12乃.

故答案為：12乃.

【點評】本題主要考查了圓錐的結構特征，考杳了圓錐的表面積公式，屬于基礎題.

三.棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積（共3小題）

7.（2023?浦東新區二模）若圓柱的高為10,底面枳為4乃，則這個圓柱的側面枳為_40乃一（結果保留

幻

【分析】根據底面積求得底面圓半徑以及底面圓周長即可求得圓柱的側面積.

【解答】解：設圓柱底面圓半徑為，母線長為/,根據已知可得不產=4萬，解得r=2,

故底面圓周長為2乃〃=4乃，則圓柱的側面積為2乃”=40乃.

故答案為：40萬.

【點評】本題考查圓柱的側面積公式，屬于基礎題.

8.（2023?黃浦區校級三模）已知正方形4BC。的邊長是1,將AA8C沿對角線AC折到△A8c的位置，使

（/疊后）A、B'、C、。四點為頂點的三棱錐的體積最大，則此三棱錐的表面積為1+坦.

—2-

【分析】根據題怠，分析可得當而AC。時，四梭錐"-A8c的體枳最大，由此求出二梭錐各個面的

面積，計算可得答案.

【解答】解：根據題意，正方形A8CD中，設從。與必交于點O,

在翻轉過程中，當斤。1■面AC。時，四棱錐汗-A8C的高最大，此時四棱錐汗-A8C的體積最大，

若8O_L面4dH由于<M=O8=OC,510RD=BA=BA=\,

則都是邊長為1的等邊三角形，S歸A=SD&C=LX1X1X?=?，

i-fo.*?（224

AADC中，人￡>=￡>C=1且人￡>_L￡）C,則SR*.=Lxlxl=L

zw人.22

同理：S.A81c~S：1ABe~S&w=—?

此時，三棱錐的表面積S=S.OBA+5陰c+SMJC+S.A&C=1+*.

故答案為一邛.

【點評】本題考直棱錐的體積、表面積的計算，注意分析棱錐體積最大的條件，屬于基礎題.

9.（2023?嘉定區二模）如圖，正四棱柱A8cO-AgGB中，AB=2,點￡、廠分別是棱8。和CQ的中

點.

（I）判斷直線AE與RF的關系，并說明理由；

（2）若直線口￡與底面A3CD所成角為三，求四棱柱AACO-AgGA的全面枳.

AB

【分析】（1）說明四邊形是梯形即可：（2）NQEO是直線與底面所成角，由此可得棱

長，從而確定四棱柱ABC。-A&G4的全面積.

【解答】解：（I）連結￡F、AD「町,

,:點.E、尸是中點，:.EF1/BC、且EF=、BC\，

正四棱柱中四邊形ABCR是矩形，則A?！ā℅且AD,=BC,

于是EFHAD,且EF=；AQ,則四邊形EFD.A是梯形，

則直線AK與RF是相交直線.

（2）連結。E,因為AB=2,點￡是中點，所以在RTADEC中，DE=#>,

正四棱柱中2。_1面ABCD,則NDE。是直線與底面AHC7）所成知，

所以N〃E/）=45。，于是。。=。￡=6，

正四棱柱的4個側面是矩形，上下兩個底面是正方形，

則全面積為5=4x26+2x4=875+8.

【點評】本題考查線面垂直，考查線面所成的角，屬于中檔題.

四.棱柱、棱錐、棱臺的體積（共11小題）

10.（2023?崇明區二模）《九章算術》中將底面為直角三角形且側枝唾直于底面的三棱柱稱為“塹堵”：底

面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱之為''陽馬”：四個而均為直角三角形的四面體稱為''鱉.喘”.如

圖，在塹堵—中，AC1BC,且",=AB=2.下列說法錯誤的是（）

A---------------------

、^******^

A.四棱錐3-AACG為“陽馬”

B.四面體AGC8為“鱉膈”

C.四棱錐B-4ACC體積的最大值為2

D.過A點作AEJ.A8于點石，過E點作于點尸，則■面/正/

【分析】根據“陽馬"和''鰲瞬"的定義，可判斷A,4的正誤：當且僅當AC=5C時，四極錐H-AACG

體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據題意可證48_L平面4所，進而判斷D的正誤.

