第3章

一次方程（組）小結與復習課程導入

課程講授習題解析歸納總結

助力教學僅限個人使用，一、方程的有關概念

1.

方程：含有未知數的等式叫作方程．2.

一元一次方程的概念：只含有____個未知數，未知數的次數都是____，等號兩邊都是______，這樣的方程叫作一元一次方程．3.

方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫作方程的解．4.

解方程：求方程解的過程叫作解方程．一1整式

助力教學僅限個人使用，5.二元一次方程的概念：含有______未知數的_____方程，叫作二元一次方程.6.二元一次方程組的概念：由兩個______方程組成的含有______未知數的方程組叫作二元一次方程組.兩個一次一次兩個

助力教學僅限個人使用，7.二元一次方程組的解：使二元一次方程組中每個方程都成立的兩個未知數的值，叫作二元一次方程組的解.8.三元一次方程組的概念：由三個_____方程組成的含有_______未知數的方程組叫作三元一次方程組.一次三個

助力教學僅限個人使用，1.

等式的性質1：等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，結果仍相等．如果a＝b，那么a±

＝

b±c.2.

等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等．如果a＝b，那么ac

＝___；如果a=b(c≠0)，那么＝____．二、等式的性質bcc

助力教學僅限個人使用，解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：方程兩邊都乘各分母的最小公倍數，別漏乘．(2)去括號：注意括號前的系數與符號．(3)移項：把含有未知數的項移到方程的左邊，常數項移到方程右邊，移項注意要改變符號．(4)合并同類項：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數化為1：方程兩邊同除以x的系數，得x＝m的形式.三、一元一次方程的解法

助力教學僅限個人使用，四、二元一次方程組的解法（1）代入法：從一個方程中求出某一個未知數的表達式，再把它“代入”另一個方程，進行求解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.（2）加減法：把方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數的方法，叫做加減消元法，簡稱加減法.

助力教學僅限個人使用，五、三元一次方程組的解法消元法：通過消元，把一個較復雜的三元一次方程組轉化為簡單易解的階梯形的方程組，從而通過回代得出其解，整個求解過程稱為用消元法解三元一次方程組.

助力教學僅限個人使用，1.

列方程解決實際問題的一般步驟：

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量．

設：設未知數，設其中某個未知量為

x.

列：根據題意尋找等量關系列方程．

解：解方程．

驗：檢驗方程的解是否符合題意．

答：寫出答案(包括單位)．六、實際問題與一（二）元一次方程審題是基礎，找等量關系是關鍵.

助力教學僅限個人使用，2.

常見的幾種方程類型及等量關系：(1)行程問題中基本量之間關系：路程＝速度×時間．①相遇問題：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；②追及問題：甲為快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；③流水行船問題：

v順＝v靜＋v水，v逆＝v靜－v水．

助力教學僅限個人使用，(2)工程問題中基本量之間的關系：①工作量=工作效率×工作時間；②合作的工作效率=工作效率之和；③工作總量=各部分工作量之和=合作的工作效率×工作時間；④在沒有具體數值的情況下，通常把工作總量看做1.

助力教學僅限個人使用，(3)銷售問題中基本量之間的關系：①商品利潤=商品售價－商品進價；②利潤率=；③商品售價=標價×；④商品售價=商品進價+商品利潤=商品進價+商品進價×利潤率=商品進價×(1+利潤率).

助力教學僅限個人使用，(4)分段計費、方案問題①

要善于分析問題中的不變量，并利用不變量來列方程；②要善于用不同的方式表示同一個量，由此得到相等關系，從而列出方程．

助力教學僅限個人使用，3.

列二元一次方程組解應用題的三點注意（1）審題：準確找出已知量與未知量之間的關系及相等關系.（2）設元：分為直接設未知數和間接設未知數兩種，當直接設未知數列方程比較困難或列出的方程比較復雜時，要考慮采用間接設未知數的方法.（3）檢驗：求出方程的解后，必須檢驗所求的解是否符合題目要求或客觀實際，不符合的解需要舍去.

