人教B版

數(shù)學(xué)

必修第一冊第二章等式與不等式習(xí)題課——不等式課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握不等式的性質(zhì),并能應(yīng)用性質(zhì)證明一些簡單問題.2.掌握證明不等式的常用方法:作差法、分析法、綜合法和反證法.3.會(huì)解一元二次不等式.4.能靈活運(yùn)用均值不等式求最值.5.提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、不等式的性質(zhì)1.(1)a>b,c>0?ac>bc;(2)a>b,c<0?ac<bc;(3)a>b,b>c?a>c;(4)a>b,c>d?a+c>b+d;(5)a>b>0,c>d>0?ac>bd;(6)a>b>0?an>bn(n∈N,n>1);2.(1)下列命題是真命題的是(

)A.若,則a<bB.若a>b,則a3>b3C.若a>b,b≥c,則a≥cD.若a≥b,c≥d,則ac≥bd答案:B(2)已知a<b<0,c>d>0,求證:ac<bd.證明:∵a<b<0,∴-a>-b>0.又c>d>0,∴-ac>-bd,∴ac<bd.二、一元二次不等式1.(1)如果x1<x2,則不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)?x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根據(jù)k的正負(fù)等知識可得到原不等式的解集.2.解下列不等式:(1)(3-x)(x+6)≥0;(2)x2-4x+3≤0.解:(1)原不等式等價(jià)于(x-3)(x+6)≤0,解得-6≤x≤3,故原不等式的解集為[-6,3].(2)∵x2-4x+3≤0,∴(x-2)2≤1,∴-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.故原不等式的解集為[1,3].三、均值不等式1.(1)如果a,b都是正數(shù),那么,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.(2)a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.2.(1)已知t>0,求

的最小值.(2)已知x,y都是正實(shí)數(shù),且x+2y-xy=0,求x+2y的最小值.令x+2y=t,則t2≥8t,∴t≤0或t≥8.∵t=x+2y>0,∴t≥8,即x+2y的最小值為8.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)對任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立.(

)(2)不等式x2≤0的解集為?.(

)(3)若-6<a<8,-4<b<2,則-2<a-b<6.(

)(4)若a<b,c>d,則a-c<b-d.(

)×××√合作探究釋疑解惑探究一證明不等式【例1】

已知a>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2,求證:b>c>a.分析:已知條件中含有等式和不等式,可考慮從等式出發(fā),找出未知數(shù)間的等量關(guān)系,再代入不等式證明.證法一：由a2-2ab+c2=0,a>0,得b=,a2+c2=2ab.∵a>0,∴b>0.又bc>a2>0,∴c>0.∵(a-c)2≥0,即a2+c2-2ac≥0,∴2ab-2ac≥0,即2a(b-c)≥0,∴b-c≥0.若b-c=0,即b=c,則由a2-2ab+c2=0,得a=b=c,∴bc=a2.這與bc>a2矛盾,∴b-c>0,即b>c.∴(a-c)(2a2+ac+c2)<0.∵a>0,b>0,c>0,∴a-c<0,即a<c.∴b>c>a.證法二：由a2+c2=2ab>0,a>0,得b>0.由b>0,bc>a2,得c>0.∵2ab=a2+c2≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號成立.∴b≥c.若b=c,則a=b=c,∴bc=a2,這與bc>a2矛盾.∴b>c.由b>c,bc>a2,得b2>bc>a2,∴b>a.又a2+c2=2ab>2a2,∴c2>a2,∴c>a.綜上可知b>c>a.不等式的性質(zhì)和均值不等式是進(jìn)行不等關(guān)系推理運(yùn)算的理論基礎(chǔ)和工具,應(yīng)注意準(zhǔn)確應(yīng)用,保證每一步的推理都有根據(jù).證明時(shí)可靈活運(yùn)用不等式證明的各種方法,如作差法、分析法、綜合法、反證法等.【變式訓(xùn)練1】

已知x,y,z都是正實(shí)數(shù),且滿足條件xyz(x+y+z)=1,求證:(x+y)(y+z)≥2.證明:∵x,y,z都是正實(shí)數(shù),xyz(x+y+z)=1,探究二一元二次不等式恒成立問題【例2】

已知關(guān)于x的不等式x2+(a+1)x+1>0,x∈(0,2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.將本例變?yōu)殛P(guān)于a的不等式x2+(a+1)x+1>0,a∈(0,2)恒成立,求x的取值范圍.一元二次不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解或根據(jù)相應(yīng)函數(shù)圖象特點(diǎn)求解.【變式訓(xùn)練2】

若關(guān)于x的不等式ax2+(a-1)x+a-1<0對x∈R恒成立,則a的取值范圍為

.

解析:當(dāng)a>0時(shí),二次函數(shù)y=ax2+(a-1)x+a-1的圖象開口向上,不合題意;當(dāng)a=0時(shí),不等式化為x+1>0,也不合題意.易錯(cuò)辨析

忽略等號成立的一致性致錯(cuò)

答案:D以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述在求解過程中使用了兩次均值不等式:但這兩次取等號的條件分別需滿足x=2y與x=y,所以取不到等號.答案:B隨堂練習(xí)1.下列條件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使不等式≥2成立的個(gè)數(shù)是(

)A.3 B.2 C.1 D.0答案:AA.1 B.2 C.3 D.4答案:D答案:AC4.若關(guān)于x的不等式x2-ax+a>0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

解析:由題意,得(-a)2-4a<0,即a2-4a<0,解得0<a<4.答案:(0,4)5.已知三個(gè)不等式:①ab>0,②

,③bc>ad,用其中兩個(gè)作為條件,剩下的一個(gè)作為結(jié)論,則可組成

個(gè)真命題.

答案:36.某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米造價(jià)為40元,兩側(cè)墻砌磚,每米造價(jià)為45元,頂部每平方米造價(jià)為20元,求倉庫占地面積S的最大允許值是多少?為使S達(dá)到最