【解答】解：底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三樓柱稱為“塹堵”，

.?.在塹堵其8。一人用0中，ACA.BC,側棱平面A3C,

A選項，.??朋J.BC,乂AC_L8C,且AAr）AC=A,則BC_L平面A,ACG，

匹棱錐3-AACG為“陽馬”，故4正確：

8選項，由AC_L3C,即AC_LBC,又AG_LC0且3。。?！?C，

.?.AG_L平面88CC，??.AG^AG，則△A8G為直角三角形，

又由6CJ_平面/V\GC，得△A6C為直角三角形，由“塹堵”的定義可得△AGC為直角三角形，△CCQ

為直角三角形，

匹而體AGC8為''鰲膈"，故4正確：

C選項，在底面有4=AC2+8C2..24CU即人。8C,2,當且僅當AC=8C=應時取等號，

11244

匕一=-S,AACGxBC=-MxACx3C=-ACx8C,,一，最大值為二，故C錯誤；

。選項，因為AE_LA6，EF1A.B,AE（}EF=E,所以A?_L平面AE/L故。正確：

故選：C.

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，屬于中檔題.

11.（2023?楊浦區校級模擬）若干個能確定一個立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的''基本量”.已知長

方體ABCO-AqGR,下列四組量中，一定能成為該長方體的“基本量”的是（）

A.ABrAC,4R的長度B.AC,BQ,人。的長度

C.BC,A。，4。的長度D.AC,,BD,CG的長度

【分析】根據題意列式求解”，〃，c，逐項分析判斷即可.

【解答】解：如圖，設AB=a,AD=b,A4,=c,根據題意，利用方程思想分析各個選項：

A31=\/a2+/

對于選項A：可得?AC=Qa2+b：據此可以解出。，b,c,故A正確；

AD{=J/+d

對于選項3：可得,據此無法解出〃，〃，c,故3錯誤；

222

BtD=A^C=\Ja-b+c

對于選項C：可得=”型:5,據此無法解出a,〃，c,故C錯誤：

fi,D=V?2+^2+e2

222

ACt=\la+b+c

對于選項。：可得但加+從,據此無法解出“，b,c,故。錯誤;

CC、=c

故選：A.

【點評】本題考查正方體中線段長度的求解，方程思想，屬中檔題.

12.：2023?松江區模擬）《九章算術》中所述“羨除”，是指如圖所示五面體ABC/"/,其中A8///X7/樣，

“羨除”形似“楔體”.“廣”是指“羨除”的三條平行側棱之長〃、b、c,“深”是指一條側棱到另兩.條

側楂所在平面的距離用、“袤”是指這兩條側枝所在平行直線之間的距離〃（如圖）.羨除的體積公式為

v=（a+b+c）nm過線段,⑦，的中點G,〃及直線EF作該羨除的一個截面a,已知。剛好將羨除

6

分成體積比為5:4的兩部分.若回=4、IX：=2,則所的長為（）

A.2B.3C.4D.6

【分析】根據中位線求出“G,再根據所給''羨除”的體積公式表示出匕次匕的冷，根據體積比得到

方程，由此能求出結果.

【解答】解：?.人3=4,CD=2,ABHDCf/EF,〃為線段AD,的中點，

E_______

..(JH//ABHCD,KGW=l(4/?+CD)=3.

VGHCI?T=^[(EF+DC+GH)mxg],%??；”=為EF+AB+GH)mx勺，

62-62

即“H8EF=U(E"+5)〃>T'VABHGEP=1[(EF+7)WX^],

6262

(EF+7)mx-

2

..Y^i=5t.-----6-----=3,解得杯=3.