助力教學僅限個人使用，例1

如果x=2是方程的解，那么a的值是()A.0B.2C.－2D.－6考點一方程的有關概念解析：將x＝2代入方程得1＋a＝－1，解得

a＝－2.

C方法總結：已知方程的解求字母參數的值，將方程的解代入方程中，得到關于字母參數的方程，解方程即可得字母參數的值.

助力教學僅限個人使用，例2

若3x2a+b+1+5ya－2b－1+5=0是關于x,y的二元一次方程，則a=______，b=______.【思路】根據二元一次方程的定義→確定2a+b+1和a-2b-1的值→列出關于a,b的二元一次方程組→解方程組求a,b的值.

助力教學僅限個人使用，1.

若(m＋3)x|

m|－2＋2＝1是關于x的一元一次方程，則m的值為____．3針對訓練注意：結合一元一次方程的定義求字母參數的值，需謹記未知數的系數不為0.

助力教學僅限個人使用，考點二等式的基本性質

D方法總結：已利用等式的性質變形，需注意符號問題，同時一定要謹記，利用等式性質2變形，等式兩邊同時除以一個數時，該數不能為0.

助力教學僅限個人使用，2.

下列運用等式的性質，變形正確的是()A.若x=y，則x－5=y+5B.若a=b，則ac=bcC.若，則2a=3bD.若x=y，則Ba可能為0針對訓練

助力教學僅限個人使用，考點三一元一次方程的解法例3

解下列方程：(1)；解：去分母，得3(2x＋1)－12=12x－(10x＋1).去括號，得6x＋3－12=12x－10x－1.移項，得6x－12x＋10x=－1－3＋12.合并同類項，得4x=8.系數化為1，得x=2.

助力教學僅限個人使用，提示：先用分配律、去括號簡化方程，再求解較容易.(2).解：去括號，得

移項，得

合并同類項，得

系數化為1，得

助力教學僅限個人使用，考點四解二元一次方程組例4

解方程組【思路】方法一：由①用y表示x，用代入消元法.【思路】方法二：用加減消元法消去x.

助力教學僅限個人使用，【自主解答】方法一：由①得

x=-2y.③把③代入②得3×(-2y)+4y

=6.解得y=-3.將y=-3代入③得

x=6,所以原方程組的解是

助力教學僅限個人使用，【自主解答】方法二：①×3，得3x+6y=0,③③-②，得2y=-6,所以y=-3.把y=-3代入①，得x=6,所以原方程組的解是

助力教學僅限個人使用，3.

解方程：解：去分母，得2(x－2)=20－5(x＋3)，去括號，得2x－4=20－5x－15，移項，得2x＋5x=20－15＋4，合并同類項，得7x=9，系數化為1，得針對訓練

助力教學僅限個人使用，4.解方程組:解：①+②,得3x=18,解得x=6.將x=6代入①，得6+3y=12,解得y=2.所以方程組的解是

助力教學僅限個人使用，考點五實際問題與一元一次方程例5

一輪船在甲、乙兩碼頭間往返航行，已知船在靜水中速度為7km/h，水流速度為2km/h，往返一次共用28h，求甲、乙兩碼頭之間的距離．解：設甲、乙兩碼頭之間的距離是xkm.由順水航行時間＋逆水航行時間＝往返一次共用時間，得解得x=90.答：甲、乙兩碼頭之間的距離是90km.

助力教學僅限個人使用，5.小明從家里騎自行車到學校，每小時騎15千米，可

早到10分鐘；每小時騎12千米，就會遲到5分鐘，

則他家到學校的路程是多少千米？解：設他家到學校的路程是x千米，依題意得解得x=15.

