數學科試題（理科）

留意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自

己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題片上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并收回。

一.選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中只

有一項是符合題目要求的

1.已知集合4={4^-2X一3>0},8={2,3,4},貝iJ（C；A）c8=

A.{2,3}B.[2,3,4}C.{2}D.0

1—

2.已知i是虛數單位，z=—，則z-z=

A.V5B.Vio

執行如圖所示的程序框圖，若輸入的點為則輸出的〃值為

CW)

/輸入P（*J）/

71=1|

n=n+l

（第3題）（第4題）

4.如圖，A8CO是邊長為8的正方形，若且尸為BC的中點，則以?四=

3

A.10B.12C.16D.20

p+y<2

5.若實數MV滿意,y—xKl.則z=2。8》的最大值是

y>0

A.4B.8C.16D.32

6.一個棱錐的三視圖如右圖，則該棱錐的表面積為

A.16A/5+8A/2+32

B.32括+32

力28?li8—*1

正碉.例襁圖

C.16后+32r

D.16石+16&+32

R8?l

7.5張卡片上分別寫有0,1,2,3,4,若從這5張卡片中隨機就履圖張，則取出的2張卡片

上的數字之和大于5的概率是

A.1B,1

c.AD.i

1()51()5

8.設S”是數列｛凡｝的前〃項和，旦q：=T，4用=S“5+I,則%=

A.±B.」C.±D.」

3()3()2()20

9.函數/("=In匕土的大致圖像為

小4

\\T'HT

ABCD

10.底面為矩形的四棱錐P-A8CD的體積為8,若PA_L平面A8CO,且E4=3,則四棱錐

P-ABCD的外接球體積最小值是

25125

A.—7iB.125/rC.----TVD.25萬

66

11.已知拋物線y2=2px(p>0),過焦點且傾斜角為30°的直線交拋物線于A,B兩點，以AB

為直徑的圓與拋物線的準線相切，切點的縱坐標是3,則拋物線的準線方程為

A.x=-1R.丫=————C.x=———D.x——>/3

23

12.已知函數/(x)=x2-lnx(xN專),函數g(x)=x-J,直線)，=/分別與兩函數交于

A.B兩點,則|Aq的最小值為

13

A.—B.1C.—D.2

22

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設樣本數據芭，馬----v2(ll8的方差是5,若y=3七+1(i=1,2,…2018),則乃，為，…，

y加8的方差是________

14.已知函數/(x)=sin3?一百COS5(3>0),若/=3,則方程/(x)=T在(0,乃)的實

數根個數是_

15.我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1,2.9填入3x3的方格內，

使三行、三列、兩對角線的三個數之和都等于15(如圖).一般地，將連續的正整數1,2,

3,…，填入〃x〃的方珞內，使得每行、每列、每條對角線上的數的和相等，這個正方

形就叫做〃階幻方.記〃階幻方的一條對角線上數的和為N”(如：在3階幻方中,

M=15),則N$=

16.已知AABC中，內角力，氏。所對的邊分別為a,b,c,且c=l,C=-.

3

若sinC+sin(A-B)=sin2B,則MBC的面積為

三、解答題：本大題共6小題，其中17-21小題為必考題，每小題12分，第22—23題為選考

題，考生依據要求做答，每題10分.

17.(本小題滿分12分)

設數列伍”｝是公差為d的等差數列.

(I)推導數列｛%｝的通項公式；

(II)設"工0,證明數列｛成+1｝不是等比數列.

18.(本小題滿分12分)

某中學為了解全校學生的上網狀況，在全校隨機抽取了40名學生(其中男、女生各占一半)

進行問卷調查，并進行了統計，按男、女分為兩組，再將每組學生的月上網次數分為5組：[0,

5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

女生組男生組

(I)寫出女生組頻率分布直方圖中。的值；

(II)在抽取的40名學生中從月上網次數不少于20的學生中隨機抽取2人，并用X表示隨

機抽I僅的2人中男生的人數，求X的分布列和數學期望.

19.（本小題滿分12分）

在直三棱柱A8C-AMG中，AB=AC=AA1=2,BA1CA

(I)證明:BC}1AB.；

(II)求直線A。與平面46G所成的角.

20.(木小題滿分12分)

22

在平而直角坐標系xoy中，已知橢圓E:二+冬=1(。＞力＞0),

a~b~

圓0：/+丫2=尸(0＜’.＜勿，若圓。的一條切線/：),=履+〃7與橢圓石相交于A8兩

點.

(1)當k=一，/=1,若點A,3都在坐標軸的正半軸上,求橢圓的方程；

3

(II)若以A8為直徑的圓經過坐標原點，探究。,上廣之間的等量關系.

21.(本小題滿分12分)

已知函數/(幻=/一以(e是自然對數的底數).

(I)求/(用的單調區間；

(II)若a之一1,當.葉⑺之1一頭匚主2+3辦一1+，〃對隨意工￡[0,+8)恒成

立時，，〃的最大值為1,求實數a的取值范圍.

請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分，做答時請先將

對應題號用鉛筆涂黑.

22.(本小題滿分10分)選修4一4：坐標系與參數方程

在直角坐標系戈Oy中，曲線G的參數力程為?y1]+3s：g(9為參數)?以坐標原點為

極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕=2cosO.

(I)寫出G的一般方程和的直角坐標方程：

(II)設點P在G上，點。在02上，推斷G與C2的位置關系并求I尸QI的最小值.