4

%KDEF4(EF+5)mx-

__________2

6

故選：B.

【點評】本題考查線段長的求法，考查多面體體積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

13.(2023?楊浦區校級模擬)若某圓錐高為3,其側面積與底面積之比為2:1,則該圓錐的體積為_3乃_.

【分析】由題意可列出關于圓錐底面半徑r和母線/的方程組，解方程組即可求得底而半徑「和母線/,從

而可求圓錐的體積.

【解答】解：設此圓錐的底面半徑為r,母線長為/,則『=r+9,

因為圓錐的側面展開圖是一個扇形，

扇形的弧長是圓錐底面圓的周長，扇形的半徑是圓錐母線長，

所以$則=■!■?2/rr-I=nrl,5底=冗，,又側而積與底而積之比為2:1,

所以烏=」=2,所以/=2r,結合/2=/+9可解得「=6，/=26,

nrr

所以該圓錐的體積丫=、乃產.3=3不.

3

故答案為：3乃.

【點評】本題考查圓柱的體積的求解，屬中檔題.

14.(2023?上海模擬)長方體為不計容器壁厚度的密封容器，里而盛有體積為V的水，己

知48=3,明=2,AD=\,如果將該密封容器任意擺放均不能使水而呈三角形，則V的取值范圍為

0,5)一

【分析】如果將該密封容器任意擺放均不能使水而呈三角形，不妨以4在最下端，則水面應高于平面A.BD,

低于平面。。片，再由多而體的體積公式求解.

【解答】解：如圖，

如果將該密封容器任意擺放均不能使水而呈三角形，

不妨以A在最下端，則水面應高于平面,低于平面，

即VA-ABD<V<匕8（?。-4816四一9-3周，

匕/3.A4W一%-54=3x2xl--x-xlx2x3=5,

.,w的取值范圍為（1,5）.

故答案為：（1,5）.

【點評】本題考查長方體截面的性質，考查空間想象能力，屬中檔題.

15.（2023?虹口區校級模擬）如圖，已知”，。是相互垂直的兩條異面直線，直線4?與〃，人均相互垂直，

且力3=275,動點P,Q分別位于直線〃，力上，若直線PQ與所成的角。=工，三棱錐A-BPQ的體

【分析】根據直線a,b,三條直線兩兩垂直，將圖形還原為長方體APFE-8CDQ,再根據AB//PC,

可得NPQC即為直線"Q與鉆所成的角的平面角，由此可求得CQ,從而可得BC?+BQ2,再根據極錐的

體枳公式結合基本小等式即可得解.

【解答】解：因為直線“，力，A3三條直線兩兩垂直，

如圖，將圖形還原為長方體APFE-BCDQ,

因為ABHPC,所以ZPQC即為直線PQ與所成的角的平面角，

則/PQC=2.

6

因為PC_L平面BC。。，CQu平面8COQ,所以尸C_LCQ,

在RtAPCQ中，由PC=AB=26，科CQ=2,

所以8C、8Q2=4,VA_BPQ=VP_ABQ=gxAB-BQ?PA=曰BC?BQ,,gBC；BQ二芋

當且僅當3c=8Q=&時，取等號，

所以三棱錐A-BPQ的體積的最大值為:6.

故答案為：-75.

3

【點評】本題主要考查了三棱錐的體積公式，考查了利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

16.（2023?奉賢區校級三模）一個正方體和一個球的表面積相同，則正方體的體積乂和球的體積匕的比值

乂y/bTT

—=----.

匕-6一

【分析】設正方體的棱長為“，球的半徑為A,由表面積相等列式可得得a=?"A,再由正方體與球的

3

體積公式得答案.

【解答】解：設正方體的校長為八球的半徑為R,

由題意，6/…K,得。=逅/?.