答：他家到學校的路程是15千米.針對訓練

助力教學僅限個人使用，例6

抗洪救災小組在甲地有

28

人，乙地有

15

人，現在又調來17人，分配在甲、乙兩地，要求調配后甲地人數與乙地人數之比為3:2，求應調至甲地和乙地各多少人.解：設應調至甲地x人，則調至乙地的人數為(17－x)，

根據調配后甲、乙兩地人數的數量關系，得解得x=8.則17-

x=9.答：應調至甲地8人，乙地9人.

助力教學僅限個人使用，

6.

春節期間，甲、乙兩商場有某品牌服裝共

450

件，由于甲商場銷量上升，需從乙商場調運該服裝

50

件，調運后甲商場該服裝的數量是乙商場的

2

倍，求甲、乙兩商場原來各自有該品牌服裝的數量.解：設甲商城原來有該品牌服裝

x

件.根據題意，得

x

+

50

=

2[(450

-

x)-

50]，解得

x

=

250.則

450

-

x

=

200.答：甲商城原來有該品牌服裝

250

件，乙商城原來有該品牌服裝

200

件.針對訓練

助力教學僅限個人使用，例7

一項工作，甲單獨做8天完成，乙單獨做12天完成，丙單獨做24天完成．現甲、乙合作3天后，甲因有事離去，由乙、丙合作，則乙、丙還要幾天才能完成這項工作？解：設乙、丙還要

x天才能完成這項工作，由甲、乙合作3天的工作量+乙、丙合作的工作量=1，得解得x=3.答：乙、丙還要3天才能完成這項工作.

助力教學僅限個人使用，7.一輛拖拉機耕一片地，第一天耕了這片地的，第二天耕了剩余部分的，還剩下42公頃，則

這片地共有

公頃.解析：設這片地共有x公頃.由題意，得解得

x

=189.189針對訓練

助力教學僅限個人使用，例8

某個商品的進價是500元，把它提價40%后作為標價.如果商家要想保住12%的利潤率搞促銷活動，請你計算一下廣告上可寫出最多打幾折.提示：提價40％后，商品標價為500×(1+40％)，要保住12％的利潤率，商品的售價應為500×(1+12％)，根據可列方程.商品售價=標價×

助力教學僅限個人使用，解：設最多可以打x折，根據題意得解得x=8.答：廣告上可寫出最多打8折.

助力教學僅限個人使用，8.

一家商店將某種商品按進價提高

40%

后標價，節假日期間又以標價打八折銷售，結果這種商品每件仍

可獲利

24

元，問這件商品的進價是多少元？解：設這件商品的進價是

x元，根據題意得解得x=200.答：這件商品的進價是

200元.針對訓練

助力教學僅限個人使用，(1)當一次性購物標價總額是

300

元時，甲、乙超市實付款分別是多少？例9

小王逛超市看到如下兩個超市的促銷信息：甲超市促銷信息欄乙超市促銷信息欄全場8.8折不超過200元，不予優惠；滿200元而不超過500元，打九折；滿500元，其中500元的部分優惠10％，超過500元的部分打八折假設兩家超市相同商品的標價都一樣.解：甲超市實付款：300×0.88

=

264(元)，乙超市實付款：300×0.9

=

270(元).

助力教學僅限個人使用，(2)當標價總額是多少時，甲、乙超市實付款一樣？解：設當標價總額是x元時，甲、乙超市實付款一樣.由題意知，當x≤500時，甲超市的促銷力度大于乙超市，此時，標價總額一樣的條件下，甲超市實付款始終小于乙超市實付款，所以x＞500．根據題意得0.88x=500×(1－10％)+0.8(x－500)，解得x=625．答：當標價總額是625元時，甲、乙超市實付款一樣.

助力教學僅限個人使用，(3)小王兩次到乙超市購物分別付款

198

元和

466

元，

若他只去一次該超市購買同樣多的商品，可以節省

多少元？分析：由題目信息可知，在乙超市購物標價總額：①不超過200元，不予優惠；②

大于或等于200元小于500元，實付款大于或等于

180元，小于450元；③

大于等于500元，實付款大于等于450元.