23.(本小題滿分10分)選修4一5：不等式選講

已知函數f(x)=k+H+|2x-l](m>0).

(I)當"7=1時，解不等式/(x)22：

(H)當時，不等式:/。)之,+1|恒成立，求實數”的取值范圍.

數學科答案(理科)

一、選擇題1-5AC4。力6-10A8C8C

二、填空題13.返14.315.6516.彳或不

三、解答題

17解：(1)因為｛〃，，｝是等差數列且公差為d,所以。“一可7="(〃22)i

=d,a3-a2=d...,an-an_x=d3

將上述式子相加，得an-ax=(n-\)d

所以，數列｛凡｝的通項公式為凡=4+(〃T)"6

(2)假設數列伍”+1)是等比數列，7

當〃22時，〃2+1，%+1，成等比數列

所以(/+1)2=?*+1).(/+]+1)9

所以(4+l)2=Kq+D-dH&+l)+d]

所以j=0,所以”=0,這與dw0沖突

所以，數列伍〃+1｝不是等比數列.......................12

18.解：(1)由頻率分布直方圖，得a.-Qx0。2+；03+0.08)x5錯誤!未找到引用

源。=0.05.3

(2)在抽取的女生中，月上網次數不少于20的學生的頻率為0.02X5=0.1,

學生人數為0.1X20=2.4

同理，在抽取的男生中，月上網次數不少于20的

學生人數為0.03X5X20=3,5

故X的全部可能取值為0,1,2,

則P(X=0)=2=,錯誤！未找到引用源。，P(X=1)=華=9錯誤！未找到引

C；10C；10

C23

用源。，P{X=2)=—v=—

c；io.....................

所以X的分布列為

0i2

133

P

io5To

所以爪A)=0X5錯誤！未找到引用源。+1x2錯誤！未找到引用源。_3_=6

105To5

錯誤！未找到引用源。.12

19.解：(1)由題意，以A為坐標原點，以AB,AC,所在直線分別為軸，y

軸，z軸建立空間直角坐標系A-xyz.

因為A8=AC=A4|=2

則40,0,0)，3(2,0,0),0(0,2,0),A(0,0,2),耳(2,0,2),C,(0,2,2)............3

所以犯二(-2,2,2),淳=(2,0,2)

所以心甌=-4+0+4=0.....................................................................................4

所以屆J.麗,所以

BC}1AB{f

(2)又因為“=(2,0-2),所以心?還=4+()-4=0

所以蔽_1_而又因為A8c8G=8

所以AM_L平面A/G，..........................................................................................€

—>—?—>—4I

又AC=(0,2,-2),所以COS<4C，A4>==一一.................10

V8,V82

—>—>24

所以<ACA8|>=y,........................................................................................11

所以直線AC與平面A8G所成的角為￡..............................12

6

20.解（1）因為圓。的一條切線為/：y=kx+m

所以，i^=〃，當攵=一!,r=l,所以帆=萼

2

又點A"都在坐標軸的正半軸上，所以〃?=半，所以切線/：）,=—；工+半

所以兩點坐標是（。，罟■）和（師）

4,B,0,4

所以橢圓的方程為法=1

5

（2）設4（內,凹），3（通,必），以48為直徑的圓經過坐標原

所以用占+%乂=。，所以芭々+（&%+〃川攵玉+"。=06

所以(1+?2)芭4+&〃2(X]+々)+〃/=0

X4=i

由下十+戶所以(從+a-k~)x~+2knurx+a-m--crb~=0

y=kx+m

a2m2-a2b2-Ikma2

所以王當=a2k2+b，'芭

8

所以(222222222

1+k)(am-ab)+kui(-2kirkr)+m(ak+b)=O10

且〃/=r2(\+k2)

所以(a2+b2)r2(l+Z:2)=(1+k2)a2b2,11

111

所以r+77=-7

a-b-r....................................................12

21.解(1)因為/'*)=--〃1

①aWO時，/'(?NO恒成立，所以/(x)在R上單調遞增，無減區間；.......2

rx

②々>0時，f(x)=e-a=0^x=\naf

且x€(-oo,Ina)時，f\x)<0xe(lna,+oo)時，f\x)>0,

所以/(A)的增區間是(In凡+2)，減區間是(-8,Ina)4

32

(2)xf'(x)>x-"+3x+3ax-1+〃?對隨意xe[0,+8)恒成立，

2

r32

所以x(e-ax)>x-"+3x+30r-1+m對隨意xw|0,+8)恒成立

2

所以/〃Wx(ex-x2+.0x-3a)+l對隨意xe[0,十s)恒成立..............5

2

設g(x)=e"一x?+"x-3a,xe[0,+8),因為m的最大值為1,..........6

2

所以g(x)=ex-x2+Dx-3a>0恒成立

ga)=e'-2x+^^,..................................................7

令〃(幻=犬_2/3*1)

f

所以"(x)=e'一2=。有x=ln2,且xe[0,ln2),h(x)<0fxe[ln2,+oo),h'(x)>0

所以，(x)Ng'(ln2)=2+永〃+1)-21n2>0

所以g(x)在x￡[0,+8)是單調遞增的。...................................10

所以g(x)Ng(0)=1-3〃20恒成立，所以.............................11

所以實數。的取值范圍是[—1,1]...........................................12

22.解：(I)G的一般方程為：2+—1)2=9............(2分)

將