3

./=/=（警燈=2^^

V：QK屈

/.—=---------=----.

K處K6

3

故答案為：容.

6

【點評】本題考查正方體與球表面積、體積的求法，考查運算求解能力，是中檔題.

17.(2023?靜安區二模)如圖，在五面體ABC0EF中，E_L平面ABC。，ADl/BCHFE,AB1AD,

若AD=2,AF=AB=BC=FE=\.

(I)求五面體八8?！?gt;￡尸的體積；

【分析】(1)取仞中點N,連接臼V,CN,易證得EN_L平面A8CQ,五面體48。/%;五的體積等于棱柱

ABF-NCE的體積+棱銖E-CDM的體積，分別求出棱柱A3F-NCE的體積和棱錐E-CDN的體積即可

得出答案.

(2)以A為坐標原點，以人仇A。,人尸為x,y,z軸止半軸建立空間直角坐標系，由垂直向量的坐標運算

可證得CE_LAZ),CELMD,即可得出CE_L平面AMD,再由面面垂直的判定定理即可證明.

【解答】解：(1)因為4)=2,AF=AB=BC=FE=\,取AD中點N,連接硒,CN,

因為AD//BC//FE,所以硒〃AE,EN=AF=\,CN=AB=\,

又用_L平面ABC。，4Vu平面ABC。，FALAN,

所以￡N_L平面A&7),又因為ABJ.A。，即AA_LAN,A8「|尸A=A,

AB,E4u平面RS,所以人V_L平面RW,

所以A4”-NCE為底面是等腰直角三角形的直枝柱，高等于1,

三棱錐E-C/W的高等于1,底面是等腰直角三角形，

所以五面體ABCDEF的體積=極柱ABF-NCE的體積+極錐E-CDV的體積,

!|J：V=一xlxlxl+-x-x1x1=-?

2323

(2)證明：以A為坐標原點，以而/\。,月廠為工，)，，z軸正半軸建立空間直角坐標系,

點C(l,1,0),0(020).E(0,1,1),M(L

所以/1￡)=(0,2,0),MO=(-』.L-』),CE=(-1,Q1),

22

所以C￡>4O=0,CEMO=~!■一J.=o,

22

所以CELA。，CEA.MD,

又從。AO,MDu平面AW。，所以CE_L平面AMD,

又CEu平面CDE，所以平面C￡)E_L平面AA/￡>.

【點評】本題考查了幾何體體積的計算，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題.

18.(2023?松江區校級模擬)如圖，在直三棱柱ABC-A8G中,AC=4,BC=3,AB=5.

(1)求證：AC±BC,；

(2)設AC；與底面ABC所成角的大小為60。，求三棱錐C-A8G的體積.

A

【分析】（1）由已知可得ACJL8C,C.CXBC,進而可證4cL平面C88C，可證結論：

（2）由已知可得NG4C?即為AC；與平面A3。所成的角，可得GC=475,進而可求三極錐C-ABC群體

積.

【解答】解：（I）證明：由AC=4,BC=3,AB=5,得AS，=AC?+C8?,

/.Z4CB=90°?:.ACA.BC,

在直三棱柱—中，可得CC_L7?C,8C「）CC=C,

/.AC±平面CBB￡,?.BC、u平面CBB?,

ACJLBC、；

（2）由GC_1_平面48C,可得AC為4G在底面A4C內的射影，

知/C/C即為八C與平面A8C所成的角，.?./。/。=60。，

又,△G4C為直角三角形，且AC=4,.?.。1=4/，

GC為三極錐G-48C的高，5MBe=6,

L/g=%W=g.九陽?GC=gx6x=86，

三棱錐C-ABCt的體積8>/3.

【點評】本題考查線線垂直的證明，考查空間幾何體的體積的計算，屬中檔題.

19.（2023?徐匯區三模）如圖，已知頂點為S的圓錐其底面圓O的半徑為8,點Q為圓錐底面半圓弧人C

的中點，點尸為母線S人的中點.