助力教學僅限個人使用，解：由題意知：①購物標價總額不超過200元，不予優惠；②大于等于200元小于500元，實付款大于等于

200×0.9=180(元)，小于500×0.9=450(元)；

③大于等于500元，實付款大于等于450元.小王第一次購物付款198元＜200元，購物標價可能是198元，也可能是

198÷0.9

=

220(元)，第二次購物付款466元＞450元，所以購物標價大于500元，為(466－450)÷0.8

+

500=520(元)，

助力教學僅限個人使用，所以，小王兩次購物標價之和為198

+

520=718(元)，或220

+

520=740(元)．若他只去一次該超市購買同樣多的商品，實付款為

500×0.9+0.8(718－500)=624.4(元)，

或

500×0.9+0.8(740-500)=642(元)，可以節省198

+

466－624.4=39.6(元)，

或

198

+

466－642=22(元)．答：若他只去一次該超市購買同樣多的商品，可以節省39.6元或22元．

助力教學僅限個人使用，9.

甲、乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優惠方案：在甲超市累計購買商品超出300元之后，超出部分按原價8折優惠；在乙超市累計購買商品超出200元之后，超出部分按原價8.5折優惠．設顧客累計購物x元

(x＞300)．(1)請用含x的式子分別表示顧客在兩家超市購物所付的費用；針對訓練

助力教學僅限個人使用，解：顧客在甲超市購物所付的費用為：

300

+

0.8(x－300)=(0.8x

+

60)元(x＞300)；顧客在乙超市購物所付的費用為：

200

+

0.85(x－200)=(0.85x

+

30)元(x＞300)．

助力教學僅限個人使用，(2)李明準備購買500元的商品，你認為他應該去哪家超市？請說明理由．解：他應該去乙超市，理由如下：當x=500時，在甲超市購物所付的費用為：

0.8×500+

60=460(元)；在乙超市購物所付的費用為：

0.85×500+

30=455(元).因為

460＞455，所以他去乙超市購買更劃算．

助力教學僅限個人使用，(3)計算一下，李明購買多少元的商品時，到兩家超市購物所付的費用一樣？解：由題意得0.8x

+

60=0.85x

+

30.解得x=600.答：李明購買600元的商品時，到兩家超市購物所付的費用一樣．

助力教學僅限個人使用，10.

為鼓勵節約用電，某地對居民用電收費標準作如下

規定：每戶每月用電如果不超過100度，那么每度

按0.50元收費；如果超過100度不超過200度，那么超過的部分每度按0.65元收費；如果超過

200

度，那么超過的部分每度按0.75元收費．(1)若居民甲在6月份用電100度，則他這個月應繳納電費

元；若居民乙在7月份用電200度，

則他這個月應繳納電費

元；若居民丙在8月

份用電300度，則他這個月應繳納電費

元；50115190

助力教學僅限個人使用，(2)若某戶居民在

9

月份繳納電費

310

元，那么他這個月用電多少度？解：設他這個月用電x度，根據題意得0.50×100

+

0.65×(200－100)+

0.75×(x－200)=310，解得x=460．答：他這個月用電460度．

助力教學僅限個人使用，考點六二元一次方程組的應用例10

把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本.這個班有多少學生？【思路】設兩個未知數→找兩個等量關系→列方程組→

解方程組→寫答案

助力教學僅限個人使用，【自主解答】設這個班有x名學生，圖書一共有y本.

答：這個班有45名學生．解得

助力教學僅限個人使用，10.