（1）若母線長為10,求圓錐的體積：

（2）若異面直線。。與SO所成角大小為巳，求P、Q兩點間的距離.

【分析】（1）由已知結合勾股定理求圓錐的高，再由圓錐的體積公式進行求解：

（2）取。A的中點連接PM,得到PM//SO,得到乙WPQ為異面直線PQ與SO所成的角，再由已知

求解直角三角形得答案.

【解答】解：（1）圓錐的底面半徑r=8,

若母線長為10，則圓錐的為4=J10?82=6,

醫錐的體積為V=-nr'h=i^x64x6=128萬：

33

（2）取OA的中點M,連接。M、QM,

又點P為母線SA的中點，.?.0“//SO，

故NMPQ為異面直線尸。與SO所成的角，等于工.

4

由點Q為半圓弧AC的中點，得OQ1OA,

在RlAMOQ中，?.?OM=4,OQ=8,M0=<8?+3=46,

PM（ISO,且SO_L平面48Q,

.?.QW_L平面ACQ,又MQu平面ABQ,

PM1MQ,

在RtAPMQ中，?;NMPQ=5,MQ=4>/5,.,.PQ=4癡.

4

即/>、Q兩點間的距離為4J6.

【點評】本題考查圓錐的體積以及異面直線所成角，考查運算求解能力，是中檔題.

20.（2023?奉賢區校級三模）己知三棱錐尸—ABC，R1_L平面A4C,B4=6,AC=4,ABLBC^M,

N分別在線段QB,PCh.?

（1）若尸8與平面ABC所成角大小為工，求三棱錐P-ABC的體枳V：

3

（2）若尸CJ.平面AMN,求證：AM,平面P8C.

P

【分析】（1）由以_L平面48C,得Q4_L48,再由已知可得/產/弘=工，/%=6,求解三角形得AB,BC,

3

然后利用極錐體積公式求解；

（2）由P4_L平面ABC，得平面平面A8C，再由AC_LAA，得AC_L平面Q4B，可得A〃J_8C,

由尸C_L平面AWN,得AW_LPC,再由直線與平面垂直的判定可得AMJ_平面尸BC.

【解答】（1）解：?.P4_L平面A5C,ABu平面A3C，.?.Q4_L4?,

陽與平面A3c所成角大小為工，即NPHA=我，且尸A=6,.,.八8=2-=二=2百，

33冗G

°°tan-V，

3

在A43C中，，A8_LBC,AB=2^,AC=4,「.BC=西-（2廚=2.

：

V?,—.A.f/Hlr=-3SJ..Br-PA=-3x-x?2x/3x2x6=4>▼/3

（2）證明：.Q4_L平面ABC,小u平面RIB,二平面RR_L平面ABC,

又平面小BC平而ABC=AB,3Cu平而尸4C,BCA.AB,..BC_L平而Q4B,

?.AMu平面處8,/.AM±BC?

已知PC_L平面人MN,AMu平面AWN,:.AMLPC,

又3。。死=（7.BC、PCu平面PRC.

.?乂”_1平面/>8。.

【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了多面體體積的求法，是

中檔題.

五.球的體積和表面積（共5小題）

21.（2023?徐匯區二模）如圖，棱氏為2的正方體48。。-4用6。的內切球為球O,E、b分別是棱

和棱CG的中點，G在棱8C上移動，則下列命題正確的個數是（）

①存在點G,使OQ垂直于平面EAG:

②充于任意點G,3平行于平面EFG；

③直線所被球O截得的弦長為血；

④過直線EF的平面截球。所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為巳.

2

A.0B.IC.2D.3

【分析】①當點G為中點時，證明用OJ_平面EF、G;②當點G與3重合時，A在平面EF8上，O在平面

EFB外,說明不成立；③點歷是線段收的中點，利用弦長公式求弦長：④當OM垂直于過所的平面，

此時截面圓的面積最小，利用③的結果求圓的面積.