某種儀器由1個A部件和1個B部件配套構成，每個工人每天可以加工A部件1000個或者加工B部件600個，現有工人16名，應怎樣安排人力，才能使每天生產的A部件和B部件配套？針對訓練

助力教學僅限個人使用，解：設安排生產A部件和B部件的工人分別為x人,y人.根據題意列方程組得

解得答：安排生產A部件和B部件的工人分別為6人，10人.

助力教學僅限個人使用，一元一次方程相關概念方程、方程的解性質1一元一次方程等式的性質性質2(1)(2)(3)(4)(5)模型應用和、差、倍、分問題利潤、利息問題行程問題分段計費、方案問題解法步驟

助力教學僅限個人使用，解二元一次方程組的基本思想是“消元”，消元的方法有代入消元法和加減消元法.代入消元法、加減消元法要根據方程組的特點靈活選用，對于方程組中的非整系數方程應先整理成整系數方程再選擇合適的消元方法解方程組.

助力教學僅限個人使用，樣，也可能因討厭一位老師而討厭學習。一個被學生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學生還是小學生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認同的標準，諸如尊重和理解學生，寬容、不傷害學生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發脾氣等。教師要放下架子，把學生放在心上。“蹲下身子和學生說話，走下講臺給學生講課”;關心學生情感體驗，讓學生感受到被關懷的溫暖;自覺接受學生的評價，努力做學生喜歡的老師。教師要學會寬容，寬容學生的錯誤和過失，寬容學生一時沒有取得很大的進步。蘇霍姆林斯基說過：有時寬容引起的道德震動，比懲罰更強烈。每當想起葉圣陶先生的話：你這糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛頓，在你的譏笑里有愛迪生。身為教師，就更加感受到自己職責的神圣和一言一行的重要。善待每一個學生，做學生喜歡的老師，師生雙方才會有愉快的情感體驗。一個教師，只有當他受到學生喜愛時，才能真正實現自己的最大價值。義務教育課程方案和課程標準（2022年版）簡介新課標的全名叫做《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，文件包括義務教育課程方案和16個課程標準（2022年版），不僅有語文數學等主要科目，連勞動、道德這些，也有非常詳細的課程標準。現行義務教育課程標準，是2011年制定的，離現在已經十多年了；而課程方案最早，要追溯到2001年，已經二十多年沒更新過了，很多內容，確實需要根據現實情況更新。所以這次新標準的實施，首先是對老課標的一次升級完善。另外，在雙減的大背景下頒布，也能體現出，國家對未來教育改革方向的規劃。課程方案課程標準是啥？課程方案是對某一學科課程的總體設計，或者說，是對教學過程的計劃安排。簡單說，每個年級上什么課，每周上幾節，老師上課怎么講，課程方案就是依據。課程標準是規定某一學科的課程性質、課程目標、內容目標、實施建議的教學指導性文件，也就是說，它規定了，老師上課都要講什么內容。課程方案和課程標準，就像是一面旗幟，學校里所有具體的課程設計，都要朝它無限靠近。所以，這份文件的出臺，其實給學校教育定了一個總基調，決定了我們孩子成長的走向。各門課程基于培養目標，將黨的教育方針具體化細化為學生核心素養發展要求，明確本課程應著力培養的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。進一步優化了課程設置，九年一體化設計，注重幼小銜接、小學初中銜接，獨立設置勞動課程。與時俱進，更新課程內容，改進課程內容組織與呈現形式，注重學科內知識關聯、學科間關聯。結合課程內容，依據核心素養發展水平，提出學業質量標準，引導和幫助教師把握教學深度與廣度。通過增加學業要求、教學提示、評價案例等，增強了指導性。教育部將組織宣傳解讀、培訓等工作，指導地方和學校細化課程實施要求，部署教材修訂工作，啟動一批課程改革項目，推動新修訂的義務教育課程有效落實。

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助力教學僅限個人使用，樣，也可能因討厭一位老師而討厭學習。一個被學生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學生還是小學生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認同的標準，諸如尊重和理解學生，寬容、不傷害學生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發脾氣