【解答】解：當G為8C中點時，EGkBD,EG±BB},

BD,B風u平面RDB、，EG_L平面BDB,，

平面EPG//平面ACR,8Qu平面8。片，:.EG工BQ,

同理GF_LgO,EG(}GF=G,EG,G/u平面EAG，

所以4。_1_平面瓦'G,即OO_L平面￡FG,故①正確；

當G與3重合時，A在平面￡7必上，。在平面瓦8外，故②不正確:

如圖，點M是線段的中點，由對稱性可知OW_LM,

由勾股定理可知易知上尸=^￡獷+8/=瓜,OE=6,

球心。到所距離為0M標百瀉,

則所被球截得的弦長為/=2^R2-()M2=2=>/2,

面積為S=7rr2=—7T?故④正確.

2

故選：D.

【點評】本題考查線而垂直的判定定理，球的截面問題，化歸轉化思想，屬中檔題.

22.（2023?虹口區校級三模）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錢的頂點）的母線長為逐，高為1,

o、Q為底面圓周上任意兩點.有以下三個結論：

①三角形SP。面積的最大值為2；②三棱錐O-SPQ體積的最大值為:；③四面體SOPQ外接球表面積的

最小值為9不.

以上所有正確結論的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】對①，由己知計算出底面半徑的長度，以及軸截面的頂角大小，利用三角形的面積公式可知，當

NPSQ=9O。時，三角形SPQ面積最大，可判斷選項①；對②，利用三棱錐等體積轉換，可得當。。_1面5。/>

時，三棱錐O-SPQ體積最大，可判斷選項②；對③，因為5。_1底面圓，所以四面體SOPQ外接球球心在

SO的中垂面和過AOPQ外接圓圓心的底面垂線的交點處，利用勾股定理和正弦定理可計算出最小值，判

斷選項③.

【解答】解：對于①，由母線長為石，高為1,

可得底面半徑為石二1=2,設是底面圓的一條直徑，

則cos4BSC==--<0,即NBSC是鈍角，

2xV5xV55

又m=；SPxSQxsin/PSQ=gx君x石xsin/PSQ=^xsinZ.PSQ.

則存在點夕，Q,當NPSQ=90。時，

sin/PSQ=l,三角形SPQ面積的最大值為3,故①錯誤：

2

對于②,?..又皿二當。QI而SOP時.

1?2

（%-$世）2==5xS”xOQ=-x\x2=-t故②正確；

對于③，設AOPQ的外接圓半徑為「，

S。_L底面圓，二四面體SOPQ外接球半徑R,

.?.*=/+dsO）2,若外接球表面積的最小，即外接球的半徑R最小,

2

又川=/+_!.,即在底面圓中，AOPQ的外接網半徑最小，

由正弦定理2/=」^

sin/OPQsin/OP。

.?.點，經過線段O0的中垂線時，NOPQ最大，AOPQ的外接圓半徑最小,

即四面體SOPQ外接球表面積的最小值為4江2=19乃，故③錯誤.

故選：B.

【點評】本題考行圓錐中截面三角形面積的最值的求解，正弦定理的應用，化歸轉化思想，運動變化思想，

屬中檔題.

23.（2023?嘉定區模擬）如圖，直三棱柱A8C-A3c中，AC1BC,AC=幣,BC=3,點P在極電

上，且/%_L"G，當&4PG的面積取最小值時，三校?錐尸-ABC的外接球的表面積為_28乃_.

【分析】根據線面垂直的判定定理與性質，三角形面積公式，基本不等式，即可求解.

【解答】解：.?三棱柱人8C-AMG為直三棱柱，又AC_L3C,

.?.易得4(7_1平面6。。心，又PQu平面6CGM，

PC,±AC,又E4_LPG，且從。。?八=人，

???PG_L平面E4C,又APu平面小C,

/.PC,_LAP,

如圖，設NBCP=6,則易得NCGP=。，又BC=3,

，又AC=&,

cos-tailsing

.?.PA=《AC?+PC'=J7+(—?-)2,

/.MFC,的面積S=1x

131r9

=-----------.7H-----;—

2sin。Vcos'O

=3/7?9

2Vsin'6+sin~Ocos~0

_3I79($而B+cos'B)

2Vsin'Osin~0cos20

=3I16i9.

2cos20

_3Il6(si/r^+cos2^)~9(sin20+cos13}

2VsirfOcos20

=--/25+9tarr0+?725+279716=—,

2V荷022

1A9

當且僅當9WM=T-,即〔an"三時，等號成立，

ia，rOx/3

此時P3=3Cxtan夕=275,又AB=《AC。+BC?=j7+9=4,

;.PA=《AB、PB。=J16+12=2",

-.AC1PC,AB工PB,

三棱錐P-ABC的外接球的直徑2R=PA=2幣,

，三棱錐P-A8c的外接球的半徑R=?,

三棱錐P-ABC的外接球的表面枳為41代=28萬,

故答案為：28%.

【點評】本題考查線面垂直的判定定理與性質，三角形面積的最值的求解，基本不等式的應用，三棱錐的

外接球問題，屬中檔題.

24.（2023?浦東新區校級三模）一個上三棱錐的側棱長為1,底邊長為Q,四個頂點在同一球面上，貝!此

球的表面積為_31_.

【分析】由題意球心到正三棱錐四個頂點的距離相等都為R,由于頂點在底面的射影是底面的中心，故棱

錐的高易求出，由此球心到底面的距離可以表示出，故可以利用球心到謀面的距離、球的半徑、底面中心

到頂點的距離這個直角三角形利用勾股定理建立方程求出球的半徑.

【解答】解：由題意設球的半徑為R，正三棱錐在底面的投影是底面的中心，

由于一個正三棱錐的側棱長為1,底邊長為故底面三角形的高為逅，底面中心到底面三角形的頂點

2

的距離是2x"="

323

故三棱錐的頂點到底面的距離是，『-（手）2=y

故球心到底面的距離是理-拉，由幾何體的結構知哼）2+（殍—R『=配得/?=當

此球的表面積為4x；rx（￥）2=3萬

故答案為3不

【點評】本題考查球的體積和表面積，求解本題的關鍵是根據三棱錐的幾何結構求出球的半徑，再由公式

求表面積.對幾何體空間結構的透徹了解，是解立體幾何體的關鍵.

25.（2023?徐匯區校級三模）在01BC中，AC=2>/5,頂點8在以八。為直徑的圓上.點P在平面人BC上

的射影為AC的中點，PA=2,則三棱錐P-ABC外接球的半徑為2.

【分析】由已知可得MBC為直角三角形，得到AC的中點。為A4BC外接圓圓心，再由PO_L底面ABC,

可得用C的外心即為三棱錐P-4茫外接球的球心，求解三角形得到三棱錐外接球的半徑.

【解答】解：如圖，

.頂點8在以AC為直徑的圓上，.??乙鉆。=90。，

?.AD=DC,:.D為A4BC的外心，

又尸￡>_L平面A3C,且AO=DC,:.PA=PC=2,

?.?PDu平面R4C，可得平面Q4CJ■平面48C,

則^PAC的外心即為三棱錐P-ABC外接球的球心.

在中，由余弦定理可得，cos2Ape=*+.—（2后=一）

2x2x22

AZAPC=120°,sinZAPC=—,

2

設姐4c外接圓的半徑為A,則2R=——...得R=2.

sinZAPC

故答案為：2.

AD

【點評】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，展中

檔題.

六.平面的基本性質及推論（共1小題）

26.（2023?黃浦區校級三模）如圖，王方體A8CO-A3cA中，E,/分別為棱CQ的中點，在平

面內且與平面。逐產平行的直線（）

A.不存在B.有I條C.有2條D.有無數條

【分析】由已知中”分別為棱/W,CC；的中點，結合正方體的結構特征易得平面AORA與平面2七/

相交，由公理3,可得兩個平面必有交線/,由線面平行的判定定理在％面內，只要與/平行的直線

均滿足條件，進而得到答案.

【解答】解：由題設知平面人。。4與平面REF有公共點R,

由平面的基本性質中的公理知必有過該點的公共線/,

在平面/ADD,A內與/平行的線有無數條，■它們都不在平面REF內,

由線面平行的判定定理知它們都與面QE”平行，

故選：D.

【點評】本題考查的知識點是平而的基本性質，正方體的幾何特征，線而平行的判定定理，熟練掌握這些

基本的立體幾何的公現、定現，培養良好的空間想像能力是解答此類問題的關鍵.

七.異面直線及其所成的角（共2小題）

27.（2023?徐匯區校級三模）在正方體ABCO-A3CQ中，E為線段AG上的動點，則與直線CE夾角為

定值的直線為（）

A.ACB.A。C.BDD.A{A

【分析】以。為坐標原點可建立空間直角坐標系，設AB=1,E（x,y,1）,=D，可得

Ed-A,4，1）,利用線線角的向量求法可求得結果.

【解答】解：以。為坐標原點，正方向為x,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

設=1,

則。(0,0,0),8(1,1,0),C,(0,1,1),4(1,0,0),C(0,1,0),4(1,0,I),

4C=AD=(T，O，-I)，BO=(-L-I,O),AA=((),O,-I),AG=(-I/，O)

設￡(x,)，，1),則=(0顏1),

2,1),CE=(l-x,A-lJ)?

對于A,|cos<AC,CE>\=MCC￡|=72"11=^不是定值，A錯誤；

\AC\\CE\V2xV2(/l-l)2+l

對于C,|上但="7+TI皿

\BD\\CE\72x72(2-1)2+1

對于3,|cos<ADCE>|=IA℃E|=|廣2|不是定值,、錯誤;

故直線BD與CE所成角為定值巴，C正確；

2

時于3,|cos<M,CEXJM'EI_；------不是定值，。錯誤.

IMIK￡|&--4%+3

故選：C.

【點評】本題主要考查了空間角的求解，向量的應用是求解問題的關鍵，屬于中檔題.

28.（2023?浦東新區校級一模）如圖，三棱柱ABC-A4G中，底面ABC,AB=AC,。是8C的

中點.

（1）求證：8C_L平面AAO：

（2）若NK4C=9O°,BC=4,三核柱ABC-4用G的體積是86，求異面直線A。和叫所成的角出大

小.

【分析】（1）推導出M1BC,BCLAD,由此能證明BC1平面AA。.

（2）以A為原點，■為x軸，AC為），軸，A4,為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出異而直線AQ

和從4所成的角的大小.

【解答】證明：（1）=AA,_L底面ABC,=4人_LBC,

又。是8C的中點，BCLAD,

伍山。=A,

/.〃cj_平面AAD.

解：⑵??/麗C=9O°,AB=AC,BC=4,

AB=AC=2>/2,=—xABxAC=—x2>/2x2\/2=4,

三棱柱ABC-A,BC的體積是：

S.，w?AA=4AA=8G，解得AA,=2^3,

以A為原點，/止為X軸，AC為），軸，A4,為z軸，建立空間直角坐標系,

則D（應,&,0）,A（0,0,0）,8（2&,0,2?

夜，-2揚，AB、=Q0,0,2折,

設異面直線A。，AB1所成角為。,

8二小

限國—5

二異面直線4。和A4所成的角的大小為arccos舍.

【點評】本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置

關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題.

八.異面直線的判定